Medida borel

En matemáticas, específicamente en la teoría de la medida, una medida de Borel en un espacio topológico es una medida que se define en todos los conjuntos abiertos (y por lo tanto en todos los conjuntos de Borel). Algunos autores exigen restricciones adicionales a la medida, como se describe a continuación.

Definición formal

Vamos X{displaystyle X} ser un espacio Hausdorff localmente compacto, y dejar B()X){displaystyle {mathfrak}(X)} ser el más pequeño σ-algebra que contiene los conjuntos abiertos X{displaystyle X}; esto se conoce como el álgebra σ de conjuntos Borel. A Medida de Borel cualquier medida μ μ {displaystyle mu } definido en el álgebra σ de Borel conjuntos. Algunos autores requieren además que μ μ {displaystyle mu } es localmente finito, lo que significa que <math alttext="{displaystyle mu (C)μ μ ()C).JUEGO JUEGO {displaystyle mu (C) seleccionadoinfty }<img alt="{displaystyle mu (C) para cada conjunto compacto C{displaystyle C}. Si una medida de Borel μ μ {displaystyle mu } es regular interior y exterior regular, se llama una medida regular Borel. Si μ μ {displaystyle mu } es tanto interior regular, exterior regular, y localmente finito, se llama una medida Radon.

En la línea real

La línea real R{displaystyle mathbb {R} con su topología habitual es un espacio Hausdorff localmente compacto, por lo que podemos definir una medida Borel en él. En este caso, B()R){displaystyle {mathfrak}(mathbb {R})} es el álgebra σ más pequeño que contiene los intervalos abiertos de R{displaystyle mathbb {R}. Mientras que hay muchas medidas Borel μ, la elección de la medida Borel que asigna μ μ ()()a,b])=b− − a{displaystyle mu (a,b)=b-a} para cada intervalo medio-abierto ()a,b]{displaystyle (a,b)} a veces se llama "la" medida de Borel R{displaystyle mathbb {R}. Esta medida resulta ser la restricción al Borel σ-algebra de la medida Lebesgue λ λ {displaystyle lambda }, que es una medida completa y se define en la Lebesgue σ-algebra. El Lebesgue σ-algebra es en realidad el finalización del Borel σ-algebra, lo que significa que es el álgebra σ más pequeño que contiene todos los conjuntos de Borel y tiene una medida completa en él. Además, la medida Borel y la medida Lebesgue coinciden en los conjuntos Borel (es decir, λ λ ()E)=μ μ ()E){displaystyle lambda (E)=mu (E)} para todos Borel measurable set, donde μ μ {displaystyle mu } es la medida Borel descrita anteriormente).

Espacios de productos

Si X y Y son espacios topológicos de segunda cuenta, Hausdorff, luego el conjunto de subconjuntos Borel B()X× × Y){displaystyle B(Xtimes Y)} de su producto coincide con el producto de los conjuntos B()X)× × B()Y){displaystyle B(X)times B(Y)} of Borel subsets of X y Y. Es decir, el functor Borel

Bor:: Top2CHaus→ → Meas{displaystyle mathbf {Bor} colon mathbf {Top} _{2CHaus}to mathbf {Meas}

de la categoría de segundos espacios de Hausdorff contables a la categoría de espacios medibles conserva productos finitos.

Aplicaciones

Integral de Lebesgue-Stieltjes

La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación acotada sobre la recta real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel y, a la inversa, toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Transformada de Laplace

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida finita de Borel μ en la recta real mediante la integral de Lebesgue

()Lμ μ )()s)=∫ ∫ [0,JUEGO JUEGO )e− − stdμ μ ()t).{displaystyle ({mathcal {}mu)=int _{[0,infty)}e^{-st},dmu (t).}

Un caso especial importante es donde μ es una medida de probabilidad o, más específicamente, la función delta de Dirac. En cálculo operativo, la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida proviniera de una función de distribución f. En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe

()Lf)()s)=∫ ∫ 0− − JUEGO JUEGO e− − stf()t)dt{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

donde el límite inferior de 0⁻ es una notación abreviada para

limε ε ↓ ↓ 0∫ ∫ − − ε ε JUEGO JUEGO .{displaystyle lim _{varepsilon downarrow 0}int _{-varepsilon } {infty }

Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada completamente por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar dicho límite, aparece de manera más natural en relación con la transformada de Laplace-Stieltjes.

Dimensión de Hausdorff y el lema de Frostman

Dada una medida de Borel μ en un espacio métrico X tal que μ(X) > 0 y μ(B(x, r)) ≤ r^s se mantiene para algunas constantes s > 0 y para cada bola B(x, r) en X, entonces la dimensión de Hausdorff dim _Casa(X) ≥ s. El lema de Frostman proporciona una inversa parcial:

Lema: Sea A un subconjunto Borel de Rⁿ, y deja que s > 0. Entonces los siguientes son equivalentes:

• H^s()A################################################################################################################################################################################################################################################################ H^s denota los s-dimensional Medida Hausdorff.
• Hay un (no firmado) Medida de Borel μ satisfacción μ()A) > 0, y tal que

μ μ ()B()x,r))≤ ≤ rs{displaystyle mu (B(x,r))leq r^{s}

para todos x▪Rⁿ y r■ 0.

Teorema de Cramer-Wold

El teorema Cramér-Wold en la teoría de la medida establece que una medida de probabilidad Borel Rk{displaystyle mathbb {R} {cH00} está determinada por la totalidad de sus proyecciones unidimensionales. Se utiliza como método para probar resultados de convergencia conjunta. El teorema es nombrado por Harald Cramér y Herman Ole Andreas Wold.