Medición en mecánica cuántica.

En física cuántica, una medición es la prueba o manipulación de un sistema físico para producir un resultado numérico. Una característica fundamental de la teoría cuántica es que las predicciones que hace son probabilísticas. El procedimiento para encontrar una probabilidad implica combinar un estado cuántico, que describe matemáticamente un sistema cuántico, con una representación matemática de la medición que se realizará en ese sistema. La fórmula para este cálculo se conoce como regla de Born. Por ejemplo, una partícula cuántica como un electrón puede describirse mediante un estado cuántico que asocia a cada punto del espacio un número complejo llamado amplitud de probabilidad. Aplicando la regla de Born a estas amplitudes se obtienen las probabilidades de que el electrón se encuentre en una región u otra cuando se realiza un experimento para localizarlo. Esto es lo mejor que puede hacer la teoría; no puede decir con certeza dónde se encontrará el electrón. El mismo estado cuántico también se puede utilizar para hacer una predicción de cómo se movirá el electrón, si se realiza un experimento para medir su impulso en lugar de su posición. El principio de incertidumbre implica que, cualquiera que sea el estado cuántico, el rango de predicciones para la posición del electrón y el rango de predicciones para su momento no pueden ser ambos estrechos. Algunos estados cuánticos implican una predicción casi segura del resultado de una medición de posición, pero el resultado de una medición de momento será muy impredecible, y viceversa. Además, el hecho de que la naturaleza viole las condiciones estadísticas conocidas como desigualdades de Bell indica que la imprevisibilidad de los resultados de las mediciones cuánticas no puede explicarse como resultado de la ignorancia sobre las "variables locales ocultas" que existen. dentro de los sistemas cuánticos.

La medición de un sistema cuántico generalmente cambia el estado cuántico que describe ese sistema. Esta es una característica central de la mecánica cuántica, que es a la vez matemáticamente compleja y conceptualmente sutil. Las herramientas matemáticas para hacer predicciones sobre qué resultados de medición pueden ocurrir y cómo pueden cambiar los estados cuánticos se desarrollaron durante el siglo XX y utilizan álgebra lineal y análisis funcional. La física cuántica ha demostrado ser un éxito empírico y tener una amplia aplicabilidad. Sin embargo, a un nivel más filosófico, continúan los debates sobre el significado del concepto de medición.

Formalismo matemático

"Observables" como operadores autoadjuntos

En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert, cada elemento del cual representa un posible estado del sistema físico. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medición de un sistema físico por parte de un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert denominado "observable". Estos observables desempeñan el papel de cantidades mensurables familiares en la física clásica: posición, momento, energía, momento angular, etc. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como lo es para el espacio de funciones integrables al cuadrado en una línea, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado de libertad continuo. Alternativamente, el espacio de Hilbert puede ser de dimensión finita, como ocurre con los grados de libertad de espín. Muchos tratamientos de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas involucradas son algo menos exigentes. De hecho, los textos de introducción a la física sobre la mecánica cuántica a menudo pasan por alto tecnicismos matemáticos que surgen de observables de valores continuos y espacios de Hilbert de dimensión infinita, como la distinción entre operadores acotados e ilimitados; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor; Etcétera. Estos problemas pueden resolverse satisfactoriamente utilizando la teoría espectral; el presente artículo los evitará siempre que sea posible.

Medición proyectiva

Los vectores propios de un observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. Para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born, que establece que

${displaystyle P(x_{i})=operatorname {tr} (Pi _{i}rho),}$

Donde ${displaystyle rho }$ es el operador de densidad, y ${displaystyle Pi _{i}$ es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de medición ${displaystyle x_{i}}$. El promedio de los eigenvalues de un observable von Neumann, ponderado por las probabilidades de la regla del Born, es el valor de expectativa de ese observable. Para un observable ${displaystyle A}$, el valor de expectativa dado un estado cuántico ${displaystyle rho }$ es

${displaystyle langle Arangle =operatorname {tr} (Arho).}$

Un operador de densidad que es una proyección de rango-1 es conocido como puro estado cuántico, y todos los estados cuánticos que no son puros son designados mixto. Los estados puros también se conocen como funciones de onda. Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medición en ese sistema (es decir, ${displaystyle P(x)=1}$ para algunos resultados ${displaystyle x}$). Cualquier estado mixto puede ser escrito como una combinación convexa de estados puros, aunque no de una manera única. El espacio estatal de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que pueden ser asignados a él.

La regla de Born asocia una probabilidad con cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprendan una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada con un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como la elección de la base para incluir ese vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todos Las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, de manera equivalente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones toman la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad.

Medición generalizada (POVM)

En análisis funcional y teoría de la medición cuántica, una medida valorada por operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert. Los POVM son una generalización de las medidas de valores de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por los POVM son una generalización de las medidas cuánticas descritas por los PVM. En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es para un estado puro. Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver teorema de Schrödinger-HJW); De manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden usarse en teoría cuántica de campos. Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica.

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos actuando en un espacio finito-dimensional Hilbert, un POVM es un conjunto de matrices semi-definidas positivas ${displaystyle {F_{i}}}$ en un espacio Hilbert ${displaystyle {Mathcal {H}}$ que suma a la matriz de identidad,

${displaystyle sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {I}.$

En la mecánica cuántica, el elemento POVM ${displaystyle F_{i}$ se asocia con el resultado de la medición ${displaystyle i}$, tal que la probabilidad de obtenerlo al hacer una medición en el estado cuántico ${displaystyle rho }$ es dado por

${displaystyle {text{Prob}(i)=operatorname {tr} (rho F_{i})}$,

Donde ${displaystyle operatorname {tr}$ es el operador de trazas. Cuando se mide el estado cuántico es un estado puro ${displaystyle Нpsi rangle }$ esta fórmula reduce a

${displaystyle {text{Prob}(i)=operatorname {tr} (Princepsi rangle langle langle psi НF_{i})=langle psi НF_{i}$.

Cambio de estado debido a la medición

Una medición en un sistema cuántico generalmente provocará un cambio en el estado cuántico de ese sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. Para remediar esto, se especifica más información descomponiendo cada elemento POVM en un producto:

${displaystyle E_{i}=A_{i} }A_{i}$

Los operadores de Kraus ${displaystyle A_{i}$, nombrado para Karl Kraus, proporcionar una especificación del proceso de cambio de estado. No son necesariamente autoadjuntos, sino los productos ${displaystyle ¿Qué?$ Sí. Si al realizar la medición el resultado ${displaystyle E_{i}$ se obtiene, luego el estado inicial ${displaystyle rho }$ se actualiza

${displaystyle rho to rho '={frac {A_{i}rho A_{i}{dagger {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicroc {f}rho} A_{i}{dagger - ¿Qué?$

Un caso especial importante es la regla de Lüders, llamada así en honor a Gerhart Lüders. Si el POVM es en sí mismo un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden considerarse los proyectores de los espacios propios del observable de von Neumann:

${displaystyle rho to rho '={frac {Pi _{i}rho Pi _{i}{operatorname {tr} (rho Pi _{i}}}}}$

Si el estado inicial ${displaystyle rho }$ es puro, y los proyectores ${displaystyle Pi _{i}$ tienen rango 1, pueden ser escritos como proyectores en los vectores ${displaystyle Нpsi rangle }$ y ${displaystyle TENSIrangle}$, respectivamente. La fórmula simplifica así

${displaystyle rho = sufrimientopsi rangle langle langle psi Нto rho '={frac { persistirangle langle i imperpsi rangle langlelanglelanglelangle i preserve}{langle i preservelangle i preserves rangle ^{2}}}=Principio langle}$

Esto se ha conocido históricamente como la "reducción del paquete de onda" o el "collapso de la función de onda". El estado puro ${displaystyle TENSIrangle}$ implica una predicción de probabilidad-uno para cualquier observable de von Neumann que tenga ${displaystyle TENSIrangle}$ como un eigenvector. Los textos introductorios sobre la teoría cuántica a menudo expresan esto diciendo que si una medición cuántica se repite en rápida sucesión, el mismo resultado ocurrirá ambas veces. Se trata de una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; después de la medición, el fotón no existe para ser medido de nuevo.

Podemos definir un mapa lineal, completamente positivo y que conserva la traza, sumando todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización:

${displaystyle rho to to sum ¿Qué? A_{i} {dagger }$

Es un ejemplo de un canal cuántico, y se puede interpretar como expresar cómo un estado cuántico cambia si se realiza una medición pero el resultado de esa medición se pierde.

Ejemplos