Mediana (geometría)

En geometría, una mediana de un triángulo es un segmento de línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, biseccionando así ese lado. Cada triángulo tiene exactamente tres medianas, una de cada vértice, y todas se cortan entre sí en el centroide del triángulo. En el caso de triángulos isósceles y equiláteros, una mediana divide cualquier ángulo en un vértice cuyos dos lados adyacentes tienen la misma longitud. El concepto de mediana se extiende a los tetraedros.

Relación con el centro de masa

Cada mediana de un triángulo pasa por el centroide del triángulo, que es el centro de masa de un objeto infinitamente delgado de densidad uniforme que coincide con el triángulo. Así, el objeto se equilibraría en el punto de intersección de las medianas. El centroide está dos veces más cerca a lo largo de cualquier mediana del lado que la mediana intersecta que del vértice del que emana.

División de áreas iguales

Cada mediana divide el área del triángulo por la mitad; de ahí el nombre, y de ahí que un objeto triangular de densidad uniforme se equilibraría sobre cualquier mediana. (Cualquier otra línea que divida el área del triángulo en dos partes iguales no pasa por el centroide). Las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños de igual área.

Prueba de propiedad de áreas iguales

Considerar un triángulo ABC. Vamos. D ser el punto medio de ${displaystyle {fnMicrosoft}}$, E ser el punto medio de ${displaystyle {overline {}}}$, F ser el punto medio de ${displaystyle {overline {}}}$, y O ser el centroide (más comúnmente denotado G).

Por definición, ${displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC$. Así ${displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$ y ${displaystyle [ABE]=[ACE]$, donde ${displaystyle [ABC]}$ representa el área del triángulo ${displaystyle triangle ABC}$; estos sostienen porque en cada caso los dos triángulos tienen bases de igual longitud y comparten una altitud común de la base (extended), y el área de un triángulo equivale a la mitad de su base tiempos su altura.

Tenemos:

${displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]$

${displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]$

Así, ${displaystyle [ABO]=[ACO]$ y ${displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={frac {1}{2}[ABO]}$

Desde ${displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={frac {1}{2}[ACO]={frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$, por consiguiente, ${displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$. Usando el mismo método, se puede demostrar que ${displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ER]=[CEO]}$.

Tres triángulos congruentes

En 2014, Lee Sallows descubrió el siguiente teorema:

Las medianas de cualquier triángulo lo diseccionan en seis triángulos más pequeños de área igual como en la figura anterior donde tres pares adyacentes de triángulos se encuentran en los puntos intermedios D, E y F. Si los dos triángulos en cada uno de estos pares se giran alrededor de su punto medio común hasta que se encuentran para compartir un lado común, entonces los tres nuevos triángulos formados por la unión de cada par son congruentes.

Fórmulas que involucran las medianas' longitudes

Las longitudes de las medianas se pueden obtener del libro de Apolonio. teorema como:

$${displaystyle m_{a}={2}-a^{2} 2} {4}}}}}$$

$${displaystyle m_{b}={2}{4}}}$$

$${displaystyle m_{c}={2} {4}}}$$

${displaystyle a,b,}$

${displaystyle c}$

${displaystyle m_{a},m_{b}$

${displaystyle m_{c}$

Estas fórmulas implican las relaciones:

$${displaystyle a={frac}{3}{sqrt {-m_{2}={2}={2}+c}4m_{a}}={2}}={sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}}={2}}={sqrt}={sqrt}={2}}={2}}}}}={2}}}}}}={sq}}}}}={2}={2}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}} {c} {c} {c}}={c}}}}}={c}}}}}}}}}}}} {c}}} {c}}} {c}}}}}}}}}{c}}}={c}={c}}}}}={c}}}}}}}}}}}}}}}}}}={c}}}}}}}}} {fnMicroc {B^{2}{2}-c^{2}+2m_{b}={2}={sqrt {fnMicroc {c}{2} {2} {2}}}}$$

$${displaystyle b={frac {2}{3}{sqrt {-m_{2}}={2m_{a}{2}+2m_{c}}={sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}}={sqrt {fnMicroc {f} {2}}} {2}}={2}}}={sqrt} {fnMicroc {c}{2} {2}-a}{2}+2m_{c} {2}} {2}}}$$

$${displaystyle c={frac {2}{3}{sqrt {-m_{c}}={2}+2m_{b}{2}+2m_{2}}={sqrt {2(b^{2}+a})-4m_{c}}={2}}={sqrt {2}={sqrt}={2}}}={2}}}={2}}}}}}={sqsqrt}}}={2}}}}}={2}={2}}}}}}}}}{2}}{2}}}} {b}}} {b}}}}}}{2}}}}}}}}}}{2}}}}}} {b} {b} {b}={2}}} {c}={c} {c}}={c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}={c}}}}}}}} {fnMicroc {f} {2}} {2}}}={2}}}={sqrt} {fnMicroc {a} {2}} {2}}}}}}$$

Otras propiedades

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D, E y F sean los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC entonces

$${displaystyle PA+PB+PCleq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

El centroide divide cada mediana en partes en una proporción de 2:1, estando el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto.

Para cualquier triángulo con los lados ${displaystyle a,b,c}$ y medianas ${displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}$

$${fnMicroc} {3}{4} {3}(a+b+c) {texto {fnMicroc} {3}{4}left(a^{2}+b^{2}+c^{2}right)=m_{a}^{2}+m_{b}{2}+m_{c}{2}}}}$$

Las medianas de los lados de longitudes ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son perpendiculares si y sólo si ${displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}$

Las medianas de un triángulo derecho con hipotenusa ${displaystyle c}$ satisfacer satisfacción ${displaystyle m_{a}{2}+m_{b} {2}=5m_{c} {2}}$

Cualquier área del triángulo T se puede expresar en términos de sus medianas ${displaystyle m_{a},m_{b}$, y ${displaystyle m_{c}$ como sigue. Si su semisumo ${displaystyle left(m_{a}+m_{b}+m_{c}right)/2}$ es denotado por ${displaystyle sigma }$ entonces

$${displaystyle T={frac {4}{3}{sqrt {sigma left(sigma -m_{a}right)left(sigma -m_{b}right)left(sigma) - Sí.$$

Tetraedro

Un tetraedro es un objeto tridimensional con cuatro caras triangulares. Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama un mediana del tetraedro. Hay cuatro medianas, y todos son concurrentes en centroide del tetraedro. Como en el caso bidimensional, el centroide del tetraedro es el centro de la masa. Sin embargo, contrariamente al caso bidimensional, el centroide divide las medianas no en una relación 2:1, sino en una relación 3:1 (teorema de Commandino).