Media truncada

Una media truncada o una media recortada es una medida estadística de tendencia central, muy parecida a la media y la mediana. Implica el cálculo de la media después de descartar determinadas partes de una distribución de probabilidad o muestra en el extremo superior e inferior, y normalmente descartar una cantidad igual de ambas. Esta cantidad de puntos a descartar generalmente se da como un porcentaje del número total de puntos, pero también se puede dar como una cantidad fija de puntos.

Para la mayoría de las aplicaciones estadísticas, se descartan entre el 5 y el 25 por ciento de los extremos. Por ejemplo, dado un conjunto de 8 puntos, recortar en un 12,5 % descartaría el valor mínimo y máximo de la muestra: los valores más pequeño y más grande, y calcularía la media de los 6 puntos restantes. La media recortada del 25% (cuando se descartan el 25% más bajo y el 25% más alto) se conoce como media intercuartil.

La mediana puede considerarse como una media completamente truncada y es más sólida. Al igual que con otros estimadores recortados, la principal ventaja de la media recortada es la robustez y una mayor eficiencia para distribuciones mixtas y distribuciones de colas pesadas (como la distribución de Cauchy), a costa de una menor eficiencia para algunas otras distribuciones de colas menos pesadas (como la distribución normal). Para distribuciones intermedias las diferencias entre la eficiencia de la media y la mediana no son muy grandes, p.e. para la distribución t de Student con 2 grados de libertad, las varianzas de la media y la mediana son casi iguales.

Terminología

En algunas regiones de Europa Central también se la conoce como media de Windsor, pero este nombre no debe confundirse con la media winsorizada: en esta última, las observaciones que descartaría la media recortada son en su lugar, reemplazado por el mayor/el menor de los valores restantes.

Descartar sólo el máximo y el mínimo se conoce como media modificada, particularmente en estadísticas de gestión. Esto también se conoce como promedio olímpico (por ejemplo, en la agricultura de EE. UU., como la elección de ingresos promedio de cultivos), debido a su uso en eventos olímpicos, como el sistema de evaluación ISU en patinaje artístico, para que la puntuación sea sólida para un solo juez atípico.

Interpolación

Cuando el porcentaje de puntos a descartar no arroja un número entero, la media recortada puede definirse mediante interpolación, generalmente interpolación lineal, entre los números enteros más cercanos. Por ejemplo, si necesita calcular la media recortada del 15% de una muestra que contiene 10 entradas, estrictamente esto significaría descartar 1 punto de cada extremo (equivalente a la media recortada del 10%). Si se interpola, en su lugar se calcularía la media recortada del 10% (descartando 1 punto de cada extremo) y la media recortada del 20% (descartando 2 puntos de cada extremo), y luego interpolando, en este caso promediando estos dos valores. De manera similar, si se interpola la media recortada del 12 %, se tomaría el promedio ponderado: ponderar la media recortada del 10 % en 0,8 y la media recortada del 20 % en 0,2.

Ventajas

La media truncada es un estimador útil porque es menos sensible a los valores atípicos que la media, pero aun así dará una estimación razonable de la tendencia central o la media para muchos modelos estadísticos. En este sentido se le conoce como estimador robusto. Por ejemplo, en su uso en la evaluación olímpica, truncar el máximo y el mínimo impide que un solo juez aumente o disminuya la puntuación general al otorgar una puntuación excepcionalmente alta o baja.

Una situación en la que puede resultar ventajoso utilizar una media truncada es al estimar el parámetro de ubicación de una distribución de Cauchy, una distribución de probabilidad en forma de campana con colas (mucho) más anchas que una distribución normal. Se puede demostrar que la media truncada de las estadísticas del orden de la muestra del 24% central (es decir, truncar la muestra en un 38% en cada extremo) produce una estimación para el parámetro de ubicación de la población que es más eficiente que usar la mediana muestral o la media muestral completa. muestra promedio. Sin embargo, debido a las colas gruesas de la distribución de Cauchy, la eficiencia del estimador disminuye a medida que se utiliza una mayor parte de la muestra en la estimación. Tenga en cuenta que para la distribución de Cauchy, ni la media truncada, ni la media de la muestra completa ni la mediana de la muestra representan un estimador de máxima verosimilitud, ni ninguno es tan asintóticamente eficiente como el estimador de máxima verosimilitud; sin embargo, la estimación de máxima verosimilitud es más difícil de calcular, lo que deja la media truncada como una alternativa útil.

Pruebas estadísticas

It is possible to perform a Student 's t-test based on the truncated mean, which is called Yuen 's t-test, which also has several implementations in R.

Ejemplos

El método de puntuación utilizado en muchos deportes que son evaluados por un panel de jueces es una media truncada: descarta las puntuaciones más bajas y más altas; calcular el valor medio de las puntuaciones restantes.

La tasa de interés de referencia Libor se calcula como una media recortada: dadas 18 respuestas, las 4 primeras y las 4 inferiores se descartan, y las 10 restantes se promedian (lo que da un factor de recorte de rendimiento de 4/18 ≈ 22%).

Considere el conjunto de datos que consta de:

{92, 19, 101, 58, 1053, 91, 26, 78, 10, 13, −40, 101, 86, 85, 15, 89, 89, 28, ; 5 -, 41} (N = 20, significa = 101.5)

El percentil 5 (−6,75) se encuentra entre −40 y −5, mientras que el percentil 95 (148,6) se encuentra entre 101 y 1053 (los valores se muestran en negrita). Entonces, una media recortada del 5% daría como resultado lo siguiente:

{92, 19, 101, 58, 91, 26, 78, 10, 13, 101, 86, 85, 15, 89, 89, 28, −5, 41} (N = 18, significa = 56.5)

Este ejemplo se puede comparar con el que utiliza el procedimiento Winsorising.