Media generalizada

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N-a raíz de la media aritmética de los números dados elevados al poder n

Parcela de varios medios generalizados

{displaystyle M_{p}(1,x)}

En matemáticas, medias generalizadas (o media potencia o media de Hölder de Otto Hölder) son una familia de funciones para agregar conjuntos de números. Estos incluyen como casos especiales las medias pitagóricas (medias aritméticas, geométricas y armónicas).

Definición

Si $p$ es un número real no cero, y $x_{1},dotsx_{n}$ son números reales positivos, entonces el generalizado o poder con exponente $p$ de estos números reales positivos es:

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}right)^{{1}/{p}}.}

(Ver norma p). Para $p = 0$ lo establecemos igual a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes cercanos a cero, como se demuestra a continuación):

{displaystyle M_{0}(x_{1},dotsx_{n})=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}right)^{1/n}.}

Además, para una secuencia de pesos positivos $w i$ definimos el ponderado poder significa como:

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=left({frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{sum _{i=1}^{n}w_{i}}}right)^{{1}/{p}}}

p = 0

{displaystyle M_{0}(x_{1},dotsx_{n})=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)^{1/sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}

Las medias no ponderadas corresponden a establecer todos los $w i = 1/n$ .

Casos especiales

Representación visual de algunos de los casos especificados

n = 2

con

a = x 1 = M JUEGO

b = x 2 = M JUEGO

significa armónico,

H = M -1 () a, b)

Medio geométrico,

G = M 0 () a, b)

aritmética significa,

A = M 1 () a, b)

cuadrática,

Q = M 2 () a, b)

Algunos valores particulares de $p$ generan casos especiales con sus propios nombres:

mínimo: $M_{-infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{pto-infty} M_p(x_1,dots,x_n) = min {x_1,dots,x_n}$
armónico: $M_{-1}(x_1,dots,x_n) = frac{n}{frac{1}{x_1}+dots+frac{1}{x_n}}$
geométrica: $M_0(x_1,dots,x_n) = lim_{pto0} M_p(x_1,dots,x_n) = sqrt[n]{x_1cdotdotscdot x_n}$
aritmética media: $M_1(x_1,dots,x_n) = frac{x_1 + dots + x_n}{n}$
raíz media cuadrado o media cuadrática: $M_2(x_1,dots,x_n) = sqrt{frac{x_1^2 + dots + x_n^2}{n}}$
cúbico: $M_{3}(x_{1},dotsx_{n})={sqrt[ {3}]{{frac {x_{1}^{3}+dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$
máximo: $M_{+infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{ptoinfty} M_p(x_1,dots,x_n) = max {x_1,dots,x_n}$

Prueba ${textstyle lim _{pto 0}M_{p}=M_{0}}$ (medio geométrico) Podemos reescribir la definición de $M p$ usando la función exponencial

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=exp {left(ln {left[left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}right]}right)}=exp {left({frac {ln {left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)}}{p}}right)}}

En el límite $p \to 0$ , podemos aplicar la regla de L'Hôpital's al argumento de la función exponencial. Suponemos que $p$ ∈ R pero $p$ ≠ 0, y que la suma de $w i$ es igual a 1 (sin pérdida en general); Diferenciando el numerador y el denominador con respecto a $p$ , tenemos

{displaystyle {begin{aligned}lim _{pto 0}{frac {ln {left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)}}{p}}&=lim _{pto 0}{frac {frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\&=lim _{pto 0}{frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\&=sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}ln {x_{i}}}{lim _{pto 0}sum _{j=1}^{n}w_{j}left({frac {x_{j}}{x_{i}}}right)^{p}}}\&=sum _{i=1}^{n}w_{i}ln {x_{i}}\&=ln {left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)}end{aligned}}}

Por la continuidad de la función exponencial, podemos volver a sustituir en la relación anterior para obtener

{displaystyle lim _{pto 0}M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=exp {left(ln {left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)}right)}=prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},dotsx_{n})}

Prueba ${textstyle lim _{pto infty }M_{p}=M_{infty }}$ y ${textstyle lim _{pto -infty }M_{p}=M_{-infty }}$

Asumo (posiblemente después de reetiquetar y combinar términos juntos) que $x_1 geq dots geq x_n$ . Entonces...

{displaystyle {begin{aligned}lim _{pto infty }M_{p}(x_{1},dotsx_{n})&=lim _{pto infty }left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}\&=x_{1}lim _{pto infty }left(sum _{i=1}^{n}w_{i}left({frac {x_{i}}{x_{1}}}right)^{p}right)^{1/p}\&=x_{1}=M_{infty }(x_{1},dotsx_{n}).end{aligned}}}

La fórmula para $M_{-infty}$ A continuación ${displaystyle M_{-infty }(x_{1},dotsx_{n})={frac {1}{M_{infty }(1/x_{1},dots1/x_{n})}}=x_{n}.}$

Propiedades

Vamos $x_{1},dotsx_{n}$ ser una secuencia de números reales positivos, entonces las siguientes propiedades sostienen:

${displaystyle min(x_{1},dotsx_{n})leq M_{p}(x_{1},dotsx_{n})leq max(x_{1},dotsx_{n})}$ .
Cada medio generalizado siempre se encuentra entre el más pequeño y el más grande del $x$ valores.
${displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=M_{p}(P(x_{1},dotsx_{n}))}$ , donde $P$ es un operador de permutación.
Cada medio generalizado es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de un medio generalizado no cambia su valor.
${displaystyle M_{p}(bx_{1},dotsbx_{n})=bcdot M_{p}(x_{1},dotsx_{n})}$ .
Como la mayoría de los medios, la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos $x 1,... x n$ . Eso es, si $b$ es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente $p$ de los números $bcdot x_1,dots, bcdot x_n$ es igual a $b$ tiempos la media generalizada de los números $x 1,... x n$ .
${displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{ncdot k})=M_{p}left[M_{p}(x_{1},dotsx_{k}),M_{p}(x_{k+1},dotsx_{2cdot k}),dotsM_{p}(x_{(n-1)cdot k+1},dotsx_{ncdot k})right]}$ .
Al igual que los medios cuasi-aritméticos, la computación del medio puede dividirse en computaciones de subblocks de igual tamaño. Esto permite el uso de un algoritmo de división y conquista para calcular los medios, cuando sea deseable.

Desigualdad media generalizada

Prueba geométrica sin palabras max()a,b) ■ root mean square ()RMS) o media cuadráticaQM) ■ aritmética mediaAM) ■ media geométricaMM) ■ significación armónicaHM) ■ min()a,b) de dos números positivos distintos a y b

En general, si $p < q$ , entonces

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})leq M_{q}(x_{1},dotsx_{n})}

x 1 = x 2 = x n

La desigualdad es cierta para los valores reales de $p$ y $q$ , así como valores infinitos positivos y negativos.

Se deduce del hecho de que, para todos los $p$ reales,

{displaystyle {frac {partial }{partial p}}M_{p}(x_{1},dotsx_{n})geq 0}

En particular, para $p$ en ${-1, 0, 1}$ , la desigualdad media generalizada implica la desigualdad media pitagórica, así como la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

Prueba de poder significa desigualdad

Probaremos potencia ponderada significa desigualdad, para efectos de la demostración supondremos lo siguiente sin pérdida de generalidad:

{displaystyle {begin{aligned}w_{i}in [0,1]\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1end{aligned}}}

La prueba de las medias de potencia no ponderadas se obtiene fácilmente sustituyendo $w i = 1/ n .$

Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos

Supongamos un promedio entre potencias medias con exponentes $p$ y $q$ contiene:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}geq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}right)^{1/p}geq left(sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}right)^{1/q}}

Elevamos ambos lados a la potencia de −1 (función estrictamente decreciente en reales positivos):

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}right)^{-1/p}=left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}{frac {1}{x_{i}^{p}}}}}right)^{1/p}leq left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}{frac {1}{x_{i}^{q}}}}}right)^{1/q}=left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}right)^{-1/q}}

Obtenemos la desigualdad de medias con exponentes $- p$ y $- q$ , y podemos usar el mismo razonamiento al revés, demostrando así que las desigualdades son equivalentes, que se usarán en algunas de las demostraciones posteriores.

Media geométrica

Para cualquier $q > 0$ y pesos no negativos que suman 1, se cumple la siguiente desigualdad:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}right)^{-1/q}leq prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}.}

La prueba se sigue de la desigualdad de Jensen, haciendo uso del hecho de que el logaritmo es cóncavo:

{displaystyle log prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=sum _{i=1}^{n}w_{i}log x_{i}leq log sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}

Aplicando la función exponencial a ambos lados y observando que como función estrictamente creciente conserva el signo de la desigualdad, obtenemos

{displaystyle prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}

Tomando $q$ -ésimas potencias de $x i$ , hemos terminado con la desigualdad con positivo $q$ ; el caso de los negativos es idéntico.

Desigualdad entre dos potencias cualquiera

Debemos probar que para cualquier $p < q$ se cumple la siguiente desigualdad:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

p

q

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

La prueba de positivo $p$ y $q$ es el siguiente: Definir la función siguiente: $f : R + \to R +$ $f(x)=x^{frac{q}{p}}$ . $f$ es una función de potencia, por lo que tiene un segundo derivado:

{displaystyle f''(x)=left({frac {q}{p}}right)left({frac {q}{p}}-1right)x^{{frac {q}{p}}-2}}

f

q ■ p

f

Usando esto y la desigualdad de Jensen obtenemos:

{displaystyle {begin{aligned}fleft(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)&leq sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\[3pt]left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{q/p}&leq sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}end{aligned}}}

1/ q

1/ q

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

Usando la equivalencia mostrada anteriormente, podemos probar la desigualdad para $p$ y $q$ reemplazándolos con $-q$ y $-p$ , respectivamente.

F-media generalizada

La potencia media podría generalizarse más allá de la f-media generalizada:

{displaystyle M_{f}(x_{1},dotsx_{n})=f^{-1}left({{frac {1}{n}}cdot sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}right)}

Esto cubre la media geométrica sin usar un límite con $f (x) = log(x)$ . La potencia media se obtiene para $f (x) = x p$ . Las propiedades de estos medios se estudian en de Carvalho (2016).

Aplicaciones

Procesamiento de señales

Una potencia media sirve un promedio móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para $p$ pequeños y enfatiza la señal grande valores para grandes $p$ . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada smooth, se puede implementar una media móvil de potencia de acuerdo con el siguiente código de Haskell.

powerSmooth :: Flotación a = [a] - [a]) - a - [a] - [a]powerSmooth lisa p = mapa ()# recip p) . lisa . mapa ()#p)

Para grande $p$ puede servir como detector de sobres en una señal rectificada.
Para pequeño $p$ puede servir como detector de base en un espectro de masas.

Referencias y lecturas adicionales

P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, chapter III (The Power Means), pp. 175-265

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