Media armónica

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Inverso del promedio de los inversos de un conjunto de números

En matemáticas, la media armónica es uno de varios tipos de medias y, en particular, una de las medias pitagóricas. A veces es apropiado para situaciones en las que se desea la tasa promedio.

La media armónica se puede expresar como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos del conjunto dado de observaciones. Como ejemplo simple, la media armónica de 1, 4 y 4 es

{displaystyle left({frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}right)^{-1}={frac {3}{{frac {1}{1}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{4}}}}={frac {3}{1.5}}=2,.}

Definición

El significado armónico H de los números reales positivos $x_{1},x_{2},ldotsx_{n}$ se define como

{displaystyle H={frac {n}{{frac {1}{x_{1}}}+{frac {1}{x_{2}}}+cdots +{frac {1}{x_{n}}}}}={frac {n}{sum limits _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}}}=left({frac {sum limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}right)^{-1}.}

La tercera fórmula de la ecuación anterior expresa la media armónica como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos.

De la siguiente fórmula:

{displaystyle H={frac {ncdot prod limits _{j=1}^{n}x_{j}}{sum limits _{i=1}^{n}left{{frac {1}{x_{i}}}{prod limits _{j=1}^{n}x_{j}}right}}}.}

es más evidente que la media armónica está relacionada con las medias aritmética y geométrica. Es el dual recíproco de la media aritmética para entradas positivas:

{displaystyle 1/H(1/x_{1}ldots 1/x_{n})=A(x_{1}ldots x_{n})}

La significación armónica es una función Schur-concave, y dominada por el mínimo de sus argumentos, en el sentido de que para cualquier conjunto positivo de argumentos, ${displaystyle min(x_{1}ldots x_{n})leq H(x_{1}ldots x_{n})leq nmin(x_{1}ldots x_{n})}$ . Así, la significación armónica no puede ser hecha arbitrariamente grande cambiando algunos valores a los más grandes (mientras tener al menos un valor sin cambios).

La media armónica también es cóncava, que es una propiedad aún más fuerte que la concavidad de Schur. Sin embargo, hay que tener cuidado de usar solo números positivos, ya que la media no es cóncava si se usan valores negativos.

Relación con otros medios

Prueba geométrica sin palabras max()a,b) ■ root mean square ()RMS) o media cuadráticaQM) ■ aritmética mediaAM) ■ media geométricaMM) ■ significación armónicaHM) ■ min()a,b) de dos números positivos distintos a y b

La media armónica es una de las tres medias pitagóricas. Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores distintos, la media armónica es siempre la menor de las tres medias, mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres. tres y la media geométrica siempre está en el medio. (Si todos los valores en un conjunto de datos no vacío son iguales, las tres medias siempre son iguales entre sí; por ejemplo, las medias armónica, geométrica y aritmética de {2, 2, 2} son todas 2).

Es el caso especial M₋₁ de la potencia media:

{displaystyle Hleft(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}right)=M_{-1}left(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}right)={frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+cdots +x_{n}^{-1}}}}

Dado que la media armónica de una lista de números tiende fuertemente hacia los elementos menores de la lista, tiende (en comparación con la media aritmética) a mitigar el impacto de los valores atípicos grandes y agravar el impacto de los pequeños.

La media aritmética a menudo se usa por error en lugares que requieren la media armónica. En el siguiente ejemplo de velocidad, por ejemplo, la media aritmética de 40 es incorrecta y demasiado grande.

La media armónica está relacionada con las otras medias pitagóricas, como se ve en la siguiente ecuación. Esto se puede ver interpretando el denominador como la media aritmética del producto de números n veces pero omitiendo cada vez el término j-ésimo. Es decir, para el primer término, multiplicamos todos los números n excepto el primero; para el segundo, multiplicamos todos los números n excepto el segundo; etcétera. El numerador, excluyendo n, que va con la media aritmética, es la media geométrica de la potencia n. Así, la media armónica n-ésima está relacionada con las medias geométrica y aritmética n-ésima. La fórmula general es

{displaystyle Hleft(x_{1},ldotsx_{n}right)={frac {left(Gleft(x_{1},ldotsx_{n}right)right)^{n}}{Aleft(x_{2}x_{3}cdots x_{n},x_{1}x_{3}cdots x_{n},ldotsx_{1}x_{2}cdots x_{n-1}right)}}={frac {left(Gleft(x_{1},ldotsx_{n}right)right)^{n}}{Aleft({frac {1}{x_{1}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}},{frac {1}{x_{2}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}},ldots{frac {1}{x_{n}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}}right)}}.}

Si un conjunto de números no idénticos se somete a una distribución que conserva la media, es decir, dos o más elementos del conjunto se "separan" entre sí dejando la media aritmética sin cambios, entonces la media armónica siempre disminuye.

Media armónica de dos o tres números

Dos números

Una construcción geométrica de los tres medios pitagóricos de dos números, a y b. El significado armónico es denotado por H en púrpura, mientras que la media aritmética es A en rojo y la media geométrica es G en azul. Q denota un cuarto medio, el medio cuadrático. Puesto que una hipotenusa es siempre más larga que una pierna de un triángulo derecho, el diagrama muestra que Q ■ A ■ G ■ H.

Para el caso especial de sólo dos números, $x_{1}$ y $x_{2}$ , el significado armónico puede ser escrito

{displaystyle H={frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}qquad }

{displaystyle qquad {frac {1}{H}}={frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}

En este caso especial, la media armónica está relacionada con la media aritmética $A={frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ y la media geométrica $G={sqrt {x_{1}x_{2}}},$ por

{displaystyle H={frac {G^{2}}{A}}=Gleft({frac {G}{A}}right).}

Desde ${displaystyle {tfrac {G}{A}}leq 1}$ por la desigualdad de medios aritméticos y geométricos, esto muestra para n = 2 caso que H ≤ G (una propiedad que de hecho posee para todos n). It also follows that ${displaystyle G={sqrt {AH}}}$ , lo que significa que la media geométrica de los dos números equivale a la media geométrica de sus medios aritméticos y armónicos.

Tres números

Para el caso especial de tres números, $x_{1}$ , $x_{2}$ y $x_{3}$ , el significado armónico puede ser escrito

{displaystyle H={frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}

Tres números positivos H, G y A son respectivamente las medias armónica, geométrica y aritmética de tres números positivos si y solo si se cumple la siguiente desigualdad

{displaystyle {frac {A^{3}}{G^{3}}}+{frac {G^{3}}{H^{3}}}+1leq {frac {3}{4}}left(1+{frac {A}{H}}right)^{2}.}

Media armónica ponderada

Si un conjunto de pesos $w_{1}$ ,... $w_{n}$ se asocia al conjunto de datos $x_{1}$ ,... $x_{n}$ , el Significado armónico ponderado se define por

{displaystyle H={frac {sum limits _{i=1}^{n}w_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=left({frac {sum limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{sum limits _{i=1}^{n}w_{i}}}right)^{-1}.}

La media armónica no ponderada se puede considerar como el caso especial en el que todos los pesos son iguales.

Ejemplos

En física

Velocidad media

En muchas situaciones que involucran tasas y razones, la media armónica proporciona el promedio correcto. Por ejemplo, si un vehículo recorre una cierta distancia d de ida a una velocidad x (por ejemplo, 60 km/h) y regresa la misma distancia a una velocidad y (por ejemplo, 20 km/h), entonces su velocidad promedio es la media armónica de x e y (30 km/h), no la media aritmética (40 km/h). El tiempo total de viaje es el mismo que si hubiera recorrido toda la distancia a esa velocidad promedio. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Velocidad media para todo el viaje = Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento = 2d/d/x + d/s = 2/1/x+1/y

Sin embargo, si el vehículo viaja por una cierta cantidad de tiempo a una velocidad x y luego la misma cantidad de tiempo a una velocidad y, entonces su velocidad media es la media aritmética de x e y, que en el ejemplo anterior es 40 km/h.

Velocidad media para todo el viaje = Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento = xt+yt/2t = x+y/2

El mismo principio se aplica a más de dos segmentos: dada una serie de subviajes a diferentes velocidades, si cada subviaje cubre la misma distancia, entonces la velocidad promedio es la media armónica de todas las velocidades del subviaje; y si cada sub-viaje toma la misma cantidad de tiempo, entonces la velocidad promedio es la media aritmética de todas las velocidades de los sub-viajes. (Si no es el caso, entonces se necesita una media armónica ponderada o una media aritmética ponderada. Para la media aritmética, la velocidad de cada parte del viaje se pondera por la duración de esa parte, mientras que para la media armónica, el peso correspondiente es la distancia En ambos casos, la fórmula resultante se reduce a dividir la distancia total por el tiempo total.)

Sin embargo, se puede evitar el uso de la media armónica para el caso de "ponderación por distancia". Plantee el problema como encontrar "lentitud" del viaje donde "lentitud" (en horas por kilómetro) es la inversa de la velocidad. Cuando se encuentre la lentitud del viaje, inviértala para encontrar el "verdadero" velocidad media de viaje. Para cada segmento de viaje i, la lentitud s_i = 1/velocidad_i. Luego tome la media aritmética ponderada de los s_i's ponderados por sus respectivas distancias (opcionalmente con los pesos normalizados para que sumen 1 al dividirlos por la longitud del viaje). Esto da la verdadera lentitud promedio (en tiempo por kilómetro). Resulta que este procedimiento, que se puede realizar sin conocer la media armónica, equivale a las mismas operaciones matemáticas que se utilizarían para resolver este problema utilizando la media armónica. Por lo tanto, ilustra por qué la media armónica funciona en este caso.

Densidad

Del mismo modo, si se desea estimar la densidad de una aleación dadas las densidades de sus elementos constituyentes y sus fracciones de masa (o, de manera equivalente, porcentajes en masa), entonces la densidad prevista de la aleación (excluyendo los cambios de volumen típicamente menores debido a los efectos de empaquetamiento atómico) es la media armónica ponderada de las densidades individuales, ponderada por la masa, en lugar de la media aritmética ponderada como cabría esperar al principio. Para usar la media aritmética ponderada, las densidades deberían ponderarse por volumen. La aplicación de análisis dimensional al problema mientras se etiquetan las unidades de masa por elemento y se asegura de que solo se cancelen las masas de elementos similares deja esto claro.

Electricidad

Si se conectan dos resistencias eléctricas en paralelo, una con resistencia x (p. ej., 60 Ω) y otra con resistencia y (p. ej., 40 Ω), entonces la efecto es el mismo que si se hubieran utilizado dos resistencias con la misma resistencia, ambas iguales a la media armónica de x e y (48 Ω): la resistencia equivalente, en en cualquier caso, es 24 Ω (la mitad de la media armónica). Este mismo principio se aplica a capacitores en serie oa inductores en paralelo.

Sin embargo, si uno conecta las resistencias en serie, entonces la resistencia promedio es la media aritmética de x y y (50 Ω), con una resistencia total igual al doble esto, la suma de x e y (100 Ω). Este principio se aplica a capacitores en paralelo oa inductores en serie.

Al igual que con el ejemplo anterior, se aplica el mismo principio cuando se conectan más de dos resistencias, capacitores o inductores, siempre que todos estén en paralelo o en serie.

La "masa efectiva de conductividad" de un semiconductor también se define como la media armónica de las masas efectivas a lo largo de las tres direcciones cristalográficas.

Óptica

En cuanto a otras ecuaciones ópticas, la ecuación de la lente delgada 1 //span>f = 1/u + 1/ v se puede reescribir de manera que la distancia focal f sea la mitad de la media armónica de las distancias del sujeto u y el objeto v de la lente.

En finanzas

La media armónica ponderada es el método preferible para promediar múltiplos, como la relación precio-beneficio (P/E). Si estas proporciones se promedian usando una media aritmética ponderada, los puntos de datos altos reciben mayor peso que los puntos de datos bajos. La media armónica ponderada, por otro lado, pondera correctamente cada punto de datos. La media aritmética ponderada simple, cuando se aplica a relaciones normalizadas que no son de precios, como el P/E, tiene un sesgo al alza y no puede justificarse numéricamente, ya que se basa en ganancias igualadas; del mismo modo que las velocidades de los vehículos no se pueden promediar para un viaje de ida y vuelta (ver arriba).

Por ejemplo, considere dos empresas, una con una capitalización de mercado de $150 mil millones y ganancias de $5 mil millones (P/E de 30) y otra con una capitalización de mercado de $1 mil millones y ganancias de $1 millón (P/E de 1000). Considere un índice compuesto por las dos acciones, con un 30% invertido en la primera y un 70% invertido en la segunda. Queremos calcular la relación P/E de este índice.

Uso de la media aritmética ponderada (incorrecto):

{displaystyle P/E=0.3times 30+0.7times 1000=709}

Usando la media armónica ponderada (correcto):

{displaystyle P/E={frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}approx 93.46}

Por lo tanto, el P/E correcto de 93,46 de este índice solo se puede encontrar usando la media armónica ponderada, mientras que la media aritmética ponderada lo sobreestimará significativamente.

En geometría

En cualquier triángulo, el radio del círculo es un tercio de la media armónica de las alturas.

Para cualquier punto P sobre el arco menor BC de la circunferencia circunscrita de un triángulo equilátero ABC, con distancias q y t de B y C respectivamente, y con la intersección de PA y BC estando a una distancia y del punto P, tenemos que y es la mitad de la media armónica de q y t .

En un triángulo rectángulo con catetos a y b y altura h desde la hipotenusa hasta el ángulo recto, $h ²$ es la mitad de la media armónica de $a ²$ y <span class="texhtml" b².

Sean t y s (t > s) los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c. Entonces $s ²$ es igual a la mitad de la media armónica de $c ²$ y $t ²$ .

Sea un trapezoide que tenga vértices A, B, C y D en secuencia y que tenga lados paralelos AB y CD. Sea E la intersección de las diagonales, y sea F del lado DA y G del lado BC tal que FEG es paralela a AB y CD. Entonces FG es la media armónica de AB y DC. (Esto es demostrable usando triángulos semejantes.)

Escaleras cruzadas. h es la mitad de la media armónica A y B

Una aplicación de este resultado trapezoidal es en el problema de las escaleras cruzadas, donde dos escaleras se encuentran opuestas en un callejón, cada una con los pies en la base de una pared lateral, con una apoyada contra una pared a la altura A y el otro apoyado contra la pared opuesta a la altura B, como se muestra. Las escaleras se cruzan a una altura de h sobre el suelo del callejón. Entonces h es la mitad de la media armónica de A y B. Este resultado aún se mantiene si las paredes están inclinadas pero siguen siendo paralelas y las "alturas" A, B y h se miden como distancias desde el suelo a lo largo de líneas paralelas a las paredes. Esto se puede demostrar fácilmente usando la fórmula del área de un trapezoide y la fórmula de la suma del área.

En una elipse, el semi-latus rectum (la distancia de un foco a la elipse a lo largo de una línea paralela al eje menor) es la media armónica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco.

En otras ciencias

En informática, específicamente recuperación de información y aprendizaje automático, la media armónica de la precisión (positivos verdaderos por positivo predicho) y la recuperación (positivos verdaderos por positivo real) se usa a menudo como una puntuación de rendimiento agregada para la evaluación de algoritmos. y sistemas: la puntuación F (o medida F). Esto se usa en la recuperación de información porque solo la clase positiva es relevante, mientras que el número de negativos, en general, es grande y desconocido. Por lo tanto, es una compensación si las predicciones positivas correctas deben medirse en relación con el número de positivos predichos o el número de positivos reales, por lo que se mide frente a un número putativo de positivos que es una media aritmética de los dos. posibles denominadores.

Surge una consecuencia del álgebra básica en problemas donde personas o sistemas trabajan juntos. Por ejemplo, si una bomba a gasolina puede drenar una piscina en 4 horas y una bomba a batería puede drenar la misma piscina en 6 horas, ambas bombas necesitarán $6\cdot4 / 6 + 4$ , que equivale a 2,4 horas, para drenar la piscina juntos. Esta es la mitad de la media armónica de 6 y 4: $2\cdot6\cdot4 / 6 + 4 = 4,8$ . Es decir, el promedio apropiado para los dos tipos de bomba es la media armónica, y con un par de bombas (dos bombas), se necesita la mitad de este tiempo medio armónico, mientras que con dos pares de bombas (cuatro bombas) se necesitaría un cuarta parte de este tiempo medio armónico.

En hidrología, la media armónica se usa de manera similar para promediar los valores de conductividad hidráulica para un flujo que es perpendicular a las capas (por ejemplo, geológico o del suelo); el flujo paralelo a las capas usa la media aritmética. Esta aparente diferencia en el promedio se explica por el hecho de que la hidrología utiliza la conductividad, que es la inversa de la resistividad.

En sabermetría, el número de potencia-velocidad de un jugador de béisbol es la media armónica de sus totales de jonrones y bases robadas.

En genética de poblaciones, la media armónica se usa cuando se calculan los efectos de las fluctuaciones en el tamaño de la población del censo sobre el tamaño efectivo de la población. La media armónica tiene en cuenta el hecho de que eventos como el cuello de botella de la población aumentan la tasa de deriva genética y reducen la cantidad de variación genética en la población. Esto es el resultado del hecho de que, después de un cuello de botella, muy pocos individuos contribuyen al acervo genético, lo que limita la variación genética presente en la población durante muchas generaciones por venir.

Cuando se considera el ahorro de combustible en los automóviles, se suelen utilizar dos medidas: millas por galón (mpg) y litros por 100 km. Como las dimensiones de estas cantidades son inversas entre sí (una es la distancia por volumen, la otra es el volumen por distancia), al tomar el valor medio de la economía de combustible de una gama de automóviles, una medida producirá la media armónica de la otra: es decir, al convertir el valor medio de la economía de combustible expresada en litros por cada 100 km a millas por galón se obtendrá la media armónica de la economía de combustible expresada en millas por galón. Para calcular el consumo promedio de combustible de una flota de vehículos a partir de los consumos de combustible individuales, se debe usar la media armónica si la flota usa millas por galón, mientras que se debe usar la media aritmética si la flota usa litros por 100 km. En los EE. UU., los estándares CAFE (los estándares federales de consumo de combustible para automóviles) utilizan la media armónica.

En química y física nuclear, la masa promedio por partícula de una mezcla que consta de diferentes especies (por ejemplo, moléculas o isótopos) viene dada por la media armónica de las especies individuales' masas ponderadas por su respectiva fracción de masa.

Distribución beta

Significado armónico para la distribución de Beta para 0

(Mean - HarmonicMean) para distribución Beta versus alfa y beta de 0 a 2

Significados armónicos para distribución de Beta Purple=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más pequeños alfa y beta en frente

Significados armónicos para distribución de Beta Purple=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más grandes alfa y beta en frente

La media armónica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

1,,&,,beta >0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H=α α − − 1α α +β β − − 1condicionalα α ■1" & β β ■0{displaystyle H={frac {alpha -1}{alpha +beta -1} {text{ conditional on }alpha >1,,cc,,beta }1,,&,,beta >0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a08c1ace20b89aee119a7c6143ac5a341b780d" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.798ex; height:5.676ex;"/>

La media armónica con α < 1 no está definido porque su expresión definitoria no está limitada en [0, 1].

Dejando α = β

{displaystyle H={frac {alpha -1}{2alpha -1}}}

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0 para α = β = 1, a 1/2 para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro parámetro acercándose a estos límites:

{displaystyle {begin{aligned}lim _{alpha to 0}H&={text{ undefined }}\lim _{alpha to 1}H&=lim _{beta to infty }H=0\lim _{beta to 0}H&=lim _{alpha to infty }H=1end{aligned}}}

Con la media geométrica, la media armónica puede ser útil en la estimación de máxima verosimilitud en el caso de los cuatro parámetros.

También existe una segunda media armónica (H_{1 − X}) para esta distribución

1,,&,,alpha >0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H1− − X=β β − − 1α α +β β − − 1condicionalβ β ■1" & α α ■0{displaystyle ¿Qué?1,,&,,alpha >0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2956e881ed7c9bfc110c6f8d3b51c73f6d3621" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.399ex; height:5.843ex;"/>

Esta media armónica con β < 1 no está definido porque su expresión definitoria no está limitada en [ 0, 1 ].

Dejando α = β en la expresión anterior

{displaystyle H_{1-X}={frac {beta -1}{2beta -1}}}

mostrando que para α = β la media armónica oscila entre 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro acercándose a estos límites:

{displaystyle {begin{aligned}lim _{beta to 0}H_{1-X}&={text{ undefined }}\lim _{beta to 1}H_{1-X}&=lim _{alpha to infty }H_{1-X}=0\lim _{alpha to 0}H_{1-X}&=lim _{beta to infty }H_{1-X}=1end{aligned}}}

Aunque ambas medias armónicas son asimétricas, cuando α = β las dos medias son iguales.

Distribución lognormal

La media armónica (H) de la distribución lognormal de una variable aleatoria X es

{displaystyle H=exp left(mu -{frac {1}{2}}sigma ^{2}right),}

donde μ y σ² son los parámetros de la distribución, es decir, la media y la varianza de la distribución del logaritmo natural de X.

Las medias armónica y aritmética de la distribución están relacionadas por

{displaystyle {frac {mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2},,}

donde C_v y μ^* son el coeficiente de variación y la media de la distribución respectivamente..

Las medias geométrica (G), aritmética y armónica de la distribución están relacionadas por

{displaystyle Hmu ^{*}=G^{2}.}

Distribución de Pareto

La media armónica de la distribución de Pareto tipo 1 es

{displaystyle H=kleft(1+{frac {1}{alpha }}right)}

donde k es el parámetro de escala y α es el parámetro de forma.

Estadísticas

Para una muestra aleatoria, la media armónica se calcula como se indicó anteriormente. Tanto la media como la varianza pueden ser infinitas (si incluye al menos un término de la forma 1/0).

Distribuciones muestrales de media y varianza

La media de la muestra m se distribuye asintóticamente normalmente con varianza s².

{displaystyle s^{2}={frac {mleft[operatorname {E} left({frac {1}{x}}-1right)right]}{m^{2}n}}}

La varianza de la media misma es

{displaystyle operatorname {Var} left({frac {1}{x}}right)={frac {mleft[operatorname {E} left({frac {1}{x}}-1right)right]}{nm^{2}}}}

donde m es la media aritmética de los recíprocos, x son los variables, n es el tamaño de la población y E es el operador de expectativa.

Método delta

Suponiendo que la varianza no es infinita y que el teorema del límite central se aplica a la muestra, entonces usando el método delta, la varianza es

{displaystyle operatorname {Var} (H)={frac {1}{n}}{frac {s^{2}}{m^{4}}}}

donde H es la media armónica, m es la media aritmética de los recíprocos

{displaystyle m={frac {1}{n}}sum {frac {1}{x}}.}

s² es la varianza de los recíprocos de los datos

{displaystyle s^{2}=operatorname {Var} left({frac {1}{x}}right)}

y n es el número de puntos de datos en la muestra.

Método Jackknife

Un método jackknife para estimar la varianza es posible si se conoce la media. Este método es el habitual 'delete 1' en lugar de 'eliminar m' versión.

Este método primero requiere el cálculo de la media de la muestra (m)

{displaystyle m={frac {n}{sum {frac {1}{x}}}}}

donde x son los valores de muestra.

Luego se calcula una serie de valor w_i donde

{displaystyle w_{i}={frac {n-1}{sum _{jneq i}{frac {1}{x}}}}.}

Se toma entonces la media (h) de la w_i:

{displaystyle h={frac {1}{n}}sum {w_{i}}}

La varianza de la media es

{displaystyle {frac {n-1}{n}}sum {(m-w_{i})}^{2}.}

Las pruebas de significación y los intervalos de confianza para la media se pueden estimar con la prueba t.

Muestreo sesgado por tamaño

Suponga que una variable aleatoria tiene una distribución f(x). Suponga también que la probabilidad de que se elija una variable es proporcional a su valor. Esto se conoce como muestreo basado en la talla o sesgado por el tamaño.

Sea μ la media de la población. Entonces la función de densidad de probabilidad f*(x) de la población sesgada por tamaño es

{displaystyle f^{*}(x)={frac {xf(x)}{mu }}}

La expectativa de esta distribución sesgada de longitud E^*(x) es

{displaystyle operatorname {E} ^{*}(x)=mu left[1+{frac {sigma ^{2}}{mu ^{2}}}right]}

donde σ² es la varianza.

La expectativa de la media armónica es la misma que la versión sin sesgo de longitud E(x)

{displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}

El problema del muestreo sesgado por la longitud surge en varias áreas, incluido el análisis genealógico de la fabricación textil y el análisis de supervivencia.

Akman et al. han desarrollado una prueba para la detección de sesgo basado en la longitud en las muestras.