Mecánica relativista

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Teoría del movimiento y fuerzas para objetos cercanos a la velocidad de la luz

En física, mecánica relativista se refiere a la mecánica compatible con relatividad especial (SR) y relatividad general (GR). Proporciona una descripción mecánica no cuántica de un sistema de partículas, o de un líquido, en los casos en que las velocidades de los objetos móviles son comparables a la velocidad de la luz c. Como resultado, la mecánica clásica se extiende correctamente a partículas que viajan a altas velocidades y energías, y proporciona una inclusión consistente de electromagnetismo con la mecánica de partículas. Esto no era posible en la relatividad Galileo, donde se permitiría que las partículas y la luz viajaran a cualquiera velocidad, incluso más rápido que la luz. Los fundamentos de la mecánica relativista son los postulados de relatividad especial y relatividad general. La unificación de SR con mecánica cuántica es mecánica cuántica relativista, mientras que los intentos por el de GR es la gravedad cuántica, un problema sin resolver en la física.

Al igual que con la mecánica clásica, el tema se puede dividir en "cinemática"; la descripción del movimiento especificando posiciones, velocidades y aceleraciones, y "dinámica"; una descripción completa considerando energías, momentos y momentos angulares y sus leyes de conservación, y fuerzas que actúan sobre partículas o ejercidas por partículas. Sin embargo, hay una sutileza; lo que parece estar "moviéndose" y lo que está "en reposo", lo que la "estática" en mecánica clásica, depende del movimiento relativo de los observadores que miden en marcos de referencia.

Aunque algunas definiciones y conceptos de la mecánica clásica se trasladan a SR, como la fuerza como la derivada del momento del momento (segunda ley de Newton), el trabajo realizado por una partícula como la integral de línea de la fuerza ejercida sobre la partícula a lo largo de una trayectoria, y la potencia como la derivada temporal del trabajo realizado, hay una serie de modificaciones significativas en las definiciones y fórmulas restantes. SR afirma que el movimiento es relativo y que las leyes de la física son las mismas para todos los experimentadores, independientemente de sus sistemas de referencia inerciales. Además de modificar las nociones de espacio y tiempo, la SR obliga a reconsiderar los conceptos de masa, momento y energía, todos los cuales son construcciones importantes en la mecánica newtoniana. SR muestra que todos estos conceptos son aspectos diferentes de la misma cantidad física de la misma manera que muestra que el espacio y el tiempo están interrelacionados. En consecuencia, otra modificación es el concepto de centro de masa de un sistema, que es sencillo de definir en la mecánica clásica pero mucho menos obvio en la relatividad (ver centro de masa relativista para más detalles).

Las ecuaciones se vuelven más complicadas en el formalismo de cálculo vectorial tridimensional más familiar, debido a la no linealidad en el factor de Lorentz, que explica con precisión la dependencia relativista de la velocidad y el límite de velocidad de todas las partículas y campos. Sin embargo, tienen una forma más simple y elegante en el espacio-tiempo cuatridimensional, que incluye el espacio plano de Minkowski (SR) y el espacio-tiempo curvo (GR), porque los vectores tridimensionales derivados del espacio y los escalares derivados del tiempo se puede agrupar en cuatro vectores o tensores de cuatro dimensiones. Sin embargo, el tensor de momento angular de seis componentes a veces se denomina bivector porque en el punto de vista 3D son dos vectores (uno de ellos, el momento angular convencional, es un vector axial).

Cinemática relativista

Las cuatro velocidades relativistas, es decir, los cuatro vectores que representan la velocidad en la relatividad, se definen de la siguiente manera:

{displaystyle {boldsymbol {mathbf {U} }}={frac {d{boldsymbol {mathbf {X} }}}{dtau }}=left({frac {cdt}{dtau }},{frac {dmathbf {x} }{dtau }}right)}

En lo anterior, ${displaystyle {tau }}$ es el tiempo adecuado del camino a través del espacio, llamado la línea mundial, seguido por la velocidad del objeto que representa, y

{displaystyle {boldsymbol {mathbf {X} }}=(ct,mathbf {x})}

es la cuatro posiciones; las coordenadas de un evento. Debido a la dilatación del tiempo, el tiempo adecuado es el tiempo entre dos eventos en un marco de referencia donde tienen lugar en el mismo lugar. El tiempo adecuado está relacionado con el tiempo de coordinación t por:

{displaystyle {frac {dtau }{dt}}={frac {1}{gamma (mathbf {v})}}}

Donde ${displaystyle {gamma }(mathbf {v})}$ es el factor Lorentz:

{displaystyle gamma (mathbf {v})={frac {1}{sqrt {1-mathbf {v} cdot mathbf {v} /c^{2}}}},rightleftharpoons ,gamma (v)={frac {1}{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}

(ya se puede citar la versión) por lo que sigue:

{displaystyle {boldsymbol {mathbf {U} }}=gamma (mathbf {v})(c,mathbf {v})}

Los tres primeros términos, excepto el factor de ${displaystyle {gamma (mathbf {v})}}$ , es la velocidad vista por el observador en su propio marco de referencia. El ${displaystyle {gamma (mathbf {v})}}$ se determina por la velocidad ${displaystyle mathbf {v} }$ entre el marco de referencia del observador y el marco del objeto, que es el marco en el que se mide su tiempo apropiado. Esta cantidad es invariante bajo la transformación de Lorentz, por lo que comprobar para ver lo que un observador en un marco de referencia diferente ve, uno simplemente multiplica la velocidad cuatro-vector por la matriz de transformación de Lorentz entre los dos marcos de referencia.

Dinámica relativista

Masa de descanso y masa relativista

La masa de un objeto medida en su propio marco de referencia se llama su masa de descanso o masa invariable y a veces está escrito ${displaystyle m_{0}}$ . Si un objeto se mueve con velocidad ${displaystyle mathbf {v} }$ en algún otro marco de referencia, la cantidad ${displaystyle m=gamma (mathbf {v})m_{0}}$ a menudo se llama la "masa relativista" del objeto en ese marco. Algunos autores utilizan ${displaystyle m}$ to denote rest mass, but for the sake of clarity this article will follow the convention of using ${displaystyle m}$ para la masa relativista y ${displaystyle m_{0}}$ para la masa de descanso.

Lev Okun ha sugerido que el concepto de masa relativista "no tiene hoy ninguna justificación racional" y ya no debería enseñarse. Otros físicos, incluidos Wolfgang Rindler y T. R. Sandin, sostienen que el concepto es útil. Consulte masa en relatividad especial para obtener más información sobre este debate.

Una partícula cuya masa en reposo es cero se llama sin masa. Se cree que los fotones y los gravitones no tienen masa, y los neutrinos casi la tienen.

Energía e impulso relativistas

Hay un par de formas (equivalentes) de definir el impulso y la energía en SR. Un método utiliza leyes de conservación. Para que estas leyes sigan siendo válidas en la RS, deben ser ciertas en todos los marcos de referencia posibles. Sin embargo, si uno hace algunos experimentos mentales simples usando las definiciones newtonianas de momento y energía, verá que estas cantidades no se conservan en SR. Se puede rescatar la idea de conservación haciendo algunas pequeñas modificaciones a las definiciones para tener en cuenta las velocidades relativistas. Son estas nuevas definiciones las que se consideran correctas para el momento y la energía en SR.

El impulso de cuatro vectores de un objeto es sencillo, idéntico en forma al impulso clásico, pero reemplazando 3 vectores por 4 vectores:

{displaystyle {boldsymbol {mathbf {P} }}=m_{0}{boldsymbol {mathbf {U} }}=(E/c,mathbf {p})}

La energía y el impulso de un objeto con masa invariante ${displaystyle m_{0}}$ , moverse con velocidad ${displaystyle mathbf {v} }$ con respecto a un marco de referencia dado, se dan respectivamente

{displaystyle {begin{aligned}E&=gamma (mathbf {v})m_{0}c^{2}\mathbf {p} &=gamma (mathbf {v})m_{0}mathbf {v} end{aligned}}}

El factor ${displaystyle gamma }$ viene de la definición de la cuatro-velocidad descrita anteriormente. La apariencia de ${displaystyle gamma }$ puede ser declarado de manera alternativa, que se explicará en la siguiente sección.

La energía cinética, ${displaystyle K}$ , se define como

{displaystyle K=(gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2},,}

y la velocidad en función de la energía cinética está dada por

{displaystyle v=c{sqrt {1-left({frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}right)^{2}}}={frac {c{sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={frac {c{sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={frac {pc^{2}}{E}},.}

El impulso espacial puede ser escrito como ${displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} }$ , preservando la forma de la mecánica Newtoniana con masa relativista sustituida por la masa Newtoniana. Sin embargo, esta sustitución falla en algunas cantidades, incluida la fuerza y la energía cinética. Además, la masa relativista no es invariante en las transformaciones de Lorentz, mientras que la masa restante es. Por esta razón, muchas personas prefieren usar la masa de descanso y contar para ${displaystyle gamma }$ explícitamente a través de la 4-velocidad o tiempo de coordinación.

Una relación simple entre energía, impulso y velocidad puede obtenerse de las definiciones de energía y impulso multiplicando la energía por ${displaystyle mathbf {v} }$ , multiplicando el impulso por ${displaystyle c^{2}}$ , y notando que las dos expresiones son iguales. Este rendimiento

{displaystyle mathbf {p} c^{2}=Emathbf {v} }

${displaystyle mathbf {v} }$ puede entonces ser eliminado dividiendo esta ecuación por ${displaystyle c}$ and squaring,

{displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}

dividiendo la definición de energía por ${displaystyle gamma }$ and squaring,

{displaystyle E^{2}left(1-(v/c)^{2}right)=left(m_{0}c^{2}right)^{2}}

y sustitución:

{displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=left(m_{0}c^{2}right)^{2}}

Esta es la relación relativista energía-momento.

Mientras que la energía ${displaystyle E}$ y el impulso ${displaystyle mathbf {p} }$ depende del marco de referencia en el que se miden, la cantidad ${displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ es invariante. Su valor es ${displaystyle -c^{2}}$ tiempos la magnitud cuadrada del vector 4-momentum.

La masa invariante de un sistema se puede escribir como

{displaystyle {m_{0}}_{text{tot}}={frac {sqrt {E_{text{tot}}^{2}-(p_{text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}

Debido a la energía cinética y la energía de enlace, esta cantidad es diferente de la suma de las masas en reposo de las partículas que componen el sistema. La masa en reposo no es una cantidad conservada en la relatividad especial, a diferencia de lo que ocurre en la física newtoniana. Sin embargo, incluso si un objeto cambia internamente, siempre que no intercambie energía o impulso con su entorno, su masa en reposo no cambiará y se puede calcular con el mismo resultado en cualquier sistema de referencia.

Equivalencia masa-energía

La ecuación relativista energía-momento es válida para todas las partículas, incluso para las partículas sin masa para las cuales m₀ = 0. En este caso:

{displaystyle E=pc}

Cuando se sustituye en Ev = c²p, esto da v = c: las partículas sin masa (como los fotones) siempre viajan a la velocidad de la luz.

Observe que la masa en reposo de un sistema compuesto generalmente será ligeramente diferente de la suma de las masas en reposo de sus partes ya que, en su sistema en reposo, su energía cinética aumentará su masa y su energía de enlace (negativa) disminuirá. su masa. En particular, una hipotética "caja de luz" tendría masa en reposo aunque estuviera hecho de partículas que no la tienen, ya que sus momentos se cancelarían.

Al observar la fórmula anterior para la masa invariante de un sistema, se ve que, cuando un único objeto masivo está en reposo (v = 0, p = 0), queda una masa distinta de cero: m₀ = E/ c². La energía correspondiente, que también es la energía total cuando una sola partícula está en reposo, se denomina "energía en reposo". En sistemas de partículas que se ven desde un sistema inercial en movimiento, la energía total aumenta y también el impulso. Sin embargo, para partículas individuales la masa en reposo permanece constante, y para sistemas de partículas la masa invariante permanece constante, porque en ambos casos, los aumentos de energía y momento se restan entre sí y se cancelan. Por tanto, la masa invariante de sistemas de partículas es una constante calculada para todos los observadores, al igual que la masa en reposo de partículas individuales.

La masa de los sistemas y la conservación de la masa invariante

Para sistemas de partículas, la ecuación energía-momento requiere sumar los vectores de momento de las partículas:

{displaystyle E^{2}-mathbf {p} cdot mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}

El marco inercial en el que los momentos de todas las partículas suman cero se llama centro del marco de momento. En este marco especial, la ecuación relativista energía-momento tiene p = 0 y, por lo tanto, da la masa invariante del sistema simplemente como la energía total de todas las partes del sistema, dividida por c. ²

{displaystyle m_{0,,{rm {system}}}=sum _{n}E_{n}/c^{2}}

Esta es la masa invariante de cualquier sistema que se mide en un marco donde tiene un momento total cero, como una botella de gas caliente en una balanza. En tal sistema, la masa que pesa la báscula es la masa invariante y depende de la energía total del sistema. Por tanto, es más que la suma de las masas en reposo de las moléculas, pero también incluye todas las energías totales del sistema. Al igual que la energía y el momento, la masa invariante de los sistemas aislados no se puede cambiar mientras el sistema permanezca totalmente cerrado (no se permite la entrada ni la salida de masa o energía), porque la energía relativista total del sistema permanece constante mientras nada pueda entrar o salir. dejalo.

Un aumento en la energía de dicho sistema que se produce al trasladar el sistema a un sistema inercial que no es el centro del sistema de impulso, provoca un aumento en la energía y el impulso sin un aumento en la masa invariante. E = m₀c², sin embargo, se aplica sólo a sistemas aislados en su marco de centro de impulso donde el impulso suma cero.

Tomando esta fórmula al pie de la letra, vemos que en la relatividad, la masa es simplemente energía con otro nombre (y medida en diferentes unidades). En 1927, Einstein comentó acerca de la relatividad especial: "Según esta teoría, la masa no es una magnitud inalterable, sino una magnitud que depende (y, de hecho, es idéntica a) la cantidad de energía".

Sistemas cerrados (aislados)

En un recinto "totalmente cerrado" En un sistema (es decir, un sistema aislado), se conservan la energía total, el momento total y, por tanto, la masa invariante total. La fórmula de Einstein para el cambio de masa se traduce a su forma más simple ΔE = Δmc², sin embargo, sólo en forma no cerrada. Sistemas en los que se permite escapar la energía (por ejemplo, en forma de calor y luz) y, por tanto, se reduce la masa invariante. La ecuación de Einstein muestra que tales sistemas deben perder masa, de acuerdo con la fórmula anterior, en proporción a la energía que pierden en el entorno. Por el contrario, si se pueden medir las diferencias de masa entre un sistema antes de que experimente una reacción que libera calor y luz, y el sistema después de la reacción cuando el calor y la luz han escapado, se puede estimar la cantidad de energía que escapa del sistema.

Reacciones químicas y nucleares

Tanto en reacciones nucleares como químicas, dicha energía representa la diferencia en las energías de enlace de los electrones en los átomos (para la química) o entre los nucleones en los núcleos (en las reacciones atómicas). En ambos casos, la diferencia de masa entre reactivos y productos (enfriados) mide la masa de calor y luz que escapará de la reacción y, por tanto, (usando la ecuación) da la energía equivalente de calor y luz que puede emitirse si la reacción continúa. .

En química, las diferencias de masa asociadas con la energía emitida son alrededor de 10⁻⁹ de la masa molecular. Sin embargo, en las reacciones nucleares las energías son tan grandes que están asociadas con diferencias de masa, que pueden estimarse de antemano, si se han pesado los productos y reactivos (los átomos se pueden pesar indirectamente usando masas atómicas, que son siempre las mismas para cada nucleido). Así, la fórmula de Einstein adquiere importancia cuando se han medido las masas de diferentes núcleos atómicos. Al observar la diferencia de masas, se puede predecir qué núcleos tienen energía almacenada que puede ser liberada mediante determinadas reacciones nucleares, proporcionando información importante que fue útil en el desarrollo de la energía nuclear y, en consecuencia, de la bomba nuclear. Históricamente, por ejemplo, Lise Meitner pudo utilizar las diferencias de masa en los núcleos para estimar que había suficiente energía disponible para hacer de la fisión nuclear un proceso favorable. Las implicaciones de esta forma especial de la fórmula de Einstein la han convertido en una de las ecuaciones más famosas de toda la ciencia.

Center of momentum frame

La ecuación E = m₀c² se aplica sólo a aislamientos sistemas en su centro de marco de momento. Popularmente se ha entendido erróneamente que significa que la masa puede convertir en energía, después de lo cual la masa desaparece. Sin embargo, las explicaciones populares de la ecuación aplicada a los sistemas incluyen sistemas abiertos (no aislados) para los cuales se permite escapar el calor y la luz, cuando de otro modo habrían contribuido a la masa (masa invariante) del sistema.

Históricamente, la confusión sobre la masa que se "convierte" ha aumentado. La conversión de energía se ha visto favorecida por la confusión entre masa y "materia", donde la materia se define como partículas de fermiones. En tal definición, la radiación electromagnética y la energía cinética (o calor) no se consideran "materia". En algunas situaciones, la materia puede convertirse en formas de energía no materia (ver arriba), pero en todas estas situaciones, las formas de energía materia y no materia aún conservan su masa original.

Para sistemas aislados (cerrados a todo intercambio de masa y energía), la masa nunca desaparece en el centro del marco de impulso, porque la energía no puede desaparecer. En cambio, esta ecuación, en contexto, significa sólo que cuando se agrega o escapa de cualquier energía, un sistema en el marco central de momento, el sistema se medirá como haber ganado o perdido masa, en proporción a la energía agregada o eliminada. Así, en teoría, si una bomba atómica se coloca en una caja lo suficientemente fuerte para sostener su explosión, y detonada sobre una escala, la masa de este sistema cerrado no cambiaría, y la escala no se movería. Sólo cuando se abrió una "ventana" transparente en la caja llena de plasma súper fuerte, y se permitió que la luz y el calor escaparan en un haz, y los componentes de la bomba para enfriar, el sistema perdería la masa asociada con la energía de la explosión. En una bomba de 21 kilotones, por ejemplo, se crea alrededor de un gramo de luz y calor. Si se permitiera escapar este calor y la luz, los restos de la bomba perderían un gramo de masa, ya que se enfría. En este pensamiento-experimento, la luz y el calor llevan el gramo de masa, y por lo tanto depositaría este gramo de masa en los objetos que los absorben.

Momento angular

En la mecánica relativista, el momento de la masa que va en el tiempo

{displaystyle mathbf {N} =mleft(mathbf {x} -tmathbf {v} right)}

y momento orbital de 3 ángulos

{displaystyle mathbf {L} =mathbf {x} times mathbf {p} }

Los

de una partícula puntual se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de las 4 posiciones X y el 4 momento P de la partícula:

{displaystyle mathbf {M} =mathbf {X} wedge mathbf {P} }

donde ∧ denota el producto exterior. Este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular para cada constituyente del sistema. Entonces, para un conjunto de partículas discretas, se suman los tensores del momento angular de las partículas, o se integra la densidad del momento angular en la extensión de una distribución de masa continua.

Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.

Fuerza

En la relatividad especial, la segunda ley de Newton no se cumple en la forma F = ma, pero sí se cumple si se expresa como

{displaystyle mathbf {F} ={frac {dmathbf {p} }{dt}}}

donde p = γ(v)m₀v es el impulso como se definió anteriormente y m₀ es la masa invariante. Por tanto, la fuerza está dada por

{displaystyle mathbf {F} =gamma ^{3}m_{0},mathbf {a} _{parallel }+gamma m_{0},mathbf {a} _{perp } mathrm {where} gamma =gamma (mathbf {v})}

Derivación

Empezando desde

{displaystyle mathbf {F} =m_{0}{frac {d(gamma (mathbf {v}),mathbf {v})}{dt}}=m_{0}left({frac {dgamma (mathbf {v})}{dt}},mathbf {v} +gamma (mathbf {v}){frac {dmathbf {v} }{dt}}right).}

Sacar los derivados da

{displaystyle mathbf {F} ={frac {gamma (mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}left(mathbf {v} cdot mathbf {a} right),mathbf {v} +gamma (mathbf {v})m_{0},mathbf {a}.}

Si la aceleración se separa en la parte paralela a la velocidad (a∥) y la parte perpendicular a ella (a⊥), de modo que:

{displaystyle mathbf {a} =mathbf {a} _{parallel }+mathbf {a} _{perp },,quad mathbf {v} cdot mathbf {a} _{perp }=0,,quad mathbf {v} cdot mathbf {a} =mathbf {v} cdot mathbf {a} _{parallel },,}

uno se pone

{displaystyle mathbf {F} ={frac {gamma (mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}left(mathbf {v} cdot mathbf {a} _{parallel }right),mathbf {v} +gamma (mathbf {v})m_{0},(mathbf {a} _{perp }+mathbf {a} _{parallel }),.}

Por construcción a_∥ y v son paralelos, así (v·a_∥)v es un vector con magnitud v²a_∥ en la dirección de v (y por lo tanto) a_∥) que permite el reemplazo:

{displaystyle (mathbf {v} cdot mathbf {a} _{parallel })mathbf {v} =v^{2}mathbf {a} _{parallel }}

entonces

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} &={frac {gamma (mathbf {v})^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}},mathbf {a} _{parallel }+gamma (mathbf {v})m_{0},(mathbf {a} _{parallel }+mathbf {a} _{perp })\&=gamma (mathbf {v})^{3}m_{0}left({frac {v^{2}}{c^{2}}}+{frac {1}{gamma (mathbf {v})^{2}}}right)mathbf {a} _{parallel }+gamma (mathbf {v})m_{0},mathbf {a} _{perp }\&=gamma (mathbf {v})^{3}m_{0}left({frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}right)mathbf {a} _{parallel }+gamma (mathbf {v})m_{0},mathbf {a} _{perp }\&=gamma (mathbf {v})^{3}m_{0},mathbf {a} _{parallel }+gamma (mathbf {v})m_{0},mathbf {a} _{perp }end{aligned}},}

En consecuencia, en algunos textos antiguos, γ(v)³m₀ se denomina masa longitudinal, y γ(v)m₀ se conoce como masa transversal, que es numéricamente lo mismo que la masa relativista. Ver masa en relatividad especial.

Si uno invierte esto para calcular la aceleración a partir de la fuerza, obtiene

{displaystyle mathbf {a} ={frac {1}{m_{0}gamma (mathbf {v})}}left(mathbf {F} -{frac {(mathbf {v} cdot mathbf {F})mathbf {v} }{c^{2}}}right),.}

La fuerza descrita en esta sección es la fuerza tridimensional clásica que no es un cuatro vectores. Esta fuerza tridimensional es el concepto apropiado de fuerza, ya que es la fuerza que obedece la tercera ley del movimiento de Newton. No debe confundirse con la llamada fuerza de cuatro, que es simplemente la fuerza tridimensional en el marco móvil del objeto transformado como si fuera un vector de cuatro. Sin embargo, la densidad de la fuerza tridimensional (momento lineal transferido por unidad de cuatro volúmenes) es un cuatro vectores (densidad de peso +1) cuando se combina con el negativo de la densidad de potencia transferida.

Par

El par que actúa sobre una partícula puntual se define como la derivada del tensor del momento angular dado anteriormente con respecto al tiempo propio:

{displaystyle {boldsymbol {Gamma }}={frac {dmathbf {M} }{dtau }}=mathbf {X} wedge mathbf {F} }

o en componentes tensoriales:

{displaystyle Gamma _{alpha beta }=X_{alpha }F_{beta }-X_{beta }F_{alpha }}

donde F es la fuerza 4d que actúa sobre la partícula en el evento X. Al igual que con el momento angular, el par es aditivo, por lo que para un objeto extendido uno suma o integra la distribución de masa.

Energía cinética

El trabajo-energía teorema dice que el cambio en la energía cinética es igual al trabajo realizado en el cuerpo. En relatividad especial:

{displaystyle {begin{aligned}Delta K=W=[gamma _{1}-gamma _{0}]m_{0}c^{2}.end{aligned}}}

Derivación

{displaystyle {begin{aligned}Delta K=W&=int _{mathbf {x} _{0}}^{mathbf {x} _{1}}mathbf {F} cdot dmathbf {x} \&=int _{t_{0}}^{t_{1}}{frac {d}{dt}}(gamma m_{0}mathbf {v})cdot mathbf {v} dt\&=left.gamma m_{0}mathbf {v} cdot mathbf {v} right|_{t_{0}}^{t_{1}}-int _{t_{0}}^{t_{1}}gamma m_{0}mathbf {v} cdot {frac {dmathbf {v} }{dt}}dt\&=left.gamma m_{0}v^{2}right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}int _{v_{0}}^{v_{1}}gamma v,dv\&=m_{0}left(left.gamma v^{2}right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}int _{v_{0}}^{v_{1}}{frac {2v/c^{2}}{2{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},dvright)\&=left.m_{0}left({frac {v^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}right)right|_{t_{0}}^{t_{1}}\&=left.{frac {m_{0}c^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}right|_{t_{0}}^{t_{1}}\&=left.{gamma m_{0}c^{2}}right|_{t_{0}}^{t_{1}}\&=gamma _{1}m_{0}c^{2}-gamma _{0}m_{0}c^{2}.end{aligned}}}

Si en el estado inicial el cuerpo estaba en reposo, entonces v₀ = 0 y γ₀(v₀) = 1, y en el estado final tiene velocidad v₁ = v, estableciendo γ ₁(v₁) = γ(v), la energía cinética es entonces;

{displaystyle K=[gamma (v)-1]m_{0}c^{2},,}

un resultado que se puede obtener directamente restando la energía en reposo m₀c² del total energía relativista γ(v)m₀c².

Límite newtoniano

El factor de Lorentz γ(v) se puede expandir a una serie de Taylor o una serie binomial para (v/c)² < 1, obteniendo:

{displaystyle gamma ={dfrac {1}{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=sum _{n=0}^{infty }left({dfrac {v}{c}}right)^{2n}prod _{k=1}^{n}left({dfrac {2k-1}{2k}}right)=1+{dfrac {1}{2}}left({dfrac {v}{c}}right)^{2}+{dfrac {3}{8}}left({dfrac {v}{c}}right)^{4}+{dfrac {5}{16}}left({dfrac {v}{c}}right)^{6}+cdots }

y en consecuencia

{displaystyle E-m_{0}c^{2}={frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{frac {3}{8}}{frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{frac {5}{16}}{frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+cdots;}

{displaystyle mathbf {p} =m_{0}mathbf {v} +{frac {1}{2}}{frac {m_{0}v^{2}mathbf {v} }{c^{2}}}+{frac {3}{8}}{frac {m_{0}v^{4}mathbf {v} }{c^{4}}}+{frac {5}{16}}{frac {m_{0}v^{6}mathbf {v} }{c^{6}}}+cdots.}

Para velocidades mucho menores que la de la luz, se pueden ignorar los términos con c² y superiores en el denominador. Luego, estas fórmulas se reducen a las definiciones estándar de energía cinética y momento newtonianos. Así debe ser, ya que la relatividad especial debe coincidir con la mecánica newtoniana a bajas velocidades.

Más resultados...