Mecánica hamiltoniana

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La mecánica hamiltoniana surgió en 1833 como una reformulación de la mecánica lagrangiana. Introducida por Sir William Rowan Hamilton, la mecánica hamiltoniana reemplaza las velocidades (generalizadas) ${displaystyle {dot {q}}^{i}}$ utilizadas en la mecánica lagrangiana con momentos (generalizados). Ambas teorías proporcionan interpretaciones de la mecánica clásica y describen los mismos fenómenos físicos.

La mecánica hamiltoniana tiene una estrecha relación con la geometría (en particular, la geometría simpléctica y las estructuras de Poisson) y sirve como vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica.

Visión general

Coordenadas del espacio de fase (p,q) y hamiltoniano H

Sea ${displaystyle (M,{mathcal {L}})}$ un sistema mecánico con el espacio de configuración $METRO$ y el Lagrangiano suave ${displaystyle {mathcal {L}}.}$ Seleccione un sistema de coordenadas estándar ${displaystyle ({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}})}$ en ${ estilo de visualización M.}$ Las cantidades ${displaystyle textstyle p_{i}({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}},t)~{stackrel {text{def}}{=}}~{ parcial {mathcal {L}}}/{parcial {dot {q}}^{i}}}$ se llaman momentos. (También momentos generalizados, momentos conjugados y momentos canónicos). Para un instante de tiempo, $yo,$ la transformación de Legendre ${ matemáticas {L}}$ se define como el mapa ${displaystyle ({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}})to left({boldsymbol {p}},{boldsymbol {q}}right)}$ que se supone que tiene un inverso suave ${displaystyle ({boldsymbol {p}},{boldsymbol {q}})to ({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}}).}$ . Para un sistema con $norte$ grados de libertad, la mecánica de Lagrange define la función de energía.

{displaystyle E_{mathcal {L}}({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}},t),{stackrel {text{def}}{=}} ,sum _{i=1}^{n}{dot {q}}^{i}{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {q}}^ {i}}}-{ matemáticas {L}}.}

La inversa de la transformada de Legendre de ${ matemáticas {L}}$ se convierte ${displaystyle E_{mathcal {L}}}$ en una función ${displaystyle {mathcal {H}}({boldsymbol {p}},{boldsymbol {q}},t)}$ conocida como hamiltoniana. El hamiltoniano satisface

{displaystyle {mathcal {H}}left({frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {boldsymbol {dot {q}}}}},{boldsymbol {q} },tright)=E_{mathcal {L}}({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}},t)}

lo que implica que

{displaystyle {mathcal {H}}({boldsymbol {p}},{boldsymbol {q}},t)=sum _{i=1}^{n}p_{i}{dot { q}}^{i}-{mathcal {L}}({boldsymbol {q}},{boldsymbol {dot {q}}},t),}

donde las velocidades ${displaystyle {boldsymbol {dot {q}}}=({dot {q}}^{1},ldots,{dot {q}}^{n})}$ se encuentran a partir de la $norte$ ecuación (-dimensional) ${displaystyle textstyle {boldsymbol {p}}={parcial {mathcal {L}}}/{parcial {boldsymbol {dot {q}}}}}$ que, por suposición, tiene una solución única para ${displaystyle {boldsymbol {dot {q}}}.}$ El $2n$ par (-dimensional) ${ estilo de visualización ({ símbolo de negrita {p}}, { símbolo de negrita {q}})}$ se denomina coordenadas del espacio de fase. (También coordenadas canónicas).

De la ecuación de Euler-Lagrange a las ecuaciones de Hamilton

En coordenadas espaciales de fase, la ecuación de Euler-Lagrange ${ estilo de visualización ({ símbolo de negrita {p}}, { símbolo de negrita {q}}),}$ (-dimensional) $norte$

{displaystyle {frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {boldsymbol {q}}}}-{frac {d}{dt}}{frac {parcial {mathcal { L}}}{parcial {boldsymbol {dot {q}}}}}=0}

se convierte en las ecuaciones de Hamilton en $2n$ dimensiones

{displaystyle {frac {mathrm {d} {boldsymbol {q}}}{mathrm {d} t}}={frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial {boldsymbol {p}}}},quad {frac {mathrm {d} {boldsymbol {p}}}{mathrm {d} t}}=-{frac {parcial {mathcal {H}} }{parcial {boldsymbol {q}}}}.}

Del principio de acción estacionario a las ecuaciones de Hamilton

Sea ${displaystyle {mathcal {P}}(a,b,{boldsymbol {x}}_{a},{boldsymbol {x}}_{b})}$ el conjunto de caminos suaves ${displaystyle {boldsymbol {q}}:[a,b]a M}$ para los cuales ${boldsymbol {q}}(a)={boldsymbol {x}}_{a}$ y ${displaystyle {boldsymbol {q}}(b)={boldsymbol {x}}_{b}.}$ El funcional de acción ${displaystyle {mathcal {S}}:{mathcal {P}}(a,b,{boldsymbol {x}}_{a},{boldsymbol {x}}_{b})to matematicas {R} }$ se define a través de

{displaystyle {mathcal {S}}[{boldsymbol {q}}]=int _{a}^{b}{mathcal {L}}(t,{boldsymbol {q}}(t),{dot {boldsymbol {q}}}(t)),dt=int _{a}^{b}left(sum _{i=1}^{n}p_{i}{ dot {q}}^{i}-{mathcal {H}}({boldsymbol {p}},{boldsymbol {q}},t)right),dt,}

donde ${displaystyle {boldsymbol {q}}={boldsymbol {q}}(t),}$ y ${displaystyle {boldsymbol {p}}=parcial {mathcal {L}}/parcial {boldsymbol {dot {q}}}}$ (ver arriba). Una trayectoria ${displaystyle {boldsymbol {q}}in {mathcal {P}}(a,b,{boldsymbol {x}}_{a},{boldsymbol {x}}_{b})}$ es un punto estacionario de ${displaystyle {mathcal {S}}}$ (y por lo tanto es una ecuación de movimiento) si y solo si la trayectoria ${displaystyle ({boldsymbol {p}}(t),{boldsymbol {q}}(t))}$ en las coordenadas del espacio de fase obedece a las ecuaciones de Hamilton.

Interpretación física básica

Una interpretación simple de la mecánica hamiltoniana proviene de su aplicación en un sistema unidimensional que consta de una partícula de masa m. El valor $H(p,q)$ del hamiltoniano es la energía total del sistema, es decir, la suma de las energías cinética y potencial, tradicionalmente denominadas T y V, respectivamente. Aquí p es el momento mv y q es la coordenada espacial. Después

{displaystyle {mathcal {H}}=T+Vquad,quad T={frac {p^{2}}{2m}}quad,quad V=V(q)}

T es una función de p solo, mientras que V es una función de q solo (es decir, T y V son escleronómicos).

En este ejemplo, la derivada temporal del impulso p es igual a la fuerza newtoniana, por lo que la primera ecuación de Hamilton significa que la fuerza es igual al gradiente negativo de energía potencial. La derivada temporal de q es la velocidad, por lo que la segunda ecuación de Hamilton significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su cantidad de movimiento.

Ejemplo

Un péndulo esférico consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera. Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad. Las coordenadas esféricas se utilizan para describir la posición de la masa en términos de (r, θ, φ), donde r es fijo, r = l.

El Lagrangiano para este sistema es

{displaystyle L={frac {1}{2}}ml^{2}left({dot {theta }}^{2}+sin ^{2}theta {dot { phi }}^{2}right)+mglcos theta.}

Por tanto, el hamiltoniano es

{displaystyle H=P_{theta }{dot {theta }}+P_{phi }{dot {phi }}-L}

dónde

{displaystyle P_{theta }={frac {parcial L}{parcial {dot {theta }}}}=ml^{2}{dot {theta }}}

{displaystyle P_{phi }={frac {parcial L}{parcial {dot {phi }}}}=ml^{2}sin ^{2}!theta ,{ punto { phi }}.}

En términos de coordenadas y momentos, el hamiltoniano dice

{displaystyle H=underbrace {left[{frac {1}{2}}ml^{2}{dot {theta }}^{2}+{frac {1}{2}}ml ^{2}sin ^{2}!theta ,{dot {phi }}^{2}right]} _{T}+underbrace {{Big [}-mglcos theta {Big]}}_{V}={frac {P_{theta}^{2}}{2ml^{2}}}+{frac {P_{phi}^{2}}{ 2ml^{2}sen ^{2}theta }}-mglcos theta }

Las ecuaciones de Hamilton dan la evolución temporal de las coordenadas y los momentos conjugados en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden,

{displaystyle {dot {theta }}={P_{theta } over ml^{2}}}

{displaystyle {dot {phi }}={P_{phi } over ml^{2}sin ^{2}theta }}

{displaystyle {dot {P_{theta }}}={P_{phi }^{2} over ml^{2}sin ^{3}theta }cos theta -mglsin theta}

El momento ${ Displaystyle P_ { phi}}$ , que corresponde a la componente vertical del momento angular ${displaystyle L_{z}=lsin theta times mlsin theta ,{dot {phi }}}$ , es una constante de movimiento. Eso es consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. Al estar ausente del hamiltoniano, el azimut $fi$ es una coordenada cíclica, lo que implica la conservación de su momento conjugado.

Derivación de las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar mediante un cálculo con el Lagrangiano ${ matemática L}$ , posiciones generalizadas q y velocidades generalizadas q̇, donde ${displaystyle i=1,ldots,n}$ . Aquí trabajamos fuera de la estructura, lo que significa que ${displaystyle q^{i},{dot {q}}^{i},t}$ son coordenadas independientes en el espacio de fase, sin restricciones para seguir ninguna ecuación de movimiento (en particular, ${ punto {q}}^{i}$ no es una derivada de $q^{yo}$ ). La diferencial total del Lagrangiano es:

{displaystyle mathrm {d} {mathcal {L}}=sum _{i}left({frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}} mathrm {d} q^{i}+{frac {parcial {mathcal {L}}}{partial {dot {q}}^{i}}}mathrm {d} {dot {q }}^{i}right)+{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}mathrm {d} t.}

Las coordenadas de impulso generalizadas se definieron como ${displaystyle p_{i}=parcial {mathcal {L}}/parcial {dot {q}}^{i}}$ , por lo que podemos reescribir la ecuación como:

{displaystyle {begin{array}{rcl}mathrm {d} {mathcal {L}}&=&displaystyle sum_{i}left({frac {parcial {mathcal {L} }}{parcial q^{i}}}mathrm {d} q^{i}+p_{i}mathrm {d} {dot {q}}^{i}right)+{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}mathrm {d} t\&=&displaystyle sum_{i}left({frac {parcial {mathcal {L }}}{q parcial^{i}}}mathrm {d} q^{i}+mathrm {d} (p_{i}{dot {q}}^{i})-{dot {q}}^{i}mathrm {d} p_{i}right)+{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}mathrm {d} t,. end{matriz}}}

Después de reordenar, se obtiene:

{displaystyle mathrm {d} !left(sum _{i}p_{i}{dot {q}}^{i}-{mathcal {L}}right)=sum_{ i}left(-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}}mathrm {d} q^{i}+{dot {q}}^{ i}mathrm {d} p_{i}right)-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}mathrm {d} t.}

El término entre paréntesis en el lado izquierdo es solo el hamiltoniano ${textstyle {mathcal {H}}=sum p_{i}{dot {q}}^{i}-{mathcal {L}}}$ definido anteriormente, por lo tanto:

{displaystyle mathrm {d} {mathcal {H}}=sum _{i}left(-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}} mathrm {d} q^{i}+{dot {q}}^{i}mathrm {d} p_{i}right)-{frac {parcial {mathcal {L}}}{ t parcial}}mathrm {d} t.}

También se puede calcular el diferencial total del hamiltoniano ${ matemáticas {H}}$ con respecto a las coordenadas ${ estilo de visualización q^{i},p_{i},t}$ en lugar de ${displaystyle q^{i},{dot {q}}^{i},t}$ , dando como resultado:

{displaystyle mathrm {d} {mathcal {H}}=sum _{i}left({frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}} mathrm {d} q^{i}+{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial p_{i}}}mathrm {d} p_{i}right)+{frac { parcial {mathcal {H}}}{parcial t}}mathrm {d} t.}

One may now equate these two expressions for ${displaystyle d{mathcal {H}}}$ , one in terms of ${ matemática L}$ , the other in terms of ${ matemáticas {H}}$ :

{displaystyle sum _{i}left(-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}}mathrm {d} q^{i}+{ punto {q}}^{i}mathrm {d} p_{i}right)-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}mathrm {d} t = sum _{i}left({frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}}mathrm {d} q^{i}+{frac { parcial {mathcal {H}}}{parcial p_{i}}}mathrm {d} p_{i}right)+{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial t} }mathrm {d} t.}

Dado que estos cálculos son fuera de la cáscara, se pueden igualar los coeficientes respectivos de ${displaystyle mathrm {d} q^{i},mathrm {d} p_{i},mathrm {d} t}$ en los dos lados:

{displaystyle {frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}}=-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i }}}quad,quad {frac {parcial {mathcal {H}}}{partial p_{i}}}={dot {q}}^{i}quad,quad { frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial t}}=-{parcial {mathcal {L}} over parcial t}.}

En el caparazón, se sustituyen las funciones paramétricas ${ estilo de visualización q^{i}=q^{i}(t)}$ que definen una trayectoria en el espacio de fase con velocidades ${textstyle {dot {q}}^{i}={tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ , obedeciendo las ecuaciones de Lagrange:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {q}}^{i} }}-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}}=0.}

Reorganizar y escribir en términos de on-shell ${displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$ da:

{displaystyle {frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}}={dot {p}}_{i}.}

Así, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton:

{displaystyle {frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}}=-{dot {p}}_{i}quad,quad {frac { parcial {mathcal {H}}}{parcial p_{i}}}={dot {q}}^{i}quad,quad {frac {parcial {mathcal {H}}}{ t parcial}}=-{frac {parcial {mathcal {L}}}{t parcial}},.}

En el caso de independiente del tiempo ${ matemáticas {H}}$ y ${ matemática L}$ , es decir ${displaystyle parcial {mathcal {H}}/parcial t=-parcial {mathcal {L}}/parcial t=0}$ , las ecuaciones de Hamilton consisten en 2 n ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que las ecuaciones de Lagrange consisten en n ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton por lo general no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero de ellas se pueden derivar importantes resultados teóricos, porque las coordenadas y los momentos son variables independientes con roles casi simétricos.

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene una simetría, de modo que alguna coordenada $q_{yo}$ no ocurre en el hamiltoniano (es decir, una coordenada cíclica), la coordenada de momento correspondiente ${displaystyle p_{i}}$ se conserva a lo largo de cada trayectoria, y esa coordenada se puede reducir a una constante en las otras ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a (n - 1) coordenadas: esta es la base de la reducción simpléctica en geometría. En el marco lagrangiano, la conservación del momento también sigue inmediatamente, sin embargo, todas las velocidades generalizadas ${displaystyle {dot {q}}_{i}}$ todavía ocurren en el lagrangiano, y un sistema de ecuaciones en ncoordenadas todavía tiene que ser resuelto.

Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan la base para obtener resultados más profundos en la mecánica clásica y sugieren formulaciones análogas en la mecánica cuántica: la formulación de la integral de trayectoria y la ecuación de Schrödinger.

Propiedades del hamiltoniano H

El valor del hamiltoniano ${displaystyle {mathcal {H}}}$ es la energía total del sistema si y solo si la función de energía ${displaystyle E_{mathcal {L}}}$ tiene la misma propiedad. (Ver definición de ${displaystyle {mathcal {H}}).}$
${displaystyle {frac {d{mathcal {H}}}{dt}}={frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial t}}}$ cuando ${displaystyle mathbf {p} (t),mathbf {q} (t)}$ forman una solución de las ecuaciones de Hamilton.De hecho, ${textstyle {frac {d{mathcal {H}}}{dt}}={frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial {boldsymbol {p}}}}cdot { dot {boldsymbol {p}}}+{frac {parcial {mathcal {H}}}{partial {boldsymbol {q}}}}cdot {dot {boldsymbol {q}}} +{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial t}},}$ y todo menos el término final se cancela.
${displaystyle {mathcal {H}}}$ no cambia bajo transformaciones de puntos, es decir, cambios suaves ${displaystyle {boldsymbol {q}}leftrightarrow {boldsymbol {q'}}}$ de coordenadas espaciales. (Se sigue de la invariancia de la función de energía ${displaystyle E_{mathcal {L}}}$ bajo transformaciones puntuales. La invariancia de ${displaystyle E_{mathcal {L}}}$ puede establecerse directamente).
${displaystyle {frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial t}}=-{frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial t}}.}$ (Consulte Derivación de las ecuaciones de Hamilton).
${displaystyle -{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}}={dot {p}}_{i}={frac {parcial {mathcal {L}}}{q parcial^{i}}}.}$ (Compare las ecuaciones de Hamilton y Euler-Lagrange o consulte Derivación de las ecuaciones de Hamilton).
${displaystyle {frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial q^{i}}}=0}$ si y solo si ${displaystyle {frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial q^{i}}}=0.}$ Una coordenada para la que se cumple la última ecuación se llama cíclica (o ignorable). Cada coordenada cíclica $q^{yo}$ reduce el número de grados de libertad al hacer que se conserve $1,$ el momento correspondiente $Pi}$ y hace que las ecuaciones de Hamilton sean más fáciles de resolver.

Hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético

Una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana la proporciona el hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético. En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI):

{displaystyle {mathcal {L}}=sum_{i}{tfrac {1}{2}}m{dot {x}}_{i}^{2}+sum_{i} q{punto {x}}_{i}A_{i}-qvarphi}

donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial eléctrico escalar y A _i son los componentes del potencial magnético vectorial que pueden depender todos explícitamente de $x_{yo}$ y $t$ .

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange, produce la ley de fuerza de Lorentz

{display estilo m{ddot{mathbf{x}}}=qmathbf{E}+q{dot{mathbf{x}}}timesmathbf{B},,}

y se llama acoplamiento mínimo.

Tenga en cuenta que los valores del potencial escalar y el potencial vectorial cambiarían durante una transformación de calibre, y el propio Lagrangiano también recogerá términos adicionales; Pero los términos adicionales en Lagrange se suman a una derivada de tiempo total de una función escalar y, por lo tanto, no cambiarán la ecuación de Euler-Lagrange.

Los momentos canónicos están dados por:

{displaystyle p_{i}={frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {x}}_{i}}}=m{dot {x}}_{i }+qA_{i}}

Tenga en cuenta que los momentos canónicos no son invariantes de calibre y no se pueden medir físicamente. Sin embargo, el momento cinético:

{displaystyle P_{i}equiv m{dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}

es calibre invariante y físicamente medible.

El hamiltoniano, como transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto:

{displaystyle {mathcal {H}}=left{sum_{i}{dot {x}}_{i}p_{i}right}-{mathcal {L}}= suma _{i}{frac {left(p_{i}-qA_{i}right)^{2}}{2m}}+qvarphi }

Esta ecuación se usa con frecuencia en la mecánica cuántica.

Transformación bajo calibre:

{displaystyle mathbf {A} rightarrow mathbf {A} +nabla f,,quad varphi rightarrow varphi -{dot {f}},,}

donde f (r, t) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo, la transformada lagrangiana, canónica y hamiltoniana mencionada anteriormente como:

{displaystyle Lrightarrow L'=L+q{frac {df}{dt}},,quad mathbf {p} rightarrow mathbf {p'} =mathbf {p} +qnabla f,,quad Hrightarrow H'=Hq{frac {parcial f}{parcial t}},,}

que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:

{displaystyle {begin{alineado}left.{frac {parcial H'}{parcial {x_{i}}}}right|_{p'_{i}}&=left.{ frac {parcial }{parcial {x_{i}}}}right|_{p'_{i}}({dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-left.{frac {parcial L'}{parcial {x_{i}}}}right|_{p'_{i}}\&=-left.{frac { parcial L}{parcial {x_{i}}}}right|_{p'_{i}}-qleft.{frac {parcial }{parcial {x_{i}}}} right|_{p'_{i}}{frac {df}{dt}}\&=-{frac {d}{dt}}left(left.{frac {parcial L }{parcial {{dot {x}}_{i}}}}right|_{p'_{i}}+qleft.{frac {parcial f}{parcial {x_{ i}}}}right|_{p'_{i}}right)\&=-{dot {p}}'_{i}end{alineado}}}

En la mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo local U(1) durante la transformación de calibre, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo las transformaciones locales de U(1).

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético

El Lagrangiano relativista para una partícula (masa en reposo $metro$ y carga $q$ ) viene dado por:

{displaystyle{mathcal{L}}(t)=-mc^{2}{sqrt{1-{frac {{{dot{mathbf{x}}}(t)}^{2} {c^{2}}}}}+q{dot {mathbf{x}}}(t)cdot mathbf{A}left(mathbf{x}(t),tright) -qvarphiizquierda(mathbf{x}(t),tderecha)}

Por lo tanto, el momento canónico de la partícula es

{displaystylemathbf{p}(t)={frac{parcial{mathcal{L}}}{parcial{dot{mathbf{x}}}}}={frac{m{ punto {mathbf{x}}}}{sqrt {1-{frac {{dot {mathbf{x}}}^{2}}{c^{2}}}}}}+q matemáticasbf {A}}

es decir, la suma del momento cinético y el momento potencial.

Resolviendo para la velocidad, obtenemos

{displaystyle {dot {mathbf{x}}}(t)={frac {mathbf{p}-qmathbf{A}}{sqrt{m^{2}+{frac{1 {c^{2}}}{izquierda(mathbf{p}-qmathbf{A}derecha)}^{2}}}}}

Entonces el hamiltoniano es

{displaystyle {mathcal{H}}(t)={dot{mathbf{x}}}cdotmathbf{p} -{mathcal{L}}=c{sqrt{m^{2 }c^{2}+{left(mathbf{p} -qmathbf{A}right)}^{2}}}+qvarphi}

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange)

{displaystyle {dot {mathbf {p} }}=-{frac {parcial {mathcal {H}}}{parcial mathbf {x} }}=q{dot {mathbf {x } }}cdot ({boldsymbol {nabla }}mathbf {A})-q{boldsymbol {nabla }}varphi =q{boldsymbol {nabla }}({dot {mathbf { x} }}cdot mathbf {A})-q{boldsymbol {nabla }}varphi }

de la que se puede derivar

{displaystyle {begin{alineado}{frac {mathrm{d}}{mathrm{d}t}}left({frac {m{dot {mathbf{x}}}}{ raíz cuadrada {1-{frac {{dot {mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}}right)&={frac {mathrm{d}} { mathrm{d}t}}(mathbf{p}-qmathbf{A})={dot{mathbf{p}}}-q{frac {parcialmathbf{A}}{ parcial t}}-q({dot {mathbf {x}}}cdot nabla)mathbf {A} \&=q{símbolo de bola {nabla }}({dot {mathbf { x } }}cdot mathbf {A})-q{símbolo de bola {nabla }}varphi -q{frac {parcial mathbf {A} }{parcial t}}-q({dot {mathbf{x}}}cdot nabla)mathbf{A} \&=qmathbf{E} +q{dot {mathbf{x}}}times mathbf{B}end {alineado}}}

La derivación anterior hace uso de la identidad de cálculo vectorial:

{displaystyle {tfrac {1}{2}}nabla left(mathbf {A} cdot mathbf {A} right)=mathbf {A} cdot mathbf {J}_{mathbf {A} }=mathbf {A} cdot (nabla mathbf {A})=(mathbf {A} cdot nabla)mathbf {A} +mathbf {A} times (nabla veces mathbf {A}).}

Una expresión equivalente para el hamiltoniano como función del momento relativista (cinético) ${displaystylemathbf{P}=gammam{dot{mathbf{x}}}(t)=mathbf{p}-qmathbf{A}}$ , es

{displaystyle{mathcal{H}}(t)={dot{mathbf{x}}}(t)cdotmathbf{P}(t)+{frac{mc^{2}}{ gamma}}+qvarphi(mathbf{x}(t),t)=gamma mc^{2}+qvarphi(mathbf{x}(t),t)=E+V}

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético $mathbf {P}$ se puede medir experimentalmente mientras que el momento canónico $matemáticas {p}$ no. Observe que el hamiltoniano (energía total) puede verse como la suma de la energía relativista (cinética+reposo) $E=gamma mc^{2}$ , más la energía potencial, ${displaystyle V=qvarfi}$ .

De la geometría simpléctica a las ecuaciones de Hamilton

Geometría de los sistemas hamiltonianos

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad uniforme uniforme M de varias formas equivalentes, siendo la más conocida la siguiente:

Como una forma simpléctica cerrada no degenerada de 2 ω. Según el teorema de Darboux, en una pequeña vecindad alrededor de cualquier punto de M existen coordenadas locales adecuadas ${displaystyle p_{1},cdots,p_{n},q_{1},cdots,q_{n}}$ (coordenadas canónicas o simplécticas) en las que la forma simpléctica se convierte en:

{displaystyle omega =sum _{i=1}^{n}dp_{i}cuña dq_{i},.}

La forma $omega$ induce un isomorfismo natural del espacio tangente con el espacio cotangente: ${displaystyle T_{x}Mcong T_{x}^{*}M.}$ Esto se hace asignando un vector ${ estilo de visualización xi en T_ {x} M}$ a la forma 1 ${displaystyle omega_{xi}in T_{x}^{*}M,}$ donde ${displaystyle omega _{xi }(eta)=omega (eta,xi)}$ para todos ${ estilo de visualización eta en T_ {x} M.}$ Debido a la bilinealidad y la no degeneración de $omega,$ y al hecho de que ${displaystyle dim T_{x}M=dim T_{x}^{*}M,}$ la asignación ${ estilo de visualización xi a omega _ { xi}}$ es de hecho un isomorfismo lineal. Este isomorfismo es natural en el sentido de que no cambia con el cambio de coordenadas en ${ estilo de visualización M.}$ Repetir sobre todo ${ estilo de visualización x en M,}$ terminamos con un isomorfismo ${displaystyle J^{-1}:{text{Vect}}(M)to Omega ^{1}(M)}$ entre el espacio de dimensión infinita de los campos vectoriales uniformes y el de las formas 1 uniformes. para cada ${displaystyle f,gin C^{infty}(M,mathbb {R})}$ y ${displaystyle xi,eta in {text{Vect}}(M),}$

{displaystyle J^{-1}(fxi +geta)=fJ^{-1}(xi)+gJ^{-1}(eta).}

(En términos algebraicos, se diría que los ${displaystyle C^{infty}(M,mathbb {R})}$ módulos ${displaystyle {text{Vect}}(M)}$ y ${displaystyleOmega^{1}(M)}$ son isomorfos). Si entonces, para todo y ${displaystyle Hin C^{infty}(Mtimes mathbb {R} _{t},mathbb {R}),}$ fijo se conoce como campo vectorial hamiltoniano. La respectiva ecuación diferencial en ${displaystyle tin mathbb {R} _{t},}$ ${displaystyle dHen Omega ^{1}(M),}$ ${displaystyle J(dH)in {text{Vect}}(M).}$ ${ estilo de visualización J (dH)}$ $METRO$

{ estilo de visualización { punto {x}} = J (dH) (x)}

se llama ecuación de Hamilton. Aquí ${ estilo de visualización x = x (t)}$ y ${ estilo de visualización J (dH) (x) en T_ {x} M}$ es el valor (dependiente del tiempo) del campo vectorial ${ estilo de visualización J (dH)}$ en $xen m$

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un haz de fibras E en el tiempo R, siendo la fibra E _t el espacio de posición en el tiempo t ∈ R. El lagrangiano es, por tanto, una función en el haz en chorro J sobre E; tomando la transformada de Legendre fibrada del Lagrangiano se produce una función sobre el haz dual en el tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T E _t, que viene equipado con una forma simpléctica natural, y esta última función es la hamiltoniana. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se logra con la forma única tautológica.

Cualquier función suave de valor real H en una variedad simpléctica se puede usar para definir un sistema hamiltoniano. La función H se conoce como "la hamiltoniana" o "la función de energía". La variedad simpléctica se llama entonces espacio de fases. El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano.

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en la variedad. Esta es una familia de transformaciones de la variedad de un parámetro (el parámetro de las curvas se denomina comúnmente "el tiempo"); es decir, una isotopía de simplectomorfismos, a partir de la identidad. Por el teorema de Liouville, cada simplectomorfismo conserva la forma del volumen en el espacio de fases. La colección de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se denomina comúnmente "mecánica hamiltoniana" del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson. El corchete de Poisson le da al espacio de funciones en la variedad la estructura de un álgebra de Lie.

Si F y G son funciones suaves en M, entonces la función suave ω (IdG, IdF) está definida correctamente; se llama corchete de Poisson de las funciones F y G y se denota { F, G }. El corchete de Poisson tiene las siguientes propiedades:

bilinealidad
antisimetría
Regla de Leibniz: ${displaystyle {F_{1}cdot F_{2},G}=F_{1}{F_{2},G}+F_{2}{F_{1},G}}$
identidad jacobi: ${displaystyle {{H,F},G}+{{F,G},H}+{{G,H},F}equiv 0}$
no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F entonces existe una función suave G ${ estilo de visualización {F, G } (x) neq 0}$ tal que.

Dada una función f

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}f={frac {parcial }{parcial t}}f+left{f,{mathcal {H} }Correcto},}

si hay una distribución de probabilidad ρ, entonces (dado que la velocidad espacial de fase ${displaystyle ({punto {p}}_{i},{punto {q}}_{i})}$ tiene divergencia cero y la probabilidad se conserva) se puede demostrar que su derivada convectiva es cero y así

{displaystyle {frac {parcial }{parcial t}}rho =-left{rho,{mathcal {H}}right}}

Esto se llama el teorema de Liouville. Cada función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simplectomorfismos de un parámetro y si { G, H } = 0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría.

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas G _i. Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2 n y hay n cantidades conservadas funcionalmente independientes G _i que están en involución (es decir, { G _i, G _j } = 0), entonces el hamiltoniano es integrable en Liouville. El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las cantidades conservadas G _i como coordenadas; las nuevas coordenadas se denominan coordenadas de ángulo de acción. El hamiltoniano transformado depende solo de G _i, y por lo tanto las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple

{displaystyle {dot {G}}_{i}=0quad,quad {dot {varphi }}_{i}=F_{i}(G)}

para alguna función F. Existe todo un campo centrado en las pequeñas desviaciones de los sistemas integrables regidos por el teorema KAM.

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos; los conceptos de medida, completitud, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

Variedades de Riemann

Un caso especial importante consiste en aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas, es decir, hamiltonianos que se pueden escribir como

{displaystyle {mathcal {H}}(q,p)={tfrac {1}{2}}langle p,prangle _{q}}

donde ⟨, ⟩ _q es un producto interno que varía suavemente en las fibras T_qQ, el espacio cotangente al punto q en el espacio de configuración, a veces llamado cometric. Este hamiltoniano consiste enteramente en el término cinético.

Si se considera una variedad riemanniana o una variedad pseudo-riemanniana, la métrica riemanniana induce un isomorfismo lineal entre los haces tangente y cotangente. (Ver isomorfismo musical). Usando este isomorfismo, se puede definir un cometric. (En coordenadas, la matriz que define la cométrica es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano son las mismas que las geodésicas de la variedad. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico. La existencia de tales soluciones y la integridad del conjunto de soluciones se analizan en detalle en el artículo sobre geodésicas. Véase también Geodésicas como flujos hamiltonianos.

Variedades sub-riemannianas

Cuando el cometric es degenerado, entonces no es invertible. En este caso, uno no tiene una variedad de Riemann, ya que no tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano todavía existe. En el caso en que la cometric es degenerada en cada punto q de la variedad del espacio de configuración Q, de modo que el rango de la cometric es menor que la dimensión de la variedad Q, se tiene una variedad subriemanniana.

El hamiltoniano en este caso se conoce como hamiltoniano sub-riemanniano. Cada uno de estos hamiltonianos determina de forma única la cométrica y viceversa. Esto implica que cada variedad subriemanniana está determinada únicamente por su hamiltoniano subriemanniano, y que lo contrario es cierto: cada variedad subriemanniana tiene un hamiltoniano subriemanniano único. La existencia de geodésicas subriemannianas viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii.

El grupo continuo de Heisenberg de valor real proporciona un ejemplo simple de una variedad subriemanniana. Para el grupo de Heisenberg, el hamiltoniano viene dado por

{displaystyle {mathcal {H}}left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}right)={tfrac {1}{2}}left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}derecha).}

p _z no está involucrado en el hamiltoniano.

Álgebras de Poisson

Los sistemas hamiltonianos se pueden generalizar de varias maneras. En lugar de simplemente mirar el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica, la mecánica hamiltoniana se puede formular en álgebras de Poisson reales unitarias conmutativas generales. Un estado es un funcional lineal continuo en el álgebra de Poisson (equipado con una topología adecuada) tal que para cualquier elemento A del álgebra, A se asigna a un número real no negativo.

La dinámica de Nambu proporciona una generalización adicional.

Generalización a la mecánica cuántica a través del corchete de Poisson

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica, pero no para la mecánica cuántica, ya que las ecuaciones diferenciales discutidas asumen que uno puede especificar la posición exacta y el momento de la partícula simultáneamente en cualquier momento. Sin embargo, las ecuaciones pueden generalizarse aún más para luego extenderse y aplicarse tanto a la mecánica cuántica como a la mecánica clásica, a través de la deformación del álgebra de Poisson sobre p y q al álgebra de corchetes de Moyal.

Específicamente, la forma más general de la ecuación de Hamilton dice

{displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} t}}=left{f,{mathcal {H}}right}+{frac {parcial f} { t parcial}}}

donde f es alguna función de p y q, y Hes el hamiltoniano. Para conocer las reglas para evaluar un corchete de Poisson sin recurrir a ecuaciones diferenciales, consulte Álgebra de Lie; un corchete de Poisson es el nombre del corchete de mentira en un álgebra de Poisson. Estos corchetes de Poisson pueden luego extenderse a corchetes de Moyal correspondientes a un álgebra de Lie no equivalente, como lo demostró Hilbrand J. Groenewold, y por lo tanto describen la difusión mecánica cuántica en el espacio de fase (consulte la formulación del espacio de fase y la transformada de Wigner-Weyl). Este enfoque más algebraico no solo permite, en última instancia, extender las distribuciones de probabilidad en el espacio de fase a las distribuciones de cuasi-probabilidad de Wigner, sino que, en la configuración clásica del mero corchete de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas relevantes en un sistema.

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