Mecánica del movimiento de partículas planas

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Este artículo describe una partícula en movimiento plano cuando se observa desde marcos de referencia no inerciales. Los ejemplos más famosos de movimiento plano están relacionados con el movimiento de dos esferas que se atraen gravitatoriamente entre sí y la generalización de este problema al movimiento planetario. Ver fuerza centrífuga, problema de dos cuerpos, órbita y leyes de movimiento planetario de Kepler. Esos problemas caen en el campo general de la dinámica analítica, la determinación de órbitas a partir de leyes de fuerza dadas. Este artículo se centra más en los problemas cinemáticos que rodean el movimiento plano, es decir, la determinación de las fuerzas necesarias para dar como resultado una determinada trayectoria dada.la trayectoria de la partícula. Los resultados generales presentados en fuerzas ficticias aquí se aplican a las observaciones de una partícula en movimiento vista desde varios marcos no inerciales específicos, por ejemplo, un marco local (uno vinculado a la partícula en movimiento para que parezca estacionario) y un marco co-rotativo. (uno con un eje fijo pero ubicado arbitrariamente y una velocidad de rotación que hace que la partícula parezca tener solo movimiento radial y cero movimiento azimutal). Se introduce el enfoque lagrangiano de las fuerzas ficticias.

A diferencia de las fuerzas reales, como las fuerzas electromagnéticas, las fuerzas ficticias no se originan a partir de interacciones físicas entre objetos.

Análisis usando fuerzas ficticias

La aparición de fuerzas ficticias normalmente se asocia con el uso de un marco de referencia no inercial y su ausencia con el uso de un marco de referencia inercial. La conexión entre marcos de inercia y fuerzas ficticias (también llamadas fuerzas de inercia o pseudo-fuerzas), la expresa, por ejemplo, Arnol'd:

Las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial difieren de las ecuaciones en un sistema inercial por términos adicionales llamados fuerzas de inercia. Esto nos permite detectar experimentalmente la naturaleza no inercial de un sistema.— VI Arnold'd: Métodos matemáticos de la mecánica clásica, segunda edición, p. 129

Iro proporciona un enfoque ligeramente diferente sobre el tema:

Una fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos marcos de referencia se denomina pseudofuerza.— H Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica p. 180

Las fuerzas ficticias no aparecen en las ecuaciones de movimiento en un marco de referencia inercial: en un marco inercial, el movimiento de un objeto se explica por las fuerzas reales impresas. Sin embargo, en un marco no inercial, como un marco giratorio, la primera y la segunda leyes de Newton todavía se pueden usar para hacer predicciones físicas precisas, siempre que se incluyan fuerzas ficticias junto con las fuerzas reales. Para resolver problemas de mecánica en marcos de referencia no inerciales, el consejo que se da en los libros de texto es tratar las fuerzas ficticias como fuerzas reales y fingir que estás en un marco inercial. <

Trata las fuerzas ficticias como fuerzas reales y finge que estás en un marco inercial.— Louis N. Hand, Janet D. Finch Mecánica analítica, p. 267

Debe mencionarse que "tratar las fuerzas ficticias como fuerzas reales" significa, en particular, que las fuerzas ficticias vistas en un marco no inercial particular se transforman como vectores bajo transformaciones de coordenadas realizadas dentro de ese marco, es decir, como fuerzas reales.

Objetos en movimiento y marcos de referencia observacionales

A continuación, se observa que las coordenadas variables en el tiempo se utilizan tanto en marcos de referencia inerciales como no inerciales, por lo que el uso de coordenadas variables en el tiempo no debe confundirse con un cambio de observador, sino que es solo un cambio de la elección de descripción del observador.. Sigue la elaboración de este punto y algunas citas sobre el tema.

Marco de referencia y sistema de coordenadas

El término marco de referencia se usa a menudo en un sentido muy amplio, pero para la presente discusión su significado está restringido para referirse al estado de movimiento de un observador, es decir, a un marco de referencia inercial o un marco de referencia no inercial..

El término sistema de coordenadas se utiliza para diferenciar entre las diferentes opciones posibles de un conjunto de variables para describir el movimiento, opciones disponibles para cualquier observador, independientemente de su estado de movimiento. Los ejemplos son coordenadas cartesianas, coordenadas polares y (más generalmente) coordenadas curvilíneas.

Aquí hay dos citas que relacionan "estado de movimiento" y "sistema de coordenadas":

Primero introducimos la noción de marco de referencia, relacionada a su vez con la idea de observador: el marco de referencia es, en cierto sentido, el "espacio euclidiano transportado por el observador". Demos una definición más matemática:… el marco de referencia es… el conjunto de todos los puntos en el espacio euclidiano con el movimiento del cuerpo rígido del observador. Se dice que el marco, denotado ${ matemáticas {R}}$ , se mueve con el observador... Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan en relación con un marco ${ matemáticas {R}}$ estableciendo un sistema de coordenadas R con origen O. Se puede considerar que el conjunto correspondiente de ejes, que comparten el movimiento de cuerpo rígido del marco ${ matemáticas {R}}$ , da una realización física de ${ matemáticas {R}}$ . en un marco ${ matemáticas {R}}$ , las coordenadas se cambian de R a R ' efectuando, en cada instante de tiempo, la misma transformación de coordenadas en los componentes de los objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar cantidades físicas en este marco.—Jean Salençon, Stephen Lyle. (2001). Manual de Mecánica de Medios Continuos: Conceptos Generales, Termoelasticidad p. 9

En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general ha sido costumbre no distinguir entre dos ideas muy distintas. El primero es la noción de un sistema de coordenadas, entendido simplemente como la asignación suave e invertible de cuatro números a eventos en las vecindades del espacio-tiempo. El segundo, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar dichos números... Para evitar restricciones innecesarias, podemos divorciar este arreglo de las nociones métricas.... De especial importancia para nuestros propósitos es que cada marco de referencia tenga un estado definido de movimiento en cada evento del espacio-tiempo... Dentro del contexto de la relatividad especial y siempre que nos limitemos a marcos de referencia en movimiento inercial, entonces poco de importancia depende de la diferencia entre un marco de referencia inercial y el sistema de coordenadas inercial que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que comenzamos a considerar marcos de referencia en movimiento no uniforme incluso dentro de la relatividad especial... la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas.— John D. Norton: Covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa, Rep. Prog. física , 56, págs. 835-7.

Sistemas de coordenadas variables en el tiempo

En un sistema de coordenadas general, los vectores base para las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en tiempos fijos, o ambos. Cabe señalar que los sistemas de coordenadas adjuntos tanto a marcos inerciales como no inerciales pueden tener vectores base que varían en el tiempo, el espacio o ambos, por ejemplo, la descripción de una trayectoria en coordenadas polares vista desde un marco inercial. o como se ve desde un marco giratorio. Una descripción de las observaciones dependiente del tiempo no cambia el marco de referencia en el que se realizan y registran las observaciones.

Fuerzas ficticias en un sistema de coordenadas local

En la discusión de una partícula que se mueve en una órbita circular, en un marco de referencia inercial se pueden identificar las fuerzas centrípeta y tangencial. Entonces parece que no hay problema en cambiar de sombrero, cambiar de perspectiva y hablar de las fuerzas ficticias comúnmente llamadas fuerza centrífuga y de Euler. Pero lo que subyace a este cambio en el vocabulario es un cambio de marco de referencia observacional desde el marco inercial donde comenzamos, donde las fuerzas centrípetas y tangenciales tienen sentido, a un marco de referencia giratorio donde la partícula parece inmóvil y ficticia centrífuga y las fuerzas de Euler tienen que ser puesto en juego. Ese cambio es inconsciente, pero real.

Supongamos que nos sentamos en una partícula en movimiento plano general (no solo en una órbita circular). ¿Qué análisis subyace a un cambio de sombreros para introducir fuerzas centrífugas y de Euler ficticias?

Para explorar esa pregunta, comience en un marco de referencia inercial. Mediante el uso de un sistema de coordenadas comúnmente utilizado en el movimiento plano, el llamado sistema de coordenadas local, como se muestra en la Figura 1, se vuelve fácil identificar fórmulas para la fuerza centrípeta hacia adentro normal a la trayectoria (en dirección opuesta a u _n en la Figura 1), y la fuerza tangencial paralela a la trayectoria (en la dirección u _t), como se muestra a continuación.

Para introducir los vectores unitarios del sistema de coordenadas local que se muestra en la Figura 1, un enfoque es comenzar en coordenadas cartesianas en un marco inercial y describir las coordenadas locales en términos de estas coordenadas cartesianas. En la figura 1, la longitud del arco s es la distancia que ha recorrido la partícula a lo largo de su trayectoria en el tiempo t. La trayectoria r (t) con componentes x (t), y (t) en coordenadas cartesianas se describe utilizando la longitud de arco s (t) como:

{displaystyle mathbf {r} (s)=left[x(s), y(s)right].}

Una forma de ver el uso de s es pensar en el camino de la partícula como sentado en el espacio, como el rastro dejado por un escritor del cielo, independiente del tiempo. Cualquier posición en este camino se describe indicando su distancia s desde algún punto de partida en el camino. Entonces, un desplazamiento incremental a lo largo de la trayectoria ds se describe mediante:

{displaystyle dmathbf {r} (s)=left[dx(s), dy(s)right]=left[x'(s), y'(s)right]ds,,}

donde se introducen números primos para denotar derivadas con respecto a s. La magnitud de este desplazamiento es ds, mostrando que:

{displaystyle left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}right]=1.}

Este desplazamiento es necesariamente tangente a la curva en s, mostrando que el vector unitario tangente a la curva es:

{displaystyle mathbf {u} _{t}(s)=left[x'(s), y'(s)right],}

mientras que el vector unitario exterior normal a la curva es

{displaystyle mathbf {u} _{n}(s)=left[y'(s), -x'(s)right],}

La ortogonalidad se puede verificar mostrando que el producto escalar del vector es cero. La magnitud unitaria de estos vectores es una consecuencia de la ecuación. 1.

Aparte, tenga en cuenta que el uso de vectores unitarios que no están alineados a lo largo de los ejes xy cartesianos no significa que ya no estamos en un marco inercial. Todo lo que significa es que estamos usando vectores unitarios que varían con s para describir la trayectoria, pero aun así observamos el movimiento desde el marco inercial.

Usando el vector tangente, el ángulo de la tangente a la curva, digamos θ, viene dado por:

{displaystyle sin theta ={frac {y'(s)}{sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s) ;}

{displaystyle cos theta ={frac {x'(s)}{sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s) .}

El radio de curvatura se introduce de forma completamente formal (sin necesidad de interpretación geométrica) como:

{displaystyle {frac {1}{rho }}={frac {dtheta}{ds}}.}

La derivada de θ se puede encontrar a partir de la de sen θ:

{displaystyle {frac {dsin theta }{ds}}=cos theta {frac {dtheta }{ds}}={frac {1}{rho }}cos theta ={frac{1}{rho }}x'(s).}

Ahora:

{displaystyle {frac {dsin theta {ds}}={frac {d}{ds}}{frac {y'(s)}{sqrt {x'(s)^{2 }+y'(s)^{2}}}}={frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}right)^{3/2}}},}

en el que el denominador es la unidad según la Ec. 1. Con esta fórmula para la derivada del seno, el radio de curvatura se convierte en:

{displaystyle {frac {dtheta }{ds}}={frac {1}{rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s) ={frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{frac {x''(s)}{y'(s)}},}

donde la equivalencia de las formas se deriva de la diferenciación de Eq. 1:

{displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0.}

Habiendo establecido la descripción de cualquier posición en la trayectoria en términos de su valor asociado para s, y habiendo encontrado las propiedades de la trayectoria en términos de esta descripción, se introduce el movimiento de la partícula estableciendo la posición de la partícula en cualquier tiempo t como el valor correspondiente s (t).

Usando los resultados anteriores para las propiedades de la trayectoria en términos de s, la aceleración en el marco de referencia inercial como se describe en términos de los componentes normal y tangencial a la trayectoria de la partícula se puede encontrar en términos de la función s (t) y su varias derivadas temporales (como antes, los primos indican diferenciación con respecto a s):

{displaystyle {begin{alineado}mathbf {a} (s)&={frac {d}{dt}}mathbf {v} (s)={frac {d}{dt}}left [{frac {ds}{dt}}left(x'(s), y'(s)right)right]\&=left({frac {d^{2}s} {dt^{2}}}right)mathbf {u} _{t}(s)+left({frac {ds}{dt}}right)^{2}left(x'' (s), y''(s)right)\&=left({frac {d^{2}s}{dt^{2}}}right)mathbf {u}_{ t}(s)-left({frac {ds}{dt}}right)^{2}{frac {1}{rho }}mathbf {u} _{n}(s),end{alineado}}}

como se puede verificar tomando el producto escalar con los vectores unitarios u _t (s) y u _n (s). Este resultado para la aceleración es el mismo que para el movimiento circular basado en el radio ρ. Usando este sistema de coordenadas en el marco inercial, es fácil identificar la fuerza normal a la trayectoria como la fuerza centrípeta y la paralela a la trayectoria como la fuerza tangencial.

A continuación, cambiamos los marcos de observación. Sentado sobre la partícula, adoptamos un marco no inercial donde la partícula está en reposo (velocidad cero). Este marco tiene un origen que cambia continuamente, que en el tiempo t es el centro de curvatura (el centro del círculo osculador en la figura 1) de la trayectoria en el tiempo t, y cuya velocidad de rotación es la velocidad angular de movimiento de la partícula alrededor de ese origen en el tiempo t. Este marco no inercial también emplea vectores unitarios normales a la trayectoria y paralelos a ella.

La velocidad angular de este marco es la velocidad angular de la partícula con respecto al centro de curvatura en el tiempo t. La fuerza centrípeta del marco inercial se interpreta en el marco no inercial donde el cuerpo está en reposo como una fuerza necesaria para vencer la fuerza centrífuga. Asimismo, la fuerza que provoca cualquier aceleración de la velocidad a lo largo del camino visto en el marco inercial se convierte en la fuerza necesaria para vencer la fuerza de Euler en el marco no inercial donde la partícula está en reposo. Hay fuerza de Coriolis cero en el marco, porque la partícula tiene velocidad cero en este marco. Para un piloto de avión, por ejemplo, estas fuerzas ficticias son una cuestión de experiencia directa. Sin embargo, estas fuerzas ficticias no pueden relacionarse con un marco de referencia de observación simple que no sea la propia partícula, a menos que esté en un camino particularmente simple, como un círculo.

Dicho esto, desde un punto de vista cualitativo, la trayectoria de un avión se puede aproximar mediante un arco de círculo durante un tiempo limitado, y durante el tiempo limitado que se aplica un radio de curvatura particular, las fuerzas centrífugas y de Euler se pueden analizar sobre la base de movimiento circular con ese radio. Consulte el artículo sobre cómo girar un avión.

A continuación, se analizan con más detalle los marcos de referencia que giran alrededor de un eje fijo.

Fuerzas ficticias en coordenadas polares

La descripción del movimiento de partículas a menudo es más simple en sistemas de coordenadas no cartesianas, por ejemplo, coordenadas polares. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas curvilíneas, aparecen términos adicionales que representan cómo cambian los vectores base a medida que cambian las coordenadas. Estos términos surgen automáticamente en la transformación a coordenadas polares (o cilíndricas) y, por lo tanto, no son fuerzas ficticias, sino que simplemente son términos agregados en la aceleración en coordenadas polares.

Dos terminologías

En un tratamiento puramente matemático, independientemente del marco al que esté asociado el sistema de coordenadas (inercial o no inercial), aparecen términos adicionales en la aceleración de una partícula observada cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, en coordenadas polares, la aceleración viene dada por (ver más abajo para más detalles):

{displaystyle {boldsymbol {a}}={frac {d{boldsymbol {v}}}{dt}}={frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2} }}=({ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}){hat {mathbf {r} }}+(r{ddot {theta }}+2 {dot {r}}{dot {theta }}){hat {boldsymbol {theta }}},}

que contiene no solo derivadas de tiempo doble de las coordenadas, sino también términos agregados. Este ejemplo emplea coordenadas polares, pero de manera más general, los términos agregados dependen del sistema de coordenadas que se elija (es decir, polar, elíptica o lo que sea). A veces, estos términos dependientes del sistema de coordenadas también se denominan "fuerzas ficticias", lo que introduce un segundo significado para "fuerzas ficticias", a pesar de que estos términos no tienen las propiedades de transformación de vectores que se esperan de las fuerzas. Véase, por ejemplo, Shankar y Hildebrand.De acuerdo con esta terminología, las fuerzas ficticias están determinadas en parte por el propio sistema de coordenadas, independientemente del marco al que esté vinculado, es decir, independientemente de si el sistema de coordenadas está vinculado a un marco de referencia inercial o no inercial. Por el contrario, las fuerzas ficticias definidas en términos del estado de movimiento del observador se desvanecen en marcos de referencia inerciales. Para distinguir estas dos terminologías, las fuerzas ficticias que se desvanecen en un marco de referencia inercial, las fuerzas inerciales de la mecánica newtoniana, se denominan en este artículo fuerzas ficticias de "estado de movimiento" y aquellas que se originan en la interpretación de derivadas temporales. en particular, los sistemas de coordenadas se denominan fuerzas ficticias "coordenadas".

Suponiendo que está claro que el "estado de movimiento" y el "sistema de coordenadas" son diferentes, se deduce que la dependencia de la fuerza centrífuga (como en este artículo) sobre el "estado de movimiento" y su independencia del "sistema de coordenadas", que contrasta con la versión "coordinada" con dependencias exactamente opuestas, indica que la terminología "fuerza ficticia" se refiere a dos ideas diferentes. El presente artículo enfatiza una de estas dos ideas ("estado de movimiento"), aunque también se describe la otra.

A continuación, se introducen las coordenadas polares para su uso en (primero) un marco de referencia inercial y luego (segundo) en un marco de referencia giratorio. Se señalan los dos usos diferentes del término "fuerza ficticia". Primero, sin embargo, sigue una breve digresión para explicar más cómo ha surgido la terminología "coordenada" para la fuerza ficticia.

Enfoque lagrangiano

Para motivar la introducción de las fuerzas de inercia "coordinadas" por algo más que una referencia a la "conveniencia matemática", lo que sigue es una digresión para mostrar que estas fuerzas corresponden a lo que algunos autores denominan fuerzas ficticias "generalizadas" o "fuerzas de inercia generalizadas". Estas fuerzas se introducen a través del enfoque de la mecánica lagrangiana basado en la descripción de un sistema por coordenadas generalizadas generalmente denotadas como { q _k}. El único requisito sobre estas coordenadas es que sean necesarias y suficientes para caracterizar de manera única el estado del sistema: no necesitan ser (aunque podrían ser) las coordenadas de las partículas en el sistema. En cambio, podrían ser los ángulos y las extensiones de los enlaces en un brazo robótico, por ejemplo. Si un sistema mecánico consta de N partículas y se imponen m condiciones cinemáticas independientes, es posible caracterizar el sistema únicamente mediante n = 3 N - m coordenadas generalizadas independientes { q _k }.

En mecánica clásica, el Lagrangiano se define como la energía cinética, $T$ , del sistema menos su energía potencial, $tu$ . en símbolos,

En las condiciones que se dan en la mecánica lagrangiana, si se conoce el lagrangiano de un sistema, entonces las ecuaciones de movimiento del sistema pueden obtenerse mediante una sustitución directa de la expresión del lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange, una familia particular de ecuaciones diferenciales parciales.

Aquí hay algunas definiciones:Definición:

{displaystyle L({boldsymbol {q}}, {boldsymbol {dot {q}}}, t)=TU}

es la función de Lagrange o Lagrangiana, q _i son las coordenadas generalizadas, ${punto {q_{i}}}$ son las velocidades generalizadas,

$parcial L/parcial {dot {q_{i}}}$ son momentos generalizados,
$parcial L/parcial q_{i}$ son fuerzas generalizadas,
${frac {d}{dt}}{frac {parcial L}{parcial {dot {q_{i}}}}}-{frac {parcial L}{parcial q_{i}} }=0$ son las ecuaciones de Lagrange.

No es el propósito aquí describir cómo funciona la mecánica lagrangiana. El lector interesado puede consultar otros artículos que explican este enfoque. Por el momento, el objetivo es simplemente mostrar que el enfoque lagrangiano puede conducir a "fuerzas ficticias generalizadas" que no desaparecen en marcos inerciales. Lo que es pertinente aquí es que, en el caso de una sola partícula, el enfoque lagrangiano se puede organizar para capturar exactamente las fuerzas ficticias "coordinadas" que acabamos de presentar.

Para continuar, considere una sola partícula e introduzca las coordenadas generalizadas como { q _k } = (r, θ). Entonces Hildebrand muestra en coordenadas polares con q _k = (r, θ) los "momentos generalizados" son:

{displaystyle p_{r}=m{dot {r}}, p_{theta }=mr^{2}{dot {theta }},}

conduciendo, por ejemplo, a la fuerza generalizada:

{displaystyle {frac {d}{dt}}p_{r}=Q_{r}+mr{dot {theta }}^{2},}

con Q _r la fuerza radial aplicada. La conexión entre las "fuerzas generalizadas" y las fuerzas newtonianas varía según la elección de las coordenadas. Esta formulación lagrangiana introduce exactamente la forma "coordenada" de las fuerzas ficticias mencionadas anteriormente que permite fuerzas "ficticias" (generalizadas) en marcos inerciales, por ejemplo, el término. $señor{{ punto { theta }}}^{2}.$ Una lectura cuidadosa de Hildebrand muestra que no analiza el papel de los "marcos inerciales de referencia", y de hecho, dice "[La] presencia o ausencia [de fuerzas de inercia] depende, no del problema particular en cuestión, sino del sistema de coordenadas elegido ". Presumiblemente, por sistema de coordenadas se entiende la elección de { q _k }. Más tarde dice "asociados con coordenadas generalizadas son de interés primordial (como suele ser el caso), los términos [no aceleracionales] pueden transferirse convenientemente a la derecha... y considerarse como fuerzas de inercia adicionales (generalizadas). A menudo se dice que tales fuerzas de inercia son del tipo de Coriolis ".

En resumen, el énfasis de algunos autores en las coordenadas y sus derivados y su introducción de fuerzas ficticias (generalizadas) que no desaparecen en los marcos de referencia inerciales es una consecuencia del uso de coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana. Por ejemplo, véase McQuarrie Hildebrand y von Schwerin. A continuación se muestra un ejemplo de este uso empleado en el diseño de manipuladores robóticos:

En las ecuaciones anteriores [Lagrange-Euler], hay tres tipos de términos. El primero implica la segunda derivada de las coordenadas generalizadas. El segundo es cuadrático en ${mathbf {{dot q}}}$ el que los coeficientes pueden depender de $mathbf {q}$ . Estos se clasifican además en dos tipos. Los términos que implican un producto del tipo ${{ punto q}_{i}}^{2}$ se denominan fuerzas centrífugas, mientras que los que implican un producto del tipo ${punto q}_{i}{punto q}_{j}$ para i ≠ j se denominan fuerzas de Coriolis. El tercer tipo son funciones de $mathbf {q}$ solo y se llaman fuerzas gravitatorias.— Shuzhi S. Ge, Tong Heng Lee y Christopher John Harris: Control de red neuronal adaptativa de manipuladores robóticos, págs. 47-48

Para un manipulador de robot, las ecuaciones se pueden escribir en una forma usando los símbolos de Christoffel Γ _ijk (discutidos más adelante) como:

{displaystyle sum_{j=1}^{n} M_{ij}({boldsymbol {q}}){ddot {q}}_{j}+sum_{j,k=1 }^{n}Gamma _{ijk}{dot {q}}_{j}{dot {q}}_{k}+{frac {V parcial}{q_ parcial{i}} }=Upsilon _{i};i=1,puntos,n,}

donde M es la "matriz de inercia del manipulador" y V es la energía potencial debida a la gravedad (por ejemplo), y $Upsilon _{i}$ son las fuerzas generalizadas en la articulación i. Los términos que involucran símbolos de Christoffel, por lo tanto, determinan los términos "centrífugo generalizado" y "Coriolis generalizado".

La introducción de fuerzas ficticias generalizadas a menudo se realiza sin notificación y sin especificar la palabra "generalizado". Este uso descuidado de la terminología conduce a una confusión interminable porque estas fuerzas ficticias generalizadas, a diferencia de las fuerzas ficticias estándar de "estado de movimiento", no desaparecen en los marcos de referencia inerciales.

Coordenadas polares en un marco de referencia inercial

A continuación, la aceleración de una partícula se deriva como se ve en un marco inercial usando coordenadas polares. No hay fuerzas ficticias de "estado de movimiento" en un marco de inercia, por definición. Después de esa presentación, se presenta y critica la terminología contrastante de fuerzas ficticias "coordinadas" sobre la base del comportamiento de transformación no vectorial de estas "fuerzas".

En un marco inercial, $mathbf{r}$ sea el vector de posición de una partícula en movimiento. Sus componentes cartesianas (x, y) son:

{displaystyle mathbf {r} =(rcos theta, rsin theta),}

con coordenadas polares r y θ dependiendo del tiempo t.

Los vectores unitarios se definen en la dirección radial hacia afuera $mathbf{r}$ :

{displaystyle {hat {boldsymbol {r}}}={frac {parcial mathbf {r} }{parcial r}}=(cos theta, sin theta)}

y en la dirección perpendicular a $mathbf{r}$ :

{displaystyle {hat {boldsymbol {theta }}}={frac {parcial ^{2}{mathbf {r} }}{parcial r,parcial theta }}=(- sen theta ,cos theta).}

Estos vectores unitarios varían en dirección con el tiempo:

{displaystyle {frac {d}{dt}}{hat {boldsymbol {r}}}=(-sin theta, cos theta){frac {dtheta }{dt}} ={frac {dtheta }{dt}}{hat {boldsymbol {theta }}},}

{displaystyle {frac {d}{dt}}{hat {boldsymbol {theta }}}=(-cos theta, -sin theta){frac {dtheta }{dt }}=-{frac {dtheta }{dt}}{hat {boldsymbol {r}}}.}

Usando estas derivadas, la primera y segunda derivada de posición son:

{displaystyle {boldsymbol {v}}={frac {dmathbf {r} }{dt}}={dot {r}}{hat {boldsymbol {r}}}+r{dot {theta}}{hat {boldsymbol {theta}}},}

{displaystyle {boldsymbol {a}}={frac {d{boldsymbol {v}}}{dt}}={frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2} }}=({ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}){hat {boldsymbol {r}}}+(r{ddot {theta }}+2 {dot {r}}{dot {theta }}){hat {boldsymbol {theta }}},}

donde las marcas de puntos indican diferenciación de tiempo. Con esta forma para la aceleración ${ símbolo de negrita {a}}$ , en un marco de referencia inercial la segunda ley de Newton expresada en coordenadas polares es:

{displaystyle {boldsymbol {F}}=m{boldsymbol {a}}=m({ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}){hat {boldsymbol {r}}}+m(r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}){hat {boldsymbol {theta }}},}

donde F es la fuerza real neta sobre la partícula. No aparecen fuerzas ficticias porque todas las fuerzas ficticias son cero por definición en un marco inercial.

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, a veces es útil poner solo las derivadas de segundo orden en el lado derecho de esta ecuación; es decir, escribimos la ecuación anterior por reordenamiento de términos como:

{displaystyle {boldsymbol {F}}+mr{dot {theta }}^{2}{hat {mathbf {r} }}-m2{dot {r}}{dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}=m{tilde {boldsymbol {a}}}=m{ddot {r}}{hat {boldsymbol {r}}}+mr{ ddot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}},}

donde se introduce una versión "coordenada" de la "aceleración":

{displaystyle {tilde {boldsymbol {a}}}={ddot {r}}{hat {boldsymbol {r}}}+r{ddot {theta }}{hat {boldsymbol { theta }}},}

que consiste solo en derivadas temporales de segundo orden de las coordenadas r y θ. Los términos movidos al lado de la fuerza de la ecuación ahora se tratan como "fuerzas ficticias" adicionales y, de manera confusa, las fuerzas resultantes también se denominan fuerza "centrífuga" y "Coriolis".

Estas "fuerzas" recién definidas son distintas de cero en un marco inercial y, por lo tanto, ciertamente no son las mismas que las fuerzas ficticias previamente identificadas que son cero en un marco inercial y distintas de cero solo en un marco no inercial. En este artículo, estas fuerzas recién definidas se denominan fuerza centrífuga "coordinada" y fuerza de Coriolis "coordinada" para separarlas de las fuerzas de "estado de movimiento".

Cambio de origen

Aquí hay una ilustración que muestra que el llamado "término centrífugo" $r{ punto theta }^{2}$ no se transforma como una verdadera fuerza, poniendo cualquier referencia a este término no solo como un "término", sino como una fuerza centrífuga, bajo una luz dudosa. Suponga que en el marco S una partícula se aleja radialmente del origen a una velocidad constante. Vea la figura 2. La fuerza sobre la partícula es cero según la primera ley de Newton. Ahora miramos lo mismo desde el marco S', que es el mismo, pero desplazado en el origen. En S', la partícula aún se encuentra en movimiento rectilíneo a velocidad constante, por lo que nuevamente la fuerza es cero.

¿Qué pasa si usamos coordenadas polares en los dos marcos? En el marco S el movimiento radial es constante y no hay movimiento angular. Por lo tanto, la aceleración es:

{displaystyle {boldsymbol {a}}=left({ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}right){hat {boldsymbol {r}}}+ left(r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}right){hat {boldsymbol {theta }}}=0,}

y cada término individualmente es cero porque ${ punto theta }=0, {ddot theta }=0$ y ${ddot r}=0$ . No hay fuerza, incluida ninguna " $r{ punto theta }^{2}$ fuerza" en el marco S. En el marco S', sin embargo, tenemos:

{displaystyle {boldsymbol {a}}'=left({ddot {r}}'-r'{dot {theta }}'^{2}right){hat {boldsymbol {r }}}'+left(r'{ddot {theta }}'+2{dot {r}}'{dot {theta }}'right){hat {boldsymbol {theta }}}' }

En este caso el término azimutal es cero, siendo la tasa de cambio del momento angular. Sin embargo, para obtener aceleración cero en la dirección radial, requerimos:

{displaystyle {ddot {r}}'=r'{dot {theta }}'^{2}.}

El lado derecho es distinto de cero, ya que ni ${ estilo de visualización r'}$ ni ${ punto theta }'$ es cero. Es decir, no podemos obtener fuerza cero (cero ${displaystyle {boldsymbol {a}}'}$ ) si retenemos solo ${ddot r}'$ como la aceleración; necesitamos ambos términos.

A pesar de los hechos anteriores, supongamos que adoptamos coordenadas polares y deseamos decir que $r{ punto theta }^{2}$ es "fuerza centrífuga", y reinterpretar ${ punto r}$ como "aceleración" (sin detenernos en ninguna justificación posible). ¿Cómo le va a esta decisión cuando consideramos que una formulación adecuada de la física es independiente de la geometría y las coordenadas? Consulte el artículo sobre covarianza general. Para intentar formar una expresión covariante, esta llamada "fuerza" centrífuga se puede poner en notación vectorial como:

{displaystyle {boldsymbol {F_{dot {theta }}}}=-{boldsymbol {omega times }}left({boldsymbol {omega times r}}right),}

con:

{displaystyle {boldsymbol {omega }}={dot {theta }}{boldsymbol {hat {k}}},}

{displaystyle {boldsymbol {sombrero {k}}}}

un vector unitario normal al plano de movimiento. Desafortunadamente, aunque esta expresión parece formalmente un vector, cuando un observador cambia el origen, el valor de los ${ punto theta }$ cambios (ver Figura 2), por lo que los observadores en el mismo marco de referencia parados en diferentes esquinas de calles ven diferentes "fuerzas" a pesar de que los eventos reales que ven son diferentes. testigo son idénticos. ¿Cómo puede una fuerza física (ya sea ficticia o real) ser cero en un marco S, pero diferente de cero en otro marco S' idéntico, pero a unos pocos pies de distancia? Incluso para exactamente el mismo comportamiento de partículas, la expresión $r{ punto theta }^{2}$ es diferente en cada marco de referencia, incluso para distinciones muy triviales entre marcos. En resumen, si tomamos $r{ punto theta }^{2}$ como "fuerza centrífuga", no tiene un significado universal: esno físico

Más allá de este problema, la fuerza neta real aplicada es cero. (No hay una fuerza real impresa en el movimiento rectilíneo a velocidad constante). Si adoptamos coordenadas polares y deseamos decir que $r{ punto theta }^{2}$ es "fuerza centrífuga" y reinterpretarla ${ punto r}$ como "aceleración", la rareza da como resultado el marco S' en el que el movimiento en línea recta a velocidad constante requiere una fuerza neta en coordenadas polares, pero no en Coordenadas cartesianas. Además, esta perplejidad se aplica en el marco S ', pero no en el marco S.

Lo absurdo del comportamiento de $r{ punto theta }^{2}$ indica que hay que decir que no $r{ punto theta }^{2}$ es fuerza centrífuga, sino simplemente uno de los dos términos de la aceleración. Este punto de vista, que la aceleración se compone de dos términos, es independiente del marco: hay fuerza centrífuga cero en todos y cada uno de los marcos de inercia. También es independiente del sistema de coordenadas: podemos usar cartesiano, polar o cualquier otro sistema curvilíneo: todos producen cero.

Aparte de los argumentos físicos anteriores, por supuesto, la derivación anterior, basada en la aplicación de las reglas matemáticas de diferenciación, muestra que la aceleración radial sí consta de los dos términos ${ddot r}-r{dot theta }^{2}$ .

Dicho esto, la siguiente subsección muestra que existe una conexión entre estos términos centrífugos y de Coriolis y las fuerzas ficticias que pertenecen a un marco de referencia giratorio particular (a diferencia de un marco inercial).

Marco co-rotatorio

En el caso del movimiento plano de una partícula, los términos centrífugos "coordinados" y de aceleración de Coriolis que se encontraron anteriormente como distintos de cero en un marco inercial pueden demostrarse como los negativos de los términos centrífugos y de Coriolis del "estado de movimiento". que aparecen en un marco de co-rotación no inercial muy particular (ver la siguiente subsección). Consulte la Figura 3. Para definir un marco co-rotatorio, primero se selecciona un origen desde el cual se define la distancia r(t) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y que pasa por este origen. Luego, en el momento seleccionado t, la velocidad de rotación del marco de co-rotación Ω se hace coincidir con la velocidad de rotación de la partícula alrededor de este eje, dθ/dt. El marco de co-rotación se aplica solo por un momento y debe volver a seleccionarse continuamente a medida que la partícula se mueve. Para obtener más detalles, consulte Coordenadas polares, centrífugas y términos de Coriolis.

Coordenadas polares en un marco de referencia giratorio

A continuación, se utiliza el mismo enfoque para encontrar las fuerzas ficticias de un marco giratorio (no inercial). Por ejemplo, si se adopta un sistema de coordenadas polares giratorias para usar en un marco de observación giratorio, ambos rotando a la misma velocidad constante en sentido antihorario Ω, encontramos las ecuaciones de movimiento en este marco de la siguiente manera: la coordenada radial en el marco giratorio es tomado como r, pero el ángulo θ' en el marco giratorio cambia con el tiempo:

Como consecuencia,

{displaystyle {dot {theta }}'={dot {theta }}-Omega .}

Reemplazando este resultado en la aceleración usando los vectores unitarios de la sección anterior:

{displaystyle {begin{alineado}{frac {d^{2}mathbf {r} }{dt^{2}}}&=left[{ddot {r}}-rleft({ dot {theta }}'+Omega right)^{2}right]{hat {mathbf {r} }}+left[r{ddot {theta }}'+2{ punto {r}}left({dot {theta }}'+Omega right)right]{hat {boldsymbol {theta }}}\&=({ddot {r}} -r{dot {theta }}'^{2}){hat {mathbf {r} }}+(r{ddot {theta }}'+2{dot {r}}{ punto {theta }}'){hat {boldsymbol {theta }}}-left(2rOmega {dot {theta }}'+rOmega ^{2}right){hat {mathbf {r} }}+left(2{dot {r}}Omega right){hat {boldsymbol {theta }}}.end{alineado}}}

Los dos términos principales tienen la misma forma que los del marco inercial y son los únicos términos si el marco no gira, es decir, si Ω=0. Sin embargo, en este marco giratorio tenemos los términos adicionales:

{displaystyle -left(2rOmega {dot {theta }}'+rOmega ^{2}right){hat {mathbf {r} }}+left(2{dot { r}}Omega right){hat {boldsymbol {theta }}}}

El término radial Ω r es la fuerza centrífuga por unidad de masa debido a la rotación del sistema a razón de Ω y el término radial es el componente radial de la fuerza de Coriolis por unidad de masa, donde es el componente tangencial de la velocidad de la partícula como se ve en la rotación cuadro. El término es el llamado componente azimutal de la fuerza de Coriolis por unidad de masa. De hecho, estos términos adicionales se pueden usar para medir Ω y proporcionar una prueba para ver si el marco está girando o no, tal como se explica en el ejemplo de la rotación de esferas idénticas. Si el observador puede describir el movimiento de la partícula usando las leyes del movimiento de Newton sin $2rOmega {dot theta }'$ $r{ punto theta }'$ ${displaystyle -left(2{dot {r}}Omega right){hat {boldsymbol {theta }}}}$ estos términos dependientes de Ω, el observador está en un marco de referencia inercial donde Ω=0.

Estos "términos adicionales" en la aceleración de la partícula son las fuerzas ficticias del "estado de movimiento" para este marco giratorio, las fuerzas introducidas por la rotación del marco a una velocidad angular Ω.

En este marco giratorio, ¿cuáles son las fuerzas ficticias "coordenadas"? Como antes, supongamos que elegimos poner solo las derivadas temporales de segundo orden en el lado derecho de la ley de Newton:

{displaystyle {boldsymbol {F}}+mr{dot {theta }}'^{2}{hat {mathbf {r} }}-m2{dot {r}}{dot { theta }}'{hat {boldsymbol {theta }}}+mleft(2rOmega {dot {theta }}'+rOmega ^{2}right){hat {mathbf {r} }}-mleft(2{dot {r}}Omega right){hat {boldsymbol {theta }}}=m{ddot {r}}{hat {mathbf {r} }}+mr{ddot {theta }}' {hat {boldsymbol {theta }}}=m{tilde {boldsymbol {a}}}}

Si, por conveniencia, elegimos tratarlo ${ tilde {{ símbolo de negrita {a}}}}$ como una supuesta "aceleración", entonces los términos ${displaystyle (mr{dot {theta }}'^{2}{hat {mathbf {r} }}-m2{dot {r}}{dot {theta }}'{hat { símbolo de negrita { theta }}})}$ se agregan a la supuesta "fuerza ficticia", que no son fuerzas ficticias de "estado de movimiento", sino que en realidad son componentes de la fuerza. que persisten incluso cuando Ω=0, es decir, persisten incluso en un marco de referencia inercial. Debido a que se agregan estos términos adicionales, la fuerza ficticia "coordinada" no es lo mismo que la fuerza ficticia del "estado de movimiento". Debido a estos términos adicionales, la fuerza ficticia "coordinada" no es cero incluso en un marco de referencia inercial.

Más sobre el marco co-rotatorio

Observe, sin embargo, el caso de un marco giratorio que tiene la misma velocidad angular que la partícula, de modo que Ω = dθ/dt en algún momento particular (es decir, las coordenadas polares se configuran en el coordenado instantáneo no inercial). -marco giratorio de la figura 3). En este caso, en este momento, dθ'/dt = 0. En este marco no inercial corrotante en este momento, las fuerzas ficticias "coordinadas" son solo aquellas debidas al movimiento del marco, es decir, son las mismas que las fuerzas ficticias del "estado de movimiento", como se discutió en los comentarios sobre el marco co-rotante de la Figura 3 en la sección anterior.

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas

Para citar a Bullo y Lewis: "Solo en circunstancias excepcionales se puede describir la configuración del sistema lagrangiano mediante un vector en un espacio vectorial. En el entorno matemático natural, el espacio de configuración del sistema se describe vagamente como un espacio curvo, o más exactamente como un variedad diferenciable".

En lugar de coordenadas cartesianas, cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en un sistema de coordenadas curvilíneas, los símbolos de Christoffel aparecen en la aceleración de una partícula expresada en este sistema de coordenadas, como se describe a continuación con más detalle. Considere la descripción del movimiento de una partícula desde el punto de vista de un marco de referencia inercial en coordenadas curvilíneas. Supongamos que la posición de un punto P en coordenadas cartesianas es (x, y, z) y en coordenadas curvilíneas es (q ₁, q ₂. q ₃). Entonces existen funciones que relacionan estas descripciones:

{displaystyle x=x(q_{1}, q_{2}, q_{3});}

{ estilo de visualización q_ {1} = q_ {1} (x, y, z) ,}

Etcétera. (El número de dimensiones puede ser mayor que tres). Un aspecto importante de tales sistemas de coordenadas es el elemento de la longitud del arco que permite determinar las distancias. Si las coordenadas curvilíneas forman un sistema de coordenadas ortogonales, el elemento de longitud de arco ds se expresa como:

{displaystyle ds^{2}=sum_{k=1}^{d}left(h_{k}right)^{2}left(dq_{k}right)^{2},}

donde las cantidades h _k se llaman factores de escala. Un cambio dq _k en q _k provoca un desplazamiento h _k dq _k a lo largo de la línea de coordenadas para q _k. En un punto P, colocamos vectores unitarios e _k cada uno tangente a una línea de coordenadas de una variable q _k. Entonces, cualquier vector se puede expresar en términos de estos vectores base, por ejemplo, desde un marco de referencia inercial, el vector de posición de una partícula en movimiento r ubicada en el tiempo t en la posición Pse convierte en:

{displaystyle {boldsymbol {r}}=sum _{k=1}^{d}q_{k} {boldsymbol {e_{k}}},}

donde q _k es el producto escalar vectorial de r y e _k. La velocidad v de una partícula en P, se puede expresar en P como:

{displaystyle {begin{alineado}{boldsymbol {v}}&=sum _{k=1}^{d}v_{k} {boldsymbol {e_{k}}},&={ frac {d}{dt}}{boldsymbol {r}}=sum _{k=1}^{d}{dot {q}}_{k} {boldsymbol {e_{k}} }+sum _{k=1}^{d}q_{k} {dot {boldsymbol {e_{k}}}},end{alineado}}}

donde v _k es el producto escalar vectorial de v y e _k, y los puntos sobre puntos indican la diferenciación en el tiempo. Las derivadas temporales de los vectores base se pueden expresar en términos de los factores de escala presentados anteriormente. por ejemplo:

{displaystyle {frac {parcial }{parcial q_{2}}}{boldsymbol {e_{1}}}=-{boldsymbol {e}}_{2}{frac {1}{h_ {2}}}{frac {parcial h_{1}}{parcial q_{2}}}-{boldsymbol {e}}_{3}{frac {1}{h_{3}}} {frac {parcial h_{1}}{parcial q_{3}}},}

o, en general

{displaystyle {frac {parcial {boldsymbol {e_{j}}}}{parcial q_{k}}}=sum _{n=1}^{d}{Gamma ^{n}} _{kj}{boldsymbol {e_{n}}},}

en el que los coeficientes de los vectores unitarios son los símbolos de Christoffel para el sistema de coordenadas. La notación general y las fórmulas para los símbolos de Christoffel son:

{displaystyle {Gamma ^{i}}_{ii}={begin{Bmatrix},i,\i,,iend{Bmatrix}}={frac {1}{h_ {i}}}{frac {parcial h_{i}}{parcial q_{i}}}!; }

{displaystyle {Gamma ^{i}}_{ij}= {begin{Bmatrix},i,\i,,jend{Bmatrix}}={frac {1}{ h_{i}}}{frac {parcial h_{i}}{parcial q_{j}}}={begin{Bmatriz},i,\j,,iend{Bmatriz }}!; }

{displaystyle {Gamma ^{j}}_{ii}={begin{Bmatrix},j,\i,,iend{Bmatrix}}=-{frac {h_{i }}{{h_{j}}^{2}}}{frac {parcial h_{i}}{parcial q_{j}}},}

y el símbolo es cero cuando todos los índices son diferentes. A pesar de las apariencias en contrario, los símbolos de Christoffel no forman los componentes de un tensor. Por ejemplo, son cero en coordenadas cartesianas, pero no en coordenadas polares.

Usando relaciones como esta,

{displaystyle {begin{alineado}{dot {boldsymbol {e_{j}}}}=sum _{k=1}^{d}{frac {parcial }{parcial q_{k} }}{boldsymbol {e_{j}}}{dot {q}}_{k}\&=sum _{k=1}^{d}sum _{i=1}^{d }{Gamma ^{k}}_{ij}{dot {q}}_{i}{boldsymbol {e_{k}}},end{alineado}}}

lo que permite evaluar todas las derivadas temporales. Por ejemplo, para la velocidad:

{displaystyle {begin{alineado}{boldsymbol {v}}&={frac {d}{dt}}{boldsymbol {r}}=sum_{k=1}^{d}{ punto {q}}_{k} {boldsymbol {e_{k}}}+sum _{k=1}^{d}q_{k} {dot {boldsymbol {e_{k}} }}\&=sum_{k=1}^{d}{dot {q}}_{k} {boldsymbol {e_{k}}}+sum_{j=1}^ {d}q_{j} {dot {boldsymbol {e_{j}}}},\&=sum _{k=1}^{d}{dot {q}}_{k} {boldsymbol {e_{k}}}+sum_{k=1}^{d}sum_{j=1}^{d}sum_{i=1}^{d}q_{ j} {Gamma ^{k}}_{ij}{boldsymbol {e_{k}}}{dot {q}}_{i}\&=sum_{k=1}^{ d}left({dot {q}}_{k} +sum_{j=1}^{d}sum_{i=1}^{d}q_{j} {Gamma ^{k}}_{ij}{dot {q}}_{i}right){boldsymbol {e_{k}}},end{alineado}}}

con la notación Γ para los símbolos de Christoffel reemplazando la notación de corchetes. Usando el mismo enfoque, la aceleración es entonces

{displaystyle {begin{alineado}{boldsymbol {a}}&={frac {d}{dt}}{boldsymbol {v}}=sum _{k=1}^{d}{ punto {v}}_{k} {boldsymbol {e_{k}}}+sum _{k=1}^{d}v_{k} {dot {boldsymbol {e_{k}} }}\&=sum_{k=1}^{d}left({dot {v}}_{k} +sum_{j=1}^{d}sum__ i=1}^{d}v_{j}{Gamma ^{k}}_{ij}{dot {q}}_{i}right){boldsymbol {e_{k}}}. end{alineado}}}

Mirando la relación de la aceleración, la primera suma contiene las derivadas temporales de la velocidad, que estarían asociadas con la aceleración si estas fueran coordenadas cartesianas, y la segunda suma (la que tiene símbolos de Christoffel) contiene términos relacionados con la forma en que cambian los vectores unitarios. con tiempo.

"Estado de movimiento" frente a fuerzas ficticias "coordinadas"

Anteriormente en este artículo se introdujo una distinción entre dos terminologías, las fuerzas ficticias que se desvanecen en un marco de referencia inercial se denominan en este artículo fuerzas ficticias de "estado de movimiento" y las que se originan a partir de la diferenciación en un sistema de coordenadas particular son llamadas fuerzas ficticias "coordenadas". Usando la expresión para la aceleración anterior, la ley de movimiento de Newton en el marco de referencia inercial se convierte en:

{displaystyle {boldsymbol {F}}=m{boldsymbol {a}}=msum _{k=1}^{d}left({dot {v}}_{k} + suma_{j=1}^{d}sum_{i=1}^{d}v_{j}{Gamma ^{k}}_{ij}{dot {q}}_{i} right){boldsymbol {e_{k}}},}

donde F es la fuerza real neta sobre la partícula. No hay fuerzas ficticias de "estado de movimiento" porque el marco es inercial, y las fuerzas ficticias de "estado de movimiento" son cero en un marco inercial, por definición.

El enfoque de "coordenadas" de la ley de Newton anterior es retener las derivadas temporales de segundo orden de las coordenadas { q _k } como los únicos términos en el lado derecho de esta ecuación, motivado más por la conveniencia matemática que por la física. Con ese fin, la ley de fuerza se puede reescribir, tomando la segunda suma al lado de la fuerza de la ecuación como:

{displaystyle {boldsymbol {F}}-msum _{j=1}^{d}sum _{i=1}^{d}v_{j}{Gamma ^{k}}_{ ij}{dot {q}}_{i}{boldsymbol {e_{k}}}=m{tilde {boldsymbol {a}}},}

con la convención de que la "aceleración" ${ tilde {{ símbolo de negrita {a}}}}$ es ahora:

{displaystyle {tilde {boldsymbol {a}}}=sum _{k=1}^{d}{dot {v}}_{k}{boldsymbol {e_{k}}}. }

En la expresión anterior, la suma añadida al lado de la fuerza de la ecuación ahora se trata como si estuvieran presentes "fuerzas" añadidas. Estos términos de suma se denominan habitualmente fuerzas ficticias dentro de este enfoque de "coordenadas", aunque en este marco de referencia inercial todas las fuerzas ficticias de "estado de movimiento" son idénticamente cero. Además, estas "fuerzas" no se transforman bajo transformaciones de coordenadas como vectores. Así, la designación de los términos de la suma como "fuerzas ficticias" utiliza esta terminología para contribuciones que son completamente diferentes de cualquier fuerza real y de las fuerzas ficticias "en estado de movimiento". Lo que se suma a esta confusión es que estos "coordinan"como las fuerzas ficticias del "estado de movimiento", es decir, se dividen en términos "centrífugos" y "Coriolis", a pesar de que incluyen términos que no son los términos centrífugos y de Coriolis del "estado de movimiento". Por ejemplo, estos términos centrífugos y de Coriolis de "coordenadas" pueden ser distintos de cero incluso en un marco de referencia inercial donde la fuerza centrífuga del "estado de movimiento" (el tema de este artículo) y la fuerza de Coriolis siempre son cero.

Si el marco no es inercial, por ejemplo, en un marco de referencia giratorio, las fuerzas ficticias de "estado de movimiento" se incluyen en la expresión de fuerza ficticia "coordenada" anterior. Además, si la "aceleración" expresada en términos de derivadas temporales de primer orden de la velocidad resulta en términos que no son simplemente derivadas de segundo orden de las coordenadas { q _k } en el tiempo, entonces estos términos que no son de segundo orden el orden también se llevan al lado de la fuerza de la ecuación y se incluyen con las fuerzas ficticias. Desde el punto de vista de una formulación lagrangiana, pueden denominarse fuerzas ficticias generalizadas. Véase Hildebrand, por ejemplo.

La formulación de la dinámica en términos de símbolos de Christoffel y la versión "coordenada" de fuerzas ficticias se usa a menudo en el diseño de robots en relación con una formulación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento.

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