Mecánica clásica de Koopman-von Neumann

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La mecánica de Koopman-von Neumann es una descripción de la mecánica clásica en términos del espacio de Hilbert, presentada por Bernard Koopman y John von Neumann en 1931 y 1932, respectivamente.

Como demostraron Koopman y von Neumann, se puede definir un espacio de Hilbert de funciones de onda complejas e integrables al cuadrado en el que la mecánica clásica se puede formular como una teoría operacional similar a la mecánica cuántica.

Historia

La mecánica estadística describe los sistemas macroscópicos en términos de conjuntos estadísticos, como las propiedades macroscópicas de un gas ideal. La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que surge del estudio de la mecánica estadística.

Teoría ergódica

Los orígenes de la teoría de Koopman-von Neumann (KvN) están estrechamente relacionados con el surgimiento de la teoría ergódica como rama independiente de las matemáticas, en particular con la hipótesis ergódica de Boltzmann.

En 1931 Koopman y André Weil observaron de forma independiente que el espacio fase del sistema clásico se puede convertir en un espacio de Hilbert postulando una regla de integración natural sobre los puntos del espacio fase como definición del producto escalar, y que esta transformación permite dibujar de interesantes conclusiones sobre la evolución de los observables físicos a partir del teorema de Stone, que había sido probado poco antes. Este hallazgo inspiró a von Neumann a aplicar el nuevo formalismo al problema ergódico. Ya en 1932 completó la reformulación de operadores de la mecánica clásica conocida actualmente como teoría de Koopman-von Neumann. Posteriormente, publicó varios resultados seminales en la teoría ergódica moderna, incluida la prueba de su teorema ergódico medio.

Definición y dinámica

Derivación a partir de la ecuación de Liouville

En el enfoque de Koopman y von Neumann (KvN), la dinámica en el espacio de fase se describe mediante una densidad de probabilidad (clásica), recuperada de una función de onda subyacente, la función de onda de Koopman-von Neumann, como el cuadrado de su valor absoluto (más precisamente, como la amplitud multiplicada por su propio complejo conjugado). Esto se encuentra en analogía con la regla de Born en la mecánica cuántica. En el marco KvN, los observables se representan mediante operadores autoadjuntos conmutantes que actúan sobre el espacio de Hilbert de las funciones de onda KvN. La conmutatividad implica físicamente que todos los observables son simultáneamente medibles. Compare esto con la mecánica cuántica, donde los observables no necesitan conmutar, lo que subraya el principio de incertidumbre, el teorema de Kochen-Specker y las desigualdades de Bell.

Se postula que la función de onda KvN evoluciona de acuerdo exactamente con la misma ecuación de Liouville que la densidad de probabilidad clásica. A partir de este postulado se puede demostrar que efectivamente se recupera la dinámica de la densidad de probabilidad.

Dinámica de la densidad de probabilidad (prueba)

En mecánica estadística clásica, la densidad de probabilidad (con respecto a la medida de Liouville) obedece a la ecuación de Liouville

{displaystyle i{frac {parcial }{parcial t}}rho (x,p,t)={hat {L}}rho (x,p,t)}

con el Liouvillian auto-adjunto

{displaystyle {hat {L}}=-i{frac {parcial H(x,p)}{parcial p}}{frac {parcial }{parcial x}}+i{frac { H parcial (x, p)} { x parcial}} { frac { parcial { p parcial}},}

donde

$H(x, p)$ denota el hamiltoniano clásico (es decir, el Liouvillian es

$i$ multiplicado por el campo vectorial hamiltoniano considerado como un operador diferencial de primer orden). Se postula la misma ecuación dinámica para la función de onda KvN

{displaystyle i{frac {parcial}{parcial t}}psi (x,p,t)={hat {L}}psi (x,p,t)}

de este modo

{displaystyle {frac {parcial}}psi (x,p,t)=left[-{frac {parcial H(x,p)}{parcial p}}{ frac {parcial }{parcial x}}+{frac {parcial H(x,p)}{parcial x}}{frac {parcial }{parcial p}}right]psi (x, p, t),}

y por su complejo conjugado

{displaystyle {frac {parcial}}psi ^{*}(x,p,t)=left[-{frac {parcial H(x,p)}{parcial p}}{frac {parcial }{parcial x}}+{frac {parcial H(x,p)}{parcial x}}{frac {parcial }{parcial p}} derecha]psi ^{*}(x,p,t).}

{ estilo de visualización rho (x, p, t) = psi ^ {*} (x, p, t) psi (x, p, t)}

sigue usando la regla del producto que

{displaystyle {frac {parcial }{parcial t}}rho (x,p,t)=left[-{frac {parcial H(x,p)}{parcial p}}{ frac {parcial }{parcial x}}+{frac {parcial H(x,p)}{parcial x}}{frac {parcial }{parcial p}}right]rho (x, p, t)}

lo que prueba que la dinámica de densidad de probabilidad se puede recuperar de la función de onda KvN.ObservaciónEl último paso de esta derivación se basa en el operador clásico de Liouville que contiene solo derivadas de primer orden en la coordenada y el momento; este no es el caso de la mecánica cuántica, donde la ecuación de Schrödinger contiene derivadas de segundo orden.

Derivación a partir de axiomas de operadores

Por el contrario, es posible partir de postulados de operadores, similares a los axiomas espaciales de la mecánica cuántica de Hilbert, y derivar la ecuación de movimiento especificando cómo evolucionan los valores esperados.

Los axiomas relevantes son que, como en la mecánica cuántica (i) los estados de un sistema están representados por vectores normalizados de un espacio de Hilbert complejo, y los observables están dados por operadores autoadjuntos que actúan sobre ese espacio, (ii) el valor esperado de un observable se obtiene de la misma manera que el valor esperado en la mecánica cuántica, (iii) las probabilidades de medir ciertos valores de algunos observables se calculan mediante la regla de Born, y (iv) el espacio de estado de un sistema compuesto es el producto tensorial de los espacios del subsistema.

Forma matemática de los axiomas del operador

Los axiomas anteriores (i) a (iv), con el producto interno escrito en la notación bra-ket, son

$langle psi(t) | psi(t) rangle = 1$ ,
El valor esperado de un observable ${ sombrero {A}}$ en el tiempo $t$ es $langle A (t)rangle = langle Psi (t)| sombrero{A} | Psi(t) rangle.$
La probabilidad de que una medida de un observable ${ sombrero {A}}$ en el tiempo $t$ produzca $A$ es $izquierda|ángulo A | Psi(t)rangle right|^2$ , donde $hat{A} |Arangle = A |A rangle$ . (Este axioma es un análogo de la regla de Born en la mecánica cuántica).
(ver Producto tensorial de espacios de Hilbert).

Estos axiomas nos permiten recuperar el formalismo tanto de la mecánica clásica como de la cuántica. Específicamente, bajo el supuesto de que los operadores clásicos de posición y momento conmutan, la ecuación de Liouville para la función de onda KvN se recupera a partir de las leyes de movimiento de Newton promediadas. Sin embargo, si la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica, se obtiene la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica.

Derivación de la mecánica clásica a partir de los axiomas del operador

Partimos de las siguientes ecuaciones para los valores esperados de la coordenada x y el momento p $mfrac{d}{dt} langle x rangle = langle p rangle, qquad frac{d}{dt} langle p rangle =langle -U'(x) rangle,$

también conocido como, las leyes de movimiento de Newton promediadas sobre el conjunto. Con la ayuda de los axiomas del operador, se pueden reescribir como $begin{align} mfrac{d}{dt} langle Psi(t) | sombrero {x} | Psi(t) rangle &= langle Psi(t) | sombrero{p} | Psi(t) rangle, \ frac{d}{dt} langle Psi(t) | sombrero{p} | Psi(t) rangle &= langle Psi(t) | -U'(sombrero{x}) | Psi(t) rangle. end{alinear}$

Observe una gran semejanza con los teoremas de Ehrenfest en la mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a $begin{align} langle dPsi/dt | sombrero {x} | Psi rangle + langle Psi | sombrero {x} | dPsi/dt rangle &= langle Psi | hat{p}/m | Psi rangle, \ langle dPsi/dt | sombrero{p} | Psi rangle + langle Psi | sombrero{p} | dPsi/dt rangle & = langle Psi | -U'(sombrero{x}) | Psi rangle, end{alinear}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone $yo | dPsi(t)/dt rangle = hat{L} | psi(t) rangle$ y obtenemos $begin{align} estoy langle Psi(t) | [sombrero{L}, sombrero{x} ] | Psi(t) rangle &= langle Psi(t)| hat{p} |Psi(t)rangle, \ i langle Psi(t) | [sombrero{L}, sombrero{p}] | Psi(t)rangle &= - langle Psi(t)| U'(hat{x}) |Psi(t)rangle. end{alinear}$

Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede descartar el promedio y ${ sombrero {L}}$ se deriva el sistema de ecuaciones del conmutador para la incógnita.

{displaystyle im[{sombrero {L}},{sombrero {x}}]={sombrero {p}},qquad i[{sombrero {L}},{sombrero {p}}] =-U'({sombrero {x}}).}

Suponga que la coordenada y la cantidad de movimiento conmutan. Esta suposición significa físicamente que la coordenada y el momento de la partícula clásica se pueden medir simultáneamente, lo que implica la ausencia del principio de incertidumbre.

La solución ${ sombrero {L}}$ no puede ser simplemente de la forma $sombrero{L} = L(sombrero{x}, sombrero{p})$ porque implicaría las contracciones $soy [L(sombrero{x}, sombrero{p}), sombrero{x}] = 0 = sombrero{p}$ y $i [L(sombrero{x}, sombrero{p}), sombrero{p}] = 0 = -U'(sombrero{x})$ . Por lo tanto, debemos utilizar operadores adicionales $hat{lambda}_x$ y $hat{lambda}_p$ obedeciendo

[ hat{x}, hat{lambda}_x ] = [ hat{p}, hat{lambda}_p ] = yo, quad [hat{x}, hat{p}] = [ hat{x}, hat{lambda}_p ] = [ hat{p}, hat{lambda}_x ] = [ hat{lambda}_x, hat{lambda}_p ] = 0.

La necesidad de emplear estos operadores auxiliares surge porque todos los observables clásicos conmutan. Ahora buscamos ${ sombrero {L}}$ en la forma $sombrero{L} = L(sombrero{x}, sombrero{lambda}_x, sombrero{p}, sombrero{lambda}_p)$ . Utilizando el álgebra de KvN, las ecuaciones del conmutador para L se pueden convertir en las siguientes ecuaciones diferenciales $m L'_{lambda_x} (x, lambda_x, p, lambda_p) = p, qquad L'_{lambda_p} (x, lambda_x, p, lambda_p) = -U'(x).$

Por lo tanto, concluimos que la función de onda clásica KvN $|psi (t)rango$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de movimiento similar a Schrödinger

ifrac{d}{dt} |Psi(t)rangle = hat{L} |Psi(t)rangle, qquad hat{L} = frac{hat{p}}{ m} hat{lambda}_x - U'(hat{x}) hat{lambda}_p.

Demostremos explícitamente que la ecuación dinámica KvN es equivalente a la mecánica clásica de Liouville.

Dado que ${ sombrero {x}}$ y ${ sombrero {p}}$ conmutan, comparten los vectores propios comunes

{displaystyle {hat {x}}|x,prangle =x|x,prangle,quad {hat {p}}|x,prangle =p|x,prangle, cuádruple A({sombrero {x}},{sombrero {p}})|x,prangle =A(x,p)|x,prangle,}

con la resolución de la identidad ${displaystyle 1=int dxdp,|x,prangle langle x,p|.}$ Entonces, se obtiene de la ecuación (Álgebra KvN) ${displaystyle langle x,p|{hat {lambda }}_{x}|Psi rangle =-i{frac {parcial }{parcial x}}langle x,p|Psi rangle,qquad langle x,p|{hat {lambda }}_{p}|Psi rangle =-i{frac {parcial }{parcial p}}langle x,p| Psi rangle.}$

Proyectando la ecuación (KvN dynamical eq) sobre ${ estilo de visualización langle x, p |}$ , obtenemos la ecuación de movimiento para la función de onda KvN en la representación xp

{displaystyle left[{frac {parcial }{parcial t}}+{frac {p}{m}}{frac {parcial }{parcial x}}-U'(x){ frac {parcial }{parcial p}}right]langle x,p|Psi (t)rangle =0.}

La cantidad $langle x,, p |Psi(t) rangle$ es la amplitud de probabilidad de que una partícula clásica esté en un punto $X$ con un momento $pags$ en el tiempo $t$ . De acuerdo con los axiomas anteriores, la densidad de probabilidad viene dada por ${displaystyle rho (x,p;t)=left|langle x,p|Psi (t)rangle right|^{2}}$ . Utilizando la identidad ${displaystyle {frac {parcial }{parcial t}}rho (x,p;t)=langle Psi (t)|x,prangle {frac {parcial }{parcial t }}langle x,p|Psi (t)rangle +langle x,p|Psi (t)rangle left({frac {parcial }{parcial t}}langle x,p |Psi (t)rangle right)^{*}}$

así como (KvN eq dinámica en xp), recuperamos la ecuación clásica de Liouville

left[ frac{parcial }{parcial t} + frac{p}{m} frac{parcial}{parcial x} - U'(x) frac{parcial}{parcial p } right] rho(x,p;t) = 0.

Además, según los axiomas del operador y (xp eigenvec), ${displaystyle {begin{alineado}langle Arangle &=langle Psi (t)|A({hat {x}},{hat {p}})|Psi (t)rangle =int dxdp,langle Psi (t)|x,prangle A(x,p)langle x,p|Psi (t)rangle \&=int dxdp,A(x,p)langle Psi (t)|x,prangle langle x,p|Psi (t)rangle =int dxdp,A(x,p)rho (x,p;t).end{alineado}}}$

Por lo tanto, la regla para calcular promedios de observables $A(x, p)$ en la mecánica estadística clásica se ha recuperado de los axiomas del operador con la suposición adicional $[ sombrero{x}, sombrero{p} ] = 0$ . Como resultado, la fase de una función de onda clásica no contribuye a los promedios observables. Contrariamente a la mecánica cuántica, la fase de una función de onda KvN es físicamente irrelevante. Por lo tanto, la inexistencia del experimento de doble rendija, así como del efecto Aharonov-Bohm, se establece en la mecánica KvN.

Proyectando el eq dinámico KvN sobre el vector propio común de los operadores ${ sombrero {x}}$ y $hat{lambda}_p$ (es decir, $xlambda_p$ -representación), se obtiene la mecánica clásica en el espacio de configuración doble, cuya generalización conduce a la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica.

Derivación de la mecánica cuántica a partir de los axiomas del operador

Como en la derivación de la mecánica clásica, partimos de las siguientes ecuaciones para los promedios de la coordenada x y el momento p $mfrac{d}{dt} langle x rangle = langle p rangle, qquad frac{d}{dt} langle p rangle =langle -U'(x) rangle.$

Con la ayuda de los axiomas del operador, se pueden reescribir como $begin{align} mfrac{d}{dt} langle Psi(t) | sombrero {x} | Psi(t) rangle &= langle Psi(t) | sombrero{p} | Psi(t) rangle, \ frac{d}{dt} langle Psi(t) | sombrero{p} | Psi(t) rangle &= langle Psi(t) | -U'(sombrero{x}) | Psi(t) rangle. end{alinear}$

Estos son los teoremas de Ehrenfest en mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a $begin{align} langle dPsi/dt | sombrero {x} | Psi rangle + langle Psi | sombrero {x} | dPsi/dt rangle &= langle Psi | hat{p}/m | Psi rangle, \ langle dPsi/dt | sombrero{p} | Psi rangle + langle Psi | sombrero{p} | dPsi/dt rangle & = langle Psi | -U'(sombrero{x}) | Psi rangle, end{alinear}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone $ihbar | d Psi(t)/dt rangle = hat{H} | psi(t) rangle,$

donde $hbar$ se introdujo como una constante de normalización para equilibrar la dimensionalidad. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede descartar el promedio y ${ sombrero {H}}$ derivar el sistema de ecuaciones del conmutador para el generador cuántico desconocido de movimiento. $im [hat{H}, hat{x}] = hbar hat{p}, qquad i [hat{H}, hat{p}] = -hbar U'(hat{x }).$

Al contrario del caso de la mecánica clásica, suponemos que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica $[ sombrero{x}, sombrero{p} ] = ihbar$ . Ajuste ${sombrero {H}}=H({sombrero {x}},{sombrero {p}})$ , las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en las ecuaciones diferenciales ${displaystyle mH'_{p}(x,p)=p,qquad H'_{x}(x,p)=U'(x),}$

cuya solución es el hamiltoniano cuántico familiar ${displaystyle {sombrero {H}}={frac {{sombrero {p}}^{2}}{2m}}+U({sombrero {x}}).}$

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest asumiendo la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Esta derivación, así como la derivación de la mecánica KvN clásica, muestra que la diferencia entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce esencialmente al valor del conmutador $[ sombrero{x}, sombrero{p} ]$ .

Mediciones

En la formulación de espacio y operador de Hilbert de la mecánica clásica, la función de onda de Koopman von Neumann toma la forma de una superposición de estados propios, y la medición colapsa la función de onda KvN al estado propio que está asociado con el resultado de la medición, en analogía con el colapso de la función de onda de mecánica cuántica.

Sin embargo, se puede demostrar que para las mediciones no selectivas de la mecánica clásica de Koopman-von Neumann, la función de onda KvN no cambia.

Mecánica KvN vs Liouville

La ecuación dinámica KvN (KvN dynamical eq in xp) y la ecuación de Liouville (Liouville eq) son ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden. Se recuperan las leyes de movimiento de Newton aplicando el método de las características a cualquiera de estas ecuaciones. Por lo tanto, la diferencia clave entre la mecánica KvN y Liouville radica en la ponderación de las trayectorias individuales: en la mecánica KvN se pueden utilizar pesos arbitrarios, subyacentes a la función de onda clásica, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos, que representan la densidad de probabilidad (ver este esquema).

La distinción esencial entre la mecánica KvN y la de Liouville radica en ponderar (colorear) las trayectorias individuales: en la mecánica KvN se puede utilizar cualquier peso, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos. Las partículas se mueven a lo largo de trayectorias newtonianas en ambos casos. (Con respecto a un ejemplo dinámico, consulte a continuación).

Analogía cuántica

Al estar basada explícitamente en el lenguaje espacial de Hilbert, la mecánica clásica KvN adopta muchas técnicas de la mecánica cuántica, por ejemplo, técnicas de diagrama y perturbación, así como métodos integrales funcionales. El enfoque KvN es muy general y se ha extendido a sistemas disipativos, mecánica relativista y teorías de campo clásicas.

El enfoque KvN es fructífero en los estudios sobre la correspondencia cuántica-clásica, ya que revela que la formulación del espacio de Hilbert no es exclusivamente mecánica cuántica. Incluso los espinores de Dirac no son excepcionalmente cuánticos, ya que se utilizan en la generalización relativista de la mecánica KvN. De manera similar a la formulación de espacio de fase más conocida de la mecánica cuántica, el enfoque KvN puede entenderse como un intento de llevar la mecánica clásica y cuántica a un marco matemático común. De hecho, la evolución temporal de la función de Wigner se aproxima, en el límite clásico, a la evolución temporal de la función de onda KvN de una partícula clásica.Sin embargo, una semejanza matemática con la mecánica cuántica no implica la presencia de efectos cuánticos característicos. En particular, la imposibilidad del experimento de doble rendija y el efecto Aharonov-Bohm se demuestran explícitamente en el marco KvN.Propagación KvN vs propagación Wigner

0:11La evolución temporal de la función de onda KvN clásica para el potencial de Morse: $U(x) = 20 (1 - e^{-0.16x})^2$ . Los puntos negros son partículas clásicas que siguen la ley de movimiento de Newton. Las líneas sólidas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano $H(x,p) = p^2 / 2 + U(x)$ . Este video ilustra la diferencia fundamental entre la mecánica KvN y Liouville.
0:10Contraparte cuántica de la propagación KvN clásica a la izquierda: La evolución temporal de la función de Wigner del potencial de Morse en unidades atómicas (au). Las líneas sólidas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano subyacente. Tenga en cuenta que la misma condición inicial utilizada para esta propagación cuántica, así como para la propagación KvN de la izquierda.

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