Matriz triangular

En matemáticas, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada. Una matriz cuadrada se llama triangular inferior si todas las entradas arriba de la diagonal principal son cero. De manera similar, una matriz cuadrada se llama triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero.

Debido a que las ecuaciones matriciales con matrices triangulares son más fáciles de resolver, son muy importantes en el análisis numérico. Mediante el algoritmo de descomposición LU, una matriz invertible puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U si y sólo si todos sus principales menores principales son distintos de cero.

Descripción

Una matriz de la forma

L=[l l 1,10l l 2,1l l 2,2l l 3,1l l 3,2⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ l l n,1l l n,2...... l l n,n− − 1l l n,n]{displaystyle L={begin{bmatrix}ell ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

se llama matriz triangular inferior o matriz triangular izquierda, y análogamente una matriz de la forma

U=[u1,1u1,2u1,3...... u1,nu2,2u2,3...... u2,n⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ un− − 1,n0un,n]{displaystyle U={begin{bmatrix}u_{1,1} diezu_{1,2} reducidau_{1,3} limitldots ¿Qué? > {2,n}\\cH009s > ¿Qué?

se llama matriz triangular superior o matriz triangular derecha. Una matriz triangular inferior o izquierda se denota comúnmente con la variable L, y una matriz triangular superior o derecha se denota comúnmente con la variable U o R.

A matrix that is both upper and lower triangular is diagonal. Matrices that are similar to triangular matrices are called triangularizable.

Una matriz no cuadrada (o a veces cualquier matriz) con ceros encima (debajo) de la diagonal se llama matriz trapezoidal inferior (superior). Las entradas distintas de cero tienen la forma de un trapezoide.

Ejemplos

Esta matriz

[141069001]{}}}

es triangular superior y esta matriz

[10029604969]{displaystyle {begin{bmatrix}1 ventaja02 reducida96 coincidiendo04 con9 consecutivo69\\end{bmatrix}}}

es triangular inferior.

Sustitución hacia adelante y hacia atrás

Una ecuación de matriz en la forma Lx=b{displaystyle Lmathbf {x} =mathbf {b} o Ux=b{displaystyle Umathbf {x} =mathbf {b} es muy fácil de resolver por un proceso iterativo llamado substitución para matrices triangulares inferiores y analógicamente back substitution para matrices triangulares superiores. El proceso se llama así porque para matrices triangulares inferiores, un primer cálculo x1{displaystyle x_{1}}, entonces sustituye eso para el futuro en el siguiente ecuación para resolver x2{displaystyle x_{2}, y repite hasta xn{displaystyle x_{n}. En una matriz triangular superior, uno trabaja Al revés, primer cálculo xn{displaystyle x_{n}, entonces sustitución de eso atrás en el anterior ecuación para resolver xn− − 1{displaystyle x_{n-1}}, y repetir a través x1{displaystyle x_{1}}.

Observe que esto no requiere invertir la matriz.

Sustitución hacia adelante

La ecuación matricial Lx = b se puede escribir como un sistema de ecuaciones lineales

l l 1,1x1=b1l l 2,1x1+l l 2,2x2=b2⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ l l m,1x1+l l m,2x2+⋯ ⋯ +l l m,mxm=bm{displaystyle {begin{Matrix}ell - ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{2,2}x_{2} limitándose tarde= lentamenteb_{2}\\vdots " sensibles ", ddots ", ", ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ " ¿Qué?

Observe que la primera ecuación (l l 1,1x1=b1{displaystyle ell - ¿Qué?) sólo implica x1{displaystyle x_{1}}, y así uno puede resolver x1{displaystyle x_{1}} directamente. La segunda ecuación sólo implica x1{displaystyle x_{1}} y x2{displaystyle x_{2}, y así se puede resolver una vez que uno sustituye al valor ya resuelto para x1{displaystyle x_{1}}. Continuando así, el k{displaystyle k}-la ecuación sólo implica x1,...... ,xk{displaystyle x_{1},dotsx_{k}, y uno puede resolver para xk{displaystyle x_{k} utilizando los valores previamente resueltos x1,...... ,xk− − 1{displaystyle x_{1},dotsx_{k-1}. Las fórmulas resultantes son:

x1=b1l l 1,1,x2=b2− − l l 2,1x1l l 2,2,⋮ ⋮ xm=bm− − .. i=1m− − 1l l m,ixil l m,m.{displaystyle {begin{aligned}x_{1} {b_{1}{ell ################################################################################################################################################################################################################################################################ {b_{2}-ell ¿Qué? vdots \x_{m} {b_{m}-sum - ¿Por qué? # {m,i}x_{i}{ell {m,m}} {end{aligned}

Una ecuación matricial con una matriz triangular superior U se puede resolver de forma análoga, sólo que trabajando hacia atrás.

Aplicaciones

La sustitución directa se utiliza en el bootstrapping financiero para construir una curva de rendimiento.

Propiedades

La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

Una matriz que es a la vez simétrica y triangular es diagonal. De manera similar, una matriz que es a la vez normal (es decir, A^*A = AA^* , donde A^* es la transpuesta conjugada) y triangular también es diagonal. Esto se puede ver observando las entradas diagonales de A^*A y AA^*.

El determinante y el permanente de una matriz triangular son iguales al producto de las entradas diagonales, como se puede comprobar mediante cálculo directo.

De hecho más es cierto: los eigenvalues de una matriz triangular son exactamente sus entradas diagonales. Además, cada eigenvalue ocurre exactamente k tiempos en la diagonal, donde k es su multiplicidad algebraica, es decir, su multiplicidad como una raíz del polinomio característico pA()x)=Det()xI− − A){displaystyle p_{A}(x)=det(xI-A)} de A. En otras palabras, el polinomio característico de un triangular n×n matriz A es exactamente

pA()x)=()x− − a11)()x− − a22)⋯ ⋯ ()x− − ann){displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})cdots (x-a_{nn})},

es decir, el grado único n polinomio cuyas raíces son las entradas diagonales de A (con multiplicidades). Para ver esto, observe que xI− − A{displaystyle xI-A} es también triangular y por lo tanto su determinante Det()xI− − A){displaystyle det(xI-A)} es el producto de sus entradas diagonales ()x− − a11)()x− − a22)⋯ ⋯ ()x− − ann){displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})cdots (x-a_{nn}}.

Formularios especiales

Matriz unitriangular

Si las entradas en la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) son todas 1, la matriz se llama (superior o inferior) unitriangular.

Otros nombres utilizados para estas matrices son unit (superior o inferior) triangular, o muy raramente normada (superior o inferior) triangular. Sin embargo, una matriz triangular unitaria no es lo mismo que la matriz unitaria, y una matriz triangular normada no tiene nada. que ver con la noción de norma matricial.

Todas las matrices unitriangulares finitas son unipotentes.

Matriz estrictamente triangular

Si todas las entradas en la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) también son 0, la matriz se llama estrictamente (superior o inferior) triangular.

Todas las matrices finitas estrictamente triangulares son nilpotentes de índice como máximo n como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton.

Matriz triangular atómica

Una matriz triangular atómica (superior o inferior) es una forma especial de matriz unitaria triangular, donde todos los elementos fuera de la diagonal son cero, excepto las entradas en una sola columna. Esta matriz también se denomina matriz de Frobenius, matriz de Gauss o matriz de transformación de Gauss.

Triangularización

Una matriz similar a una matriz triangular se denomina triangularizable. En resumen, esto equivale a estabilizar una bandera: las matrices triangulares superiores son precisamente las que preservan la bandera estándar, que es dada por la base ordenada estándar ()e1,...... ,en){displaystyle (e_{1},ldotse_{n}} y la bandera resultante <math alttext="{displaystyle 0<leftlangle e_{1}rightrangle <leftlangle e_{1},e_{2}rightrangle <cdots 0..e1...e1,e2..⋯ ⋯ ..e1,...... ,en.=Kn.{displaystyle 0 realizadasleftlangle e_{1}derechorángulo =K^{n}<img alt="0<leftlangle e_{1}rightrangle <leftlangle e_{1},e_{2}rightrangle <cdots Todas las banderas son conjugadas (como el grupo lineal general actúa transitivamente sobre bases), por lo que cualquier matriz que estabiliza una bandera es similar a la que estabiliza la bandera estándar.

Cualquier matriz cuadrada compleja es triangularizable. De hecho, una matriz A sobre un campo que contiene todos los valores propios de A (por ejemplo, cualquier matriz sobre un campo algebraicamente cerrado) es similar a una matriz triangular. Esto se puede probar usando inducción sobre el hecho de que A tiene un vector propio, tomando el espacio cociente por el vector propio e induciendo para mostrar que A estabiliza una bandera y es por lo tanto triangularizable con respecto a una base para esa bandera.

Una afirmación más precisa la proporciona el teorema de la forma normal de Jordan, que establece que en esta situación, A es similar a una matriz triangular superior de una forma muy particular. Sin embargo, el resultado de la triangularización más simple suele ser suficiente y, en cualquier caso, se utiliza para demostrar el teorema de la forma normal de Jordan.

En el caso de matrices complejas, es posible decir más sobre la triangularización, es decir, que cualquier matriz cuadrada A tiene una descomposición de Schur. Esto significa que A es unitariamente equivalente (es decir, similar, utilizando una matriz unitaria como cambio de base) a una matriz triangular superior; esto se sigue tomando una base hermitiana para la bandera.

Simultaneous triangularis ability

Un conjunto de matrices A1,...... ,Ak{displaystyle A_{1},ldots A_{k} se dice que simultáneamente triangular si hay una base bajo la cual todos son triangulares superiores; equivalentemente, si son triangularizables superiores por una matriz de similitud única P. Tal conjunto de matrices se entiende más fácilmente considerando el álgebra de matrices que genera, a saber, todos los polinomios en los Ai,{displaystyle A_{i},} denotado K[A1,...... ,Ak].{displaystyle K[A_{1},ldotsA_{k}.} Simultaneous triangularizability significa que este álgebra está conjugada en el Subalgebra Lie de matrices triangulares superiores, y es equivalente a este álgebra siendo un Subalgebra Lie de un Subalgebra Borel.

El resultado básico es que (sobre un campo algebraicamente cerrado), las matrices de conmutación A,B{displaystyle A,B} o más generalmente A1,...... ,Ak{displaystyle A_{1},ldots A_{k} son simultáneamente triangularizable. Esto puede ser probado por primera vez mostrando que las matrices de conmutación tienen un eigenvector común, y luego se inducen en la dimensión como antes. Esto fue probado por Frobenius, comenzando en 1878 por un par de conmutación, como se discutió en matrices de conmutación. En cuanto a una matriz única, sobre los números complejos estos pueden ser triangularizados por matrices unitarias.

El hecho de que las matrices transmisoras tengan un eigenvector común puede ser interpretado como resultado de Nullstellensatz de Hilbert: las matrices que conmutan forman un álgebra conmutativa K[A1,...... ,Ak]{displaystyle K[A_{1},ldotsA_{k}} sobre K[x1,...... ,xk]{displaystyle K[x_{1},ldotsx_{k}} que se puede interpretar como una variedad k- el espacio afinal dimensional, y la existencia de un (común) eigenvalue (y por lo tanto un eigenvector común) corresponde a esta variedad que tiene un punto (ser no vacío), que es el contenido de la Nullstellensatz (en blanco). En términos algebraicos, estos operadores corresponden a una representación de álgebra del álgebra polino k variables.

Esto se generaliza mediante el teorema de Lie, que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superiormente, siendo el caso de matrices conmutadoras el caso del álgebra de Lie abeliano, siendo abeliano a fortiori resoluble.

Más generalmente y precisamente, un conjunto de matrices A1,...... ,Ak{displaystyle A_{1},ldots A_{k} es simultáneamente triangular si y sólo si la matriz p()A1,...... ,Ak)[Ai,Aj]{displaystyle p(A_{1},ldotsA_{k}[A_{i},A_{j}} es nilpotent para todos los polinomios p dentro k no- variables cambiantes, donde [Ai,Aj]{displaystyle [A_{i},A_{j}} es el conmutador; para la conmutación Ai{displaystyle A_{i} el conmutador desaparece así que esto sostiene. Esto fue probado por Drazin, Dungey y Gruenberg en 1951; una breve prueba es dada por Prasolov en 1994. Una dirección es clara: si las matrices son simultáneamente triangulares, entonces [Ai,Aj]{displaystyle [A_{i},A_{j}} es estrictamente estricta superior triangularizable (hence nilpotent), que se conserva por la multiplicación por cualquier Ak{displaystyle A_{k} o combinación de ella – todavía tendrá 0s en la diagonal en la base triangular.

Álgebras de matrices triangulares

Muchas operaciones preservan la triangularidad superior:

• La suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• El producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• El inverso de una matriz triangular superior, si existe, es triangular superior.
• El producto de una matriz triangular superior y un escalar es triangular superior.

Estos hechos juntos significan que las matrices triangulares superiores forman una subálgebra del álgebra asociativa de matrices cuadradas para un tamaño dado. Además, esto también muestra que las matrices triangulares superiores pueden verse como una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas de un tamaño fijo, donde el corchete de Lie [a, b] dado por el conmutador ab − ba. El álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores es un álgebra de Lie que se puede resolver. A menudo se la denomina subálgebra de Borel del álgebra de Lie de todas las matrices cuadradas.

Todos estos resultados son válidos si triangular superior se reemplaza por triangular inferior en todo momento; en particular las matrices triangulares inferiores también forman un álgebra de Lie. Sin embargo, las operaciones que mezclan matrices triangulares superiores e inferiores en general no producen matrices triangulares. Por ejemplo, la suma de una matriz triangular superior e inferior puede ser cualquier matriz; el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior tampoco es necesariamente triangular.

El conjunto de matrices unitriangulares forma un grupo de Lie.

El conjunto de matrices triangulares estrictamente superiores (o inferiores) forma un nilpotent Álgebra de mentira, denotado n.{displaystyle {Mathfrak {}} Este álgebra es el álgebra derivada de Lie b{\displaystyle {\fnK}}, el álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores; en símbolos, n=[b,b].{displaystyle {mathfrak {}=[{mthfrak {b},{mthfrak {b}].} Además, n{\displaystyle {\fn} es el álgebra Lie del grupo Lie de matrices unriangulares.

De hecho, según el teorema de Engel, cualquier álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita está conjugada con una subálgebra de las matrices triangulares estrictamente superiores, es decir, un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es simultáneamente triangularizable estrictamente superior.

Las álgebras de matrices triangulares superiores tienen una generalización natural en el análisis funcional que produce álgebras anidadas en espacios de Hilbert.

Subgrupos de Borel y subálgebras de Borel

El conjunto de matrices triangulares invertibles de un tipo determinado (superior o inferior) forma un grupo, de hecho un grupo de Lie, que es un subgrupo del grupo lineal general de todas las matrices invertibles. Una matriz triangular es invertible precisamente cuando sus entradas diagonales son invertibles (distintas de cero).

Sobre los números reales, este grupo está desconectado, teniendo 2n{displaystyle 2^{n} componentes como cada entrada diagonal es positiva o negativa. El componente de identidad es matrices triangulares invertibles con entradas positivas en la diagonal, y el grupo de todas las matrices triangulares invertibles es un producto semidirecto de este grupo y el grupo de matrices diagonales con ± ± 1{displaystyle pm 1} en la diagonal, correspondiente a los componentes.

El álgebra Lie del grupo Lie de matrices triangulares superiores invertibles es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores, no necesariamente invertibles, y es un álgebra Lie solvable. Estos son, respectivamente, el subgrupo estándar Borel B del grupo Lie GL_n y el subalgebra Borel estándar b{\displaystyle {\fnK}} del álgebra de Lie_n.

Las matrices triangulares superiores son precisamente las que estabilizan la bandera estándar. Los invertibles entre ellos forman un subgrupo del grupo lineal general, cuyos subgrupos conjugados son los definidos como estabilizador de alguna (otra) bandera completa. Estos subgrupos son subgrupos de Borel. El grupo de matrices triangulares inferiores invertibles es un subgrupo de este tipo, ya que es el estabilizador de la bandera estándar asociado a la base estándar en orden inverso.

El estabilizador de una bandera parcial obtenido al olvidar algunas partes de la bandera estándar puede describirse como un conjunto de matrices triangulares superiores en bloque (pero sus elementos no son todas matrices triangulares). Los conjugados de dicho grupo son los subgrupos definidos como estabilizador de alguna bandera parcial. Estos subgrupos se denominan subgrupos parabólicos.

Ejemplos

El grupo de matrices unitarias superiores de 2×2 es isomorfo al grupo aditivo del campo de escalares; en el caso de números complejos corresponde a un grupo formado por transformaciones parabólicas de Möbius; las matrices unitarias superiores de 3 × 3 forman el grupo de Heisenberg.