Matriz simpléctica

En matemáticas, a matriz simpletica es un 2n× × 2n{displaystyle 2ntimes 2n} matriz M{displaystyle M} con entradas reales que satisfacen la condición

MTΩ Ω M=Ω Ω ,{displaystyle M^{text{T} Omega M=Omega}

()1)

Donde MT{displaystyle M^{text{T}} denota la transposición de M{displaystyle M} y Ω Ω {displaystyle Omega } es un fijo 2n× × 2n{displaystyle 2ntimes 2n} matriz no lineal, simétrica de puerco. Esta definición puede ampliarse 2n× × 2n{displaystyle 2ntimes 2n} matrices con entradas en otros campos, como los números complejos, campos finitos, números p-adic y campos de función.

Típicamente Ω Ω {displaystyle Omega } es elegido para ser la matriz de bloques

Ω Ω =[0In− − In0],{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################

In{displaystyle I_{n}

n× × n{displaystyle ntimes n}

Ω Ω {displaystyle Omega }

+1{displaystyle +1}

Ω Ω − − 1=Ω Ω T=− − Ω Ω {displaystyle Omega ^{-1}= Omega Omega

Propiedades

Generadores para matrices simplécticas

Cada matriz símpletica tiene determinante +1{displaystyle +1}, y el 2n× × 2n{displaystyle 2ntimes 2n} matrices sísticas con entradas reales forman un subgrupo del grupo lineal general GL()2n;R){displaystyle mathrm {GL} (2n;mathbb {R})} bajo la multiplicación de matriz ya que ser símplectic es una propiedad estable bajo la multiplicación de matriz. Topológicamente, este grupo simpléctico es un grupo de Lie real conectado de dimensión real n()2n+1){displaystyle n(2n+1)}, y es denotado Sp()2n;R){displaystyle mathrm {Sp} (2n;mathbb {R})}. El grupo simpléctico se puede definir como el conjunto de transformaciones lineales que preservan la forma simpléctica de un espacio vectorial real.

Este grupo simpléctico tiene un conjunto distinguido de generadores, que se pueden usar para encontrar todas las matrices simplécticas posibles. Esto incluye los siguientes conjuntos

D()n)={}()A00()AT)− − 1):A▪ ▪ GL()n;R)}N()n)={}()InB0In):B▪ ▪ Sym()n;R)}{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Sym()n;R){displaystyle {text{Sym}(n;mathbb {R})}

n× × n{displaystyle ntimes n}

Sp()2n;R){displaystyle mathrm {Sp} (2n;mathbb {R})}

{}Ω Ω }∪ ∪ D()n)∪ ∪ N()n){displaystyle {Omega }cup D(n)cup N(n)}

D()n){displaystyle D(n)}

N()n){displaystyle N(n)}

Ω Ω {displaystyle Omega }

Matriz inversa

Toda matriz simpléctica es invertible con la matriz inversa dada por

M− − 1=Ω Ω − − 1MTΩ Ω .{displaystyle M^{-1}= Omega.

Propiedades determinantes

Se sigue fácilmente de la definición que el determinante de cualquier matriz simpléctica es ±1. En realidad, resulta que el determinante siempre es +1 para cualquier campo. Una forma de ver esto es mediante el uso de la Pfaffian y la identidad

Pf()MTΩ Ω M)=Det()M)Pf()Ω Ω ).{displaystyle {mbox{Pf}(M^{text{T}Omega M)=det(M){mbox{Pf}}(Omega).}

MTΩ Ω M=Ω Ω {displaystyle M^{text{T} Omega M=Omega }

Pf()Ω Ω )ل ل 0{displaystyle {mbox{Pf}(Omega)neq 0}

Det()M)=1{displaystyle det(M)=1}

Cuando el campo subyacente es real o complejo, también se puede mostrar esto al factorar la desigualdad Det()MTM+I)≥ ≥ 1{displaystyle det(M^{text{T}M+I)geq 1}.

Forma de bloque de matrices simplécticas

Suponga que Ω se da en la forma estándar y se deja M{displaystyle M} ser un 2n× × 2n{displaystyle 2ntimes 2n} matriz del bloque dada por

M=()ABCD){displaystyle M={begin{pmatrix}A presentarseB\cH00Dend{pmatrix}}

Donde A,B,C,D{displaystyle A,B,C,D} son n× × n{displaystyle ntimes n} matrices. La condición para M{displaystyle M} ser simpléctico equivale a las dos siguientes condiciones equivalentes

ATC,BTD{displaystyle A^{text{T}C,B^{text{T}D} simétrico, y ATD− − CTB=I{displaystyle A^{text{T}D-C^{text{T}B=I}

ABT,CDT{displaystyle AB^{text{T}},CD^{text{T}} simétrico, y ADT− − BCT=I{displaystyle.

Cuando n=1{displaystyle n=1} estas condiciones reducen a la condición única Det()M)=1{displaystyle det(M)=1}. Así como 2× × 2{displaystyle 2times 2} matriz es simpléctica si tiene un determinante.

Matriz inversa de matriz de bloques

Con Ω Ω {displaystyle Omega } en forma estándar, el inverso de M{displaystyle M} es dado por

M− − 1=Ω Ω − − 1MTΩ Ω =()DT− − BT− − CTAT).{displaystyle M^{-1}= Omega {begin{pmatrix}D^{text{T} {text{T}\\\-C^{text{T}}} {text{T}end{pmatrix}}}

n()2n+1){displaystyle n(2n+1)}

()MTΩ Ω M)T=− − MTΩ Ω M{displaystyle (M^{text{T} Omega M. Omega M.

()2n2),{displaystyle {binom} {2n}{2}},}

MTΩ Ω M=Ω Ω {displaystyle M^{text{T} Omega M=Omega }

()2n2){displaystyle 2n choose 2}

()2n)2{displaystyle (2n)^{2}

M{displaystyle M}

M{displaystyle M}

n()2n+1){displaystyle n(2n+1)}

Transformaciones simplécticas

En la formulación abstracta del álgebra lineal, las matrices son reemplazadas por transformaciones lineales de espacios vectoriales finitos-dimensionales. El analógico abstracto de una matriz simpléctica es un transformación simpática de un espacio vectorial simpléctico. Brevemente, un espacio vectorial amplio ()V,⋅ ⋅ ){displaystyle (V,omega)} es un 2n{displaystyle 2n}-dimensional espacio vectorial V{displaystyle V} equipado con una forma bilineal nodegenerada y simétrica ⋅ ⋅ {displaystyle omega } llamada la forma simpléctica.

Una transformación simple es entonces una transformación lineal L:V→ → V{displaystyle L:Vto V} que preserva ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, es decir.

⋅ ⋅ ()Lu,Lv)=⋅ ⋅ ()u,v).{displaystyle omega (Lu,Lv)=omega (u,v). }

Fijar una base para V{displaystyle V}, ⋅ ⋅ {displaystyle omega } puede ser escrito como una matriz Ω Ω {displaystyle Omega } y L{displaystyle L. como matriz M{displaystyle M}. La condición de que L{displaystyle L. ser una transformación simple es precisamente la condición de que M ser una matriz simpléctica:

MTΩ Ω M=Ω Ω .{displaystyle M^{text{T} Omega M=Omega.}

Bajo un cambio de base, representado por una matriz A, tenemos

Ω Ω ↦ ↦ ATΩ Ω A{displaystyle Omega mapsto A^{text{T} Omega A.

M↦ ↦ A− − 1MA.{displaystyle Mmapsto A^{-1}MA.}

Uno siempre puede traer Ω Ω {displaystyle Omega } a la forma estándar dada en la introducción o en la forma diagonal de bloque descrito abajo por una elección adecuada A.

La matriz Ω

Las matrices Symplectic se definen en relación con una matriz fija no singular, simétrica skew Ω Ω {displaystyle Omega }. Como se explicó en la sección anterior, Ω Ω {displaystyle Omega } se puede considerar como la representación coordinada de una forma bilineal nodegenerada de esquejes simétricos. Es un resultado básico en álgebra lineal que cualquier dos matrices tales difieren entre sí por un cambio de base.

La alternativa más común al estándar Ω Ω {displaystyle Omega } dada arriba es la forma diagonal bloque

Ω Ω =[01− − 100⋱ ⋱ 001− − 10].{displaystyle Omega ={begin{bmatrix}{begin{matrix}0 tarde1\1⁄40end{matrix} {begin{bmatrix}{begin{matrix}0} {}end{bmatrix}}}

Esta elección difiere de la anterior por una permutación de vectores base.

A veces la notación J{displaystyle J} se utiliza en lugar de Ω Ω {displaystyle Omega } para la matriz simétrica del puño. Esta es una opción particularmente desafortunada, ya que conduce a la confusión con la noción de una estructura compleja, que a menudo tiene la misma expresión de coordenadas que Ω Ω {displaystyle Omega } pero representa una estructura muy diferente. Una estructura compleja J{displaystyle J} es la representación coordinada de una transformación lineal que cuadra a − − In{displaystyle - Yo..., mientras Ω Ω {displaystyle Omega } es la representación coordinada de una forma bilinear nodegenerada simétrica. Uno podría elegir fácilmente bases en las que J{displaystyle J} no es simétrico o Ω Ω {displaystyle Omega } no cuadrado a − − In{displaystyle - Yo....

Dada una estructura hermitiana en un espacio vectorial, J{displaystyle J} y Ω Ω {displaystyle Omega } se relacionan a través de

Ω Ω ab=− − gacJcb{displaystyle Omega ¿Qué?

Donde gac{displaystyle g_{ac} es la métrica. Que J{displaystyle J} y Ω Ω {displaystyle Omega } generalmente tienen la misma expresión de coordenadas (hasta un signo general) es simplemente una consecuencia del hecho de que la métrica g es generalmente la matriz de identidad.

Diagonalización y descomposición

• Para cualquier matriz simétrica real simétrica positiva S existe U dentro U(2)n,R) tales que

S=UTDUparaD=diag⁡ ⁡ ()λ λ 1,...... ,λ λ n,λ λ 1− − 1,...... ,λ λ n− − 1),{displaystyle S=U^{text{T}DUquad {text{for}quad D=operatorname {diag} (lambda _{1},ldotslambda _{n},lambda ¿Qué?
donde los elementos diagonales de D son los eigenvalues de S.

• Cualquier matriz símpletica real S tiene una descomposición polar de la forma:

S=URparaU▪ ▪ U⁡ ⁡ ()2n,R)yR▪ ▪ Sp⁡ ⁡ ()2n,R)∩ ∩ Sym+⁡ ⁡ ()2n,R).{displaystyle S=URquad {text{for}quad Uin operatorname {U} (2n,mathbb {R}){text{ and }Rin operatorname {Sp} (2n,mathbb {R})cap operatorname {Sym} _{+}(2n,mathbb {R}).}

• Cualquier matriz simpléctica real se puede descomponer como producto de tres matrices:

S=O()D00D− − 1)O.,{displaystyle S=O{begin{pmatrix}D tendría0}}end{pmatrix} O',}

()2)

tales que O y O' son ambos simplécticos y ortogonales y D es definido positivo y diagonal. Esta descomposición está estrechamente relacionada con la descomposición en valores singulares de una matriz y se conoce como 'Euler' o 'Bloch-Mesías' descomposición.

Matrices complejas

Si, en cambio, M es una matriz 2n × 2n con entradas complejas, la definición no es estándar en toda la literatura. Muchos autores ajustan la definición anterior para

MAlternativa Alternativa Ω Ω M=Ω Ω .{displaystyle M^{*} Omega M=Omega ,}

()3)

donde M^* denota la transpuesta conjugada de M. En este caso, el determinante puede no ser 1, pero tendrá valor absoluto 1. En el caso 2×2 (n=1), M será el producto de una matriz simpléctica real y un número complejo de valor absoluto 1.

Otros autores retienen la definición (1) para matrices complejas y llaman matrices que satisfacen (3) simplectica conjugada.

Aplicaciones

Las transformaciones descritas por las matrices simplécticas desempeñan un papel importante en la óptica cuántica y en la teoría de la información cuántica de variable continua. Por ejemplo, las matrices simplécticas se pueden utilizar para describir transformaciones gaussianas (Bogoliubov) de un estado cuántico de luz. A su vez, la descomposición de Bloch-Messiah (2) significa que tal transformación gaussiana arbitraria puede representarse como un conjunto de dos interferómetros ópticos lineales pasivos (correspondientes a matrices ortogonales O y O') intermitentes por una capa de transformaciones comprimidas no lineales activas (dadas en términos de la matriz D). De hecho, se puede eludir la necesidad de tales transformaciones de compresión activa en línea si los estados de vacío comprimido de dos modos están disponibles solo como un recurso previo.