Matriz S

En física, la matriz S o matriz de dispersión relaciona el estado inicial y el estado final de un sistema físico que sufre un proceso de dispersión.. Se utiliza en mecánica cuántica, teoría de dispersión y teoría cuántica de campos (QFT).

Más formalmente, en el contexto de QFT, la matriz S se define como la matriz unitaria que conecta conjuntos de estados de partículas asintóticamente libres (los estados de entrada y los estados externos) en el espacio de Hilbert de estados físicos. Se dice que un estado de múltiples partículas es libre (no interactúa) si se transforma bajo transformaciones de Lorentz como un producto tensorial, o producto directo en el lenguaje físico, de estados de una partícula según lo prescrito por la ecuación (1) a continuación. Asintóticamente libre significa entonces que el Estado tiene esta apariencia ya sea en el pasado distante o en el futuro distante.

Mientras que S-La matrix se puede definir para cualquier fondo (tiempo espacial) que sea asintomáticamente solvable y no tiene horizontes de eventos, tiene una forma sencilla en el caso del espacio de Minkowski. En este caso especial, el espacio Hilbert es un espacio de representaciones unitarias irreducibles del grupo Lorentz inhomogéneo (el grupo Poincaré); el S-Matrix es el operador de evolución entre ${displaystyle T=-infty$ (el pasado distante), y ${displaystyle t=+infty$ (el futuro distante). Se define sólo en el límite de la densidad de energía cero (o distancia infinita de separación de partículas).

Se puede demostrar que si una teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski tiene una brecha de masa, el estado en el pasado asintótico y en el futuro asintótico se describen mediante espacios de Fock.

Historia

Los elementos iniciales de la teoría de la matriz S se encuentran en el artículo de Paul Dirac de 1927 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge". La matriz S fue presentada correctamente por primera vez por John Archibald Wheeler en el artículo de 1937 "Sobre la descripción matemática de núcleos ligeros mediante el método de estructura de grupos resonantes". En este artículo, Wheeler introdujo una matriz de dispersión: una matriz unitaria de coeficientes que conecta "el comportamiento asintótico de una solución particular arbitraria [de las ecuaciones integrales] con el de soluciones de una forma estándar".;, pero no lo desarrolló por completo.

En los años 40, Werner Heisenberg desarrolló y confirmó de forma independiente la idea de la matriz S. Debido a las divergencias problemáticas presentes en la teoría cuántica de campos en ese momento, Heisenberg se sintió motivado a aislar las características esenciales de la teoría que no se verían afectadas por cambios futuros a medida que la teoría se desarrollara. Al hacerlo, se vio obligado a introducir una "característica" Matriz S.

Hoy, sin embargo, los resultados exactos de la matriz S son un logro supremo de la teoría de campos conforme, los sistemas integrables y varias áreas más de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. Las matrices S no sustituyen a un tratamiento de teoría de campo, sino que complementan los resultados finales del mismo.

Motivación

En física de partículas de alta energía, uno está interesado en calcular la probabilidad de diferentes resultados en experimentos de dispersión. Estos experimentos se pueden dividir en tres etapas:

1. Hacer una colección de partículas entrantes collide (generalmente dos. partículas con altas energías).
2. Permitiendo que las partículas entrantes interactúen. Estas interacciones pueden cambiar los tipos de partículas presentes (por ejemplo, si un electrón y un aniquilado positron pueden producir dos fotones).
3. Medir las partículas salientes resultantes.

El proceso por el cual las partículas entrantes se transforman (a través de su interacción) en partículas salientes se llama dispersión. Para la física de partículas, una teoría física de estos procesos debe ser capaz de calcular la probabilidad de que diferentes partículas salgan cuando diferentes partículas entrantes colisionen con diferentes energías.

La matriz S en la teoría cuántica de campos logra exactamente esto. Se supone que la aproximación de densidad de energía pequeña es válida en estos casos.

Uso

La matriz S está estrechamente relacionada con la amplitud de probabilidad de transición en la mecánica cuántica y con secciones transversales de diversas interacciones; los elementos (entradas numéricas individuales) en la matriz S se conocen como amplitudes de dispersión. Los polos de la matriz S en el plano energético complejo se identifican con estados ligados, estados virtuales o resonancias. Los cortes de rama de la matriz S en el plano de energía complejo están asociados a la apertura de un canal de dispersión.

En el enfoque Hamiltoniano de la teoría del campo cuántico, S-La matrix puede calcularse como un exponencial ordenado por el tiempo del Hamiltonian integrado en el cuadro de interacción; también puede ser expresado usando las integrales del camino de Feynman. En ambos casos, el cálculo perturbador del S-Matrix conduce a diagramas Feynman.

En la teoría de la dispersión, la S-matriz es un operador que asigna partículas libres estados internos a partículas libres estados externos. (canales de dispersión) en la imagen de Heisenberg. Esto es muy útil porque a menudo no podemos describir la interacción (al menos no las más interesantes) exactamente.

En mecánica cuántica unidimensional

Primero se considera un prototipo simple en el que la matriz S es bidimensional, con fines ilustrativos. En él, partículas con energía aguda E se dispersan desde un potencial localizado V según las reglas de la mecánica cuántica unidimensional. Este modelo simple ya muestra algunas características de casos más generales, pero es más fácil de manejar.

Cada energía E produce una matriz S = S(E) que depende de V. Así, la matriz S total podría visualizarse, en sentido figurado, de manera adecuada, como una "matriz continua" con cada elemento cero excepto los bloques 2 × 2 a lo largo de la diagonal para una V dada.

Definición

Considere una barrera de potencial unidimensional localizada V(x), sometida a un haz de partículas cuánticas con energía E. Estas partículas inciden sobre la barrera de potencial de izquierda a derecha.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger fuera de la barrera de potencial son ondas planas dadas por

$${displaystyle psi _{rm}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

$${displaystyle psi _{rm {R}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}$$

$${displaystyle k={sqrt {2mE/hbar ^{2}}}$$

La "amplia cambiante", es decir, la superposición de transición de las ondas salientes con las ondas entrantes es una relación lineal que define la S-Matrix,

$${begin{_pmatrix}\Cend{pmatrix}={begin{pmatrix}S_{11} {12}S_{21}S_{22}end{pmatrix}{begin{pmatrix}ADend{pmatrix}}}}}}} {begin{begin{pmatrix}}}}}}}} {begin{begin{begin{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}} {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {begin{begin{begin{pmatrixpmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

La relación anterior se puede escribir como

$${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${displaystyle Psi _{rm {out}={begin{pmatrix}BCend{pmatrix}}quad Psi _{rm {in}={begin{pmatrix}ADend{pmatrix}},qquad S={begin{pmatrix}S_{11}S_{12}\S_{21} {22}end{pmatrix}}}}$$

Propiedad unitaria

La propiedad unitaria de la matriz S está directamente relacionada con la conservación de la corriente de probabilidad en la mecánica cuántica.

La probabilidad de densidad de corriente J de la función de onda ψ(x) se define como

$${displaystyle J={frac {hbar }{2mi}}left(psi ^{*}{frac {partial psi }{partial x}}}-psi {frac {partial psi ^{*}{partial x}right). }$$

${displaystyle J_{rm}(x)}$

${displaystyle psi _{rm}(x)}$

$${displaystyle J_{rm {rm}(x)={frac {hbar k}{m}left(PrincipadoA perpetua^{2}-Principalmente)}$$

${displaystyle J_{rm {R}(x)}$

${displaystyle psi _{rm {R}(x)}$

$${displaystyle J_{rm {R}(x)={frac {hbar k}{m}left(PrincipalidadC sobrevivir^{2}-Principalmente). }$$

Para la conservación de la corriente de probabilidad, J_L = J_R. Esto implica el S- La matriz es una matriz unitaria.

Prueba

$${displaystyle {begin{aligned} {L}=J_{rm} {R}}\\\c}\\c}\\c}\\\\\\c}\\c}\\cH00}c}\cH00}\cH00}\\cH00}\cH00}\cH0}\cH0}}\cH0}\cH0}}cH0}\cH00}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?. SPsi _{in}=Psi ¿Por qué?$$

Simetría de inversión del tiempo

Si el potencial V(x) es real, entonces el sistema posee simetría de inversión del tiempo. Bajo esta condición, si ψ(x) es una solución de la ecuación de Schrödinger, entonces ψ*(x) también es una solución.

La solución en tiempo inverso viene dada por

$${displaystyle psi _{rm {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle psi _{rm {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Están nuevamente relacionados por la matriz S,

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft} {f}fnMicrosoft} {cH0}f}f}cH0}cH0}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}$$

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${displaystyle S=I$$

$${displaystyle Sí.$$

Al combinar la simetría y la unitaridad, la matriz S se puede expresar en la forma:

$${displaystyle {begin{pmatrix}S_{11} {12}S_{21} limitS_{22}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}e^{ivarphi }e^{idelta }cdot rνe^{ivarphi }{sqrt {1-r^{2}e^{ivarphi }{sqrt {1-r^{2}}} {e^{ivarphi }e^{-idelta }cdot rend{pmatrix}} {i} {iii} {iiiiiddddddddd}ddiicdotdcdot}cdot}}cdot}}cdot}}cdotcdot}cdotcdot}}}}cdotcdotcdotcdotcdotcdot}}}}}}}}cdotcdotcdotcdotcdot}cdot}}}}cdot} ## {begin{pmatrix}e^{idelta }cdot riéndose{sqrt {1-r^{2}\sqrt {1-r^{2} {-e^{-idelta} }cdot rend {pmatrix}}$$

${displaystyle deltavarphi in [0;2pi]}$

${displaystyle rin [0;1]$

Transferir matriz

El matriz de transferencia ${displaystyle M}$ relaciona las ondas de avión ${displaystyle Ce^{ikx}$ y ${displaystyle De^{-ikx}$ sobre derecho lado de dispersar potencial a las olas de avión ${displaystyle Ae^{ikx}$ y ${displaystyle Be^{-ikx}}$ sobre izquierda lado:

$${begin{begin{pmatrix}CDend{pmatrix}={begin{pmatrix}M_{11} {12}\m_{21}m_{22}end{pmatrix}{begin{pmatrix}ABend{pmatrix}}}}}}}} {b}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {begin{begin{begin{begin{begin{begin{pmatrix}}}}}}}} {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

${displaystyle ¿Qué? M_{22}=M_{11}$

${displaystyle M_{12}=-S_{11}{*}/S_{12}=S_{22}/S_{12}{} M_{21}=M_{12}$

En el caso de la simetría reversal del tiempo, la matriz de transferencia ${displaystyle mathbf}$ puede ser expresado por tres parámetros reales:

$${displaystyle M={frac {1}{sqrt {1-r^{2}{begin{pmatrix}e^{ivarphi }-rcdot e^{-idelta }rcdot e^{idelta }$$

${displaystyle deltavarphi in [0;2pi]}$

${displaystyle rin [0;1]$

Pozo cuadrado finito

El problema unidimensional, no relativista con simetría de inversión temporal de una partícula con masa m que se aproxima a un pozo cuadrado finito (estático), tiene la función potencial V con

$${displaystyle V(x)={begin{cases}-V_{0} {text{for}~xleq ¿Por qué?$$

${displaystyle A_{k}exp(ikx)}$

${displaystyle k]$

${displaystyle D_{k}exp(-ikx)}$

La matriz S para la onda plana con número de onda k tiene la solución:

$${displaystyle S_{12}=S_{21}={frac {exp(-2ika)}{cos(2la)-isin(2la){frac {cH00}}}}}}$$

${displaystyle S_{11}=S_{12}cdot isin(2la){frac {cH00}}}} {2kl}}}}$

${displaystyle e^{idelta }=pm i}$

${displaystyle -e^{-idelta }=e^{idelta }$

${displaystyle S_{22}=S_{11}$

¿Dónde? ${displaystyle l={sqrt {fnK}} {f}}} {hbar}}}}} {f}}}}} {f}}$ es el número de onda (aumento) de la onda de avión dentro del pozo cuadrado, así como la energía eigenvalue ${displaystyle E_{k}$ asociado con la onda de avión tiene que mantenerse constante: ${displaystyle ¿Qué? {hbar ^{2} {2m}-V_{0}$

La transmisión es ${displaystyle ¿Por qué? ¿Qué?$

En el caso de ${displaystyle sin(2la)=0}$ entonces ${displaystyle cos(2la)=pm 1}$ por lo tanto ${displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$ y ${displaystyle Silencios_{21}$ i.e. una onda de avión con número de onda k pasa el pozo sin reflexión si ${fnK}}= {fnK} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}$ para un ${displaystyle nin mathbb {N}$

Barrera cuadrada finita

El cuadrado barrera es similar al pozo cuadrado con la diferencia ${displaystyle V(x)=+V_{0} {0}}$ para ${displaystyle Silencioso$.

Hay tres casos diferentes dependiendo del valor energético ${displaystyle E_{k}={frac {hbar ^{2}k^{2m}} {2m}}$ de las ondas de avión (con números de onda k Resp. −k) lejos de la barrera:

Coeficiente de transmisión y coeficiente de reflexión

El coeficiente de transmisión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0,

$${displaystyle T_{rm {L}={frac} Oh, Dios mío.$$

El coeficiente de reflexión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0,

$${displaystyle R_{rm {L}={frac Oh, Dios mío.$$

De manera similar, el coeficiente de transmisión desde la derecha de la barrera potencial es, cuando A = 0,

$${displaystyle T_{rm {R}={frac Oh, Dios mío.$$

El coeficiente de reflexión desde la derecha de la barrera de potencial es, cuando A = 0,

$${displaystyle R_{rm {R}={frac Oh, Dios mío.$$

Las relaciones entre los coeficientes de transmisión y reflexión son

$${displaystyle T_{rm {L}+R_{rm {L}=1}$$

$${displaystyle T_{rm {R}+R_{rm {R}=1.}$$

Con la simetría reversal del tiempo, la S-matrix es simétrica y por lo tanto ${displaystyle T_{rm {L}=perss_{21}Principi} {R}}$ y ${displaystyle ¿Qué? {R}}$.

Teorema óptico en una dimensión

En el caso de partículas libres V(x) = 0, el S-matriz es

$${displaystyle S={begin{pmatrix}0 limit111}}$$

$${displaystyle S={begin{pmatrix}2ir simultáneamente1+2it1+2itular2ir^{*}{frac {1+2it}{1-2it^{*}}end{pmatrix}}} {1+2it}{2it}} {1+2it}}}}} {end{=pmatrix}}}}}}}} {1+2it}{1} {2it}{=2it=2it}}}}}}}} {end{}}}}}}}}}}}}}} {end{end{end{=pmatrix=pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {end{end{end{end{end{end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle Silencioso***{2}+Sobre la vida eterna^{2}=operatorname {Im} (t).}$$

El análogo de esta identidad en tres dimensiones se conoce como teorema óptico.

Definición en teoría cuántica de campos

Imagen de interacción

Una forma sencilla de definir la matriz S comienza considerando la imagen de interacción. Dividamos el hamiltoniano H en la parte libre H_{0< /sub>} y la interacción V, H = H₀ + V. En esta imagen, los operadores se comportan como operadores de campo libre y los vectores de estado tienen dinámica según la interacción V. Dejar

$${displaystyle left durablePsi (t)rightrangle }$$

$${displaystyle left durablePhi _{rm {}rightrangle.}$$

$${displaystyle leftlangle Phi _{rm {f}justo.$$

$${displaystyle S_{rm {fi}equiv lim _{trightarrow +infty }leftlangle Phi _{rm {f} durablePsi (t)rightrangle equiv leftlangle Phi _{rm {f} 'justo Phi...$$

donde S es el operador S. La gran ventaja de esta definición es que el operador de evolución temporal U evoluciona un estado en la interacción la imagen se conoce formalmente,

$${displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-iint ¿Qué?$$

$${displaystyle S_{rm {fi}=lim ################################################################################################################################################################################################################################################################ +infty }lim ################################################################################################################################################################################################################################################################ - 'infty' Phi _{rm {f}right impertineu(t_{2},t_{1})left durablePhi _{rm {i}rightrangle}$$

$${displaystyle S=U(infty-infty).}$$

$${displaystyle S=sum _{n=0}{infty}{frac {-i)^{n}{n}}int - ¿Qué? }dt_{1}cdots int - ¿Qué? }dt_{n}Tleft [V(t_{1})cdots V(t_{n}right],}$$

$${displaystyle S=sum _{n=0}{infty}{frac {-i)^{n}{n}}int - ¿Qué? }dx_{1} {4}cdots int _{-infty }dx_{n} {4}Tleft[{mathcal {H}(t_{1})cdots {mathcal {H}(t_{n}right].}$$

Ser un tipo especial de operador de tiempo-evolución, S es unitario. Para cualquier estado inicial y cualquier estado final se encuentra

$${displaystyle S_{rm {}=leftlangle ################################################################################################################################################################################################################################################################ = 'izquierda' Phi _{rm {f}left foreversum ¿Qué? - ¿Qué? }dx_{1} {4}cdots int _{-infty }dx_{n} {4}Tleft[{mathcal {H}(t_{1})cdots {mathcal {H}(t_{n}right)right sometida ¿Qué?$$

Este enfoque es algo ingenuo en el sentido de que los problemas potenciales se esconden debajo de la alfombra. Esto es intencional. El enfoque funciona en la práctica y algunas de las cuestiones técnicas se abordan en las otras secciones.

Estados de entrada y salida

Aquí se adopta un enfoque ligeramente más riguroso para abordar problemas potenciales que se ignoraron en el enfoque de imagen de interacción anterior. El resultado final es, por supuesto, el mismo que si se toma la ruta más rápida. Para ello, se necesitan las nociones de estados de entrada y salida. Estos se desarrollarán de dos maneras, a partir de estados de vacío y de partículas libres. No hace falta decir que los dos enfoques son equivalentes, pero iluminan las cuestiones desde ángulos diferentes.

De vacío

Si a^†(k) es un operador de creación, su adjunto hermitiano es un operador de aniquilación y destruye el vacío,

$${displaystyle a(k)left upon*,0rightrangle =0.}$$

En notación de Dirac, defina

$${displaystyle Silencio*,0rangle }$$

$${displaystyle P^{mu } sobreviviente*,0rangle ################################################################################################################################################################################################################################################################ =0}$$

$${displaystyle (Box ^{2}+m^{2})phi _{rm {i,o}(x)=0,}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {cH00}} {cH00}}} {cH00}} {cH00} {cH00} {cH00}cH00}ccH00} {cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00 {fnMicrosoft Sans Serif}=0.end{aligned}}$$

La acción de los operadores de creación sobre sus respectivos vacíos y estados con un número finito de partículas en los estados de entrada y salida está dada por

$${displaystyle {begin{aligned}left persistenciamathrm {i}k_{1}ldots k_{n}rightrangle ¿Qué? a_{rm {i} {\dgger}(k_{n})left WordPressi,0rightrangle\\\\left durablemathrm {f}p_{1}ldots {f}}(p_{1})cdots a_{f}{dagger }(p_{n})left foreverf,0rightrangleend{aligned}}$$

$${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {fn}=operatorname {span} {fnMicrom} {i}k_{1}ldots k_{n}rightrangle =a_{rm {} {fnMicrosoft Sans Serif} a_{rm {i} {dgger}(k_{n})left durablemathrm {i}0rightrangle },}$$

$${displaystyle {Mathcal {H}_{rm {f}=operatorname {span} {left durablemathrm {f}p_{1}ldots {f} {gn}(p_{1})cdots a_{rm {f}{dgger }(p_{n})cdots a_{rm {f} {f}{dgger }(p_{n})i}.$$

Se supone que los estados asintóticos tienen propiedades de transformación de Poincaré bien definidas, es decir, se supone que se transforman como un producto directo de los estados de una partícula. Ésta es una característica de un campo que no interactúa. De esto se deduce que los estados asintóticos son todos estados propios del operador de momento P^μ,

$${displaystyle P^{mu }left durablemathrm {i}k_{1}ldots k_{m}rightrangle =k_{1} {mu}+cdots ¿Qué? } 'izquierda 'mathrm {i}k_{1}ldots k_{m}rightranglequad P^{mu }left durablemathrm {f}p_{1}ldots P_{n}rightrangle =p_{1} {mu}+cdots +p_{n}{mu }ldots ¿Qué?$$

$${displaystyle H=P^{0}.$$

Se suele postular que el vacío es estable y único,

$$################################################################################################################################################################################################################################################################ = soporte*,0rangle equiv tención0rangle.}$$

La interacción se supone activada y desactivada adiabáticamente.

Foto de Heisenberg

De ahora en adelante se emplea la imagen de Heisenberg. En esta imagen, los estados son independientes del tiempo. Por tanto, un vector de estado de Heisenberg representa la historia espacio-temporal completa de un sistema de partículas. El etiquetado de los estados de entrada y salida se refiere a la apariencia asintótica. Un estado Ψ_{α, en} se caracteriza por ser t → −∞ el contenido de la partícula es el representado colectivamente por α. Del mismo modo, un estado Ψ_{β, out} tendrá el contenido de partículas representado por el estilo β para t → +∞. Utilizando el supuesto de que los estados de entrada y salida, así como los estados que interactúan, habitan el mismo espacio de Hilbert y asumiendo la integridad de los estados de entrada y salida normalizados (postulado de completitud asintótica), los estados iniciales se pueden expandir en una base de estados finales. estados (o viceversa). La expresión explícita se proporciona más adelante, después de que se haya introducido más notación y terminología. Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.

Mientras que los vectores de estado son constantes en el tiempo en la imagen de Heisenberg, los estados físicos que representan no lo son. Si se encuentra que un sistema está en un estado Ψ en el momento t = 0, entonces se encontrará en el estado U(τ)Ψ = e^−iHτ Ψ en el momento t = τ. Este no es (necesariamente) el mismo vector de estado de Heisenberg, pero es un vector de estado equivalente, lo que significa que, tras la medición, se encontrará que es uno de los estados finales de la expansión con coeficiente distinto de cero.. Al dejar que τ varíe, se ve que el Ψ observado (no medido) es de hecho el vector de estado de imagen de Schrödinger. Repitiendo la medición suficientes veces y promediando, se puede decir que el mismo vector de estado se encuentra en el tiempo t = τ como en el momento t = 0. Esto refleja la expansión de un estado interno hacia estados externos.

De estados de partículas libres

Desde este punto de vista, se debe considerar cómo se realiza el experimento arquetípico de dispersión. Las partículas iniciales se preparan en estados bien definidos en los que están tan alejadas que no interactúan. De alguna manera se les hace interactuar, y las partículas finales se registran cuando están tan separadas que han dejado de interactuar. La idea es buscar en la imagen de Heisenberg estados que en el pasado lejano tenían la apariencia de estados de partículas libres. Este será el en los estados. Asimismo, un estado externo será un estado que en un futuro lejano tenga la apariencia de un estado de partícula libre.

Se utilizará la notación de la referencia general para esta sección, Weinberg (2002). Un estado general de múltiples partículas que no interactúan está dado por

$${displaystyle Psi _{p_{1}sigma ## {1}n_{1};p_{2}sigma ¿Qué?$$

• p es el impulso,
• σ es spin z-component o, en el caso sin masa, helicidad,
• n es especies de partículas.

Estos estados se normalizan como

$${displaystyle left( Psi ¿Por qué? ## {1}'n_{1}'p_{2}'sigma ¿Por qué? ## {1}n_{1};p_{2}sigma ## {2}n_{2}cdots}right)=delta ^{3}(mathbf {p} ¿Qué? _{1})delta _{sigma - ¿Qué? ♪♪♪ - ¿Qué? ¿Qué? _{2})delta _{sigma ¿Qué? ¿Qué? {fn_{2}cdots quadpm {text{ permutations}}$$

$${displaystyle n_{s(i)}=n_{i},quad 1leq ileq k,}$$

$${displaystyle left(Psi _{alpha '},Psi _{alpha }right)=delta (alpha '-alpha). }$$

$${displaystyle dalpha cdots equiv sum _{n_{1}sigma ## {1}n_{2}sigma ¿Qué? - ¿Qué?$$

$${displaystyle Psi =int dalpha Psi _{alpha }left(Psi _{alpha },Psi right),}$$

$${displaystyle int dalpha left sometidaPsi _{alpha }rightrangle leftlangle ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${displaystyle U(Lambdaa) Psi _{p_{1}sigma ## {1}n_{1};p_{2}sigma ## {2}n_{2}cdots {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros}}f}f}f}fnMicros}fnun}fnMicros}cfnMicros}fnMicros}cfnMicros}fnun}fnMicros}}fnun}fnfnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnunfnun}fnun}fnunfnun}fnun}fnun}fn }{0}cdots }sum _{sigma ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? - No. Lambda p_{2}sigma ¿Qué?$$

()1)

Donde W(XXI) p) es la rotación de Wigner y D^()j) es (22)j + 1)-dimensional representación de SO(3). Al poner ▪ = 1, a =τ, 0, 0, 0), por el cual U es exp(iHτ), dentro 1), inmediatamente sigue que

$${displaystyle HPsi =E_{alpha }Psiquad E_{alpha ¿Qué?$$

$${displaystyle e^{-i Htau }int dalpha g(alpha) Psi _{alpha ♫ {pm }=int dalpha e^{-iE_{alpha }tau }g(alpha) Psi _{alpha.$$

$${displaystyle H_{0} Phi _{alpha }=E_{alpha }Phi _{alpha }$$

$${displaystyle (Phi _{alpha }',Phi _{alpha })=delta (alpha '-alpha). }$$

Los estados de entrada y salida se definen como estados propios del hamiltoniano completo,

$${displaystyle HPsi _{alpha. }=E_{alpha }Psi _{alpha } {pm}$$

$${displaystyle e^{-i Htau }int dalpha g(alpha) Psi _{alpha. }rightarrow e^{-iH_{0}int dalpha g(alpha) Phi _{alpha }$$

$${displaystyle Omega (tau)equiv e^{+iHtau }e^{-iH_{0}tau }$$

$${displaystyle Psi _{alpha }{pm }=Omega (mp infty) Phi _{alpha }$$

$${displaystyle (Psi _{beta }{+},Psi _{alpha }^{+})=(Phi _{beta },Phi _{alpha })=(Psi _{beta },Psi _{alpha }})=delta$$

$${displaystyle (E_{alpha) }-H_{0}pm iepsilon) Psi _{alpha. }=pm iepsilon Psi _{alpha }{pm }+VPsi _{alpha } {pm }$$

$${displaystyle iepsilon Psi _{alpha }{pm }=iepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${displaystyle Psi _{alpha }{pm }=Phi _{alpha }+(E_{alpha }-H_{0}pm iepsilon)^{-1}VPsi _{alpha. }$$

$${displaystyle VPsi _{alpha }{pm }=int dbeta (Phi _{beta },VPsi _{alpha }{pm)Phi _{beta }equiv int dbeta T_{beta alpha }{pm }Phi _{beta }$$

$${displaystyle Psi _{alpha }{pm }=Phi _{alpha }+int dbeta {frac {T_{beta alpha. ♫Phi _{beta }{E_{alpha }-E_{beta }pm iepsilon }}$$

En estados expresados como estados externos

Los estados iniciales se pueden ampliar en base a estados finales (o viceversa). Usando la relación de completitud,

$${displaystyle Psi _{alpha }=int dbeta (Psi _{beta }{+}, Psi _{alpha }{-}) Psi _{beta }=int dbeta Silencio. ################################################################################################################################################################################################################################################################ Psi _{alpha }rangle =sum _{n_{1}sigma ## {1}n_{2}sigma _{2}cdots }int ### {3}p_{1}d^{3}p_{2}cdots (Psi _{beta }{+}, Psi _{alpha }{-}) Psi _{beta }{+}, }$$

$${displaystyle Psi _{alpha }{-}=left arrestmathrm {i}k_{1}ldots k_{n}rightrangle - ¿Qué? +sum _{m=1}{infty }int {d^{4}p_{1}ldots ♪♪ {4}p_{m}(p_{1}ldots p_{m})left WordPressmathrm {f}p_{1}ldots ¿Qué?$$

$${displaystyle left WordPressmathrm {i}k_{1}ldots k_{n}rightrangle =Psi _{alpha } {}} {}}$$

$${displaystyle left WordPressmathrm {f}p_{1}ldots {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle C_{m}(p_{1}ldots p_{m}=leftlangle mathrm {f}p_{1}ldots ¿Por qué? {i}k_{1}ldots k_{n}rangle =(Psi _{beta }{+},Psi _{alpha }{-}) }$$

$${displaystyle left WordPressmathrm {i}k_{1}ldots k_{n}rightrangle - ¿Qué? +sum _{m=1}{infty }int {d^{4}p_{1}ldots ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {f}p_{1}ldots P_{m}rightrangle }leftlangle mathrm {f}p_{1}ldots ¿Por qué? {i}k_{1}ldots ¿Qué?$$

La matriz S

La matriz S ahora está definida por

$${displaystyle S_{beta alpha }=langle Psi _ {beta }{-} Psi _{alpha }{+}rangle =langle mathrm {f}beta Silenciomathrm {i}alpha rangleqquad tenciónmathrm {f}beta rangle in {mathcal {H}}_{rm {f},quad mathrm {i}alpha rangle in {mathcal {H}_{rm} {i}}$$

Aquí α y β< /span> son abreviaturas que representan el contenido de partículas pero suprimen las etiquetas individuales. Asociado a la matriz S está el operador S S definido por

$${displaystyle langle Phi _{beta }SobrevivirPhi _{alpha }rangle equiv S_{beta alpha }$$

donde los Φ_γ son estados de partículas libres. Esta definición se ajusta al enfoque directo utilizado en el cuadro de interacción. Además, debido a la equivalencia unitaria,

$${displaystyle langle Psi _{beta }^{+} }{+}rangle =S_{beta alpha }=langle Psi _{beta }{-}SobrevivirPsi _{alpha } {-}rangle.}$$

Como requisito físico, S debe ser un operador unitario. Esta es una declaración de conservación de la probabilidad en la teoría cuántica de campos. Pero

$${displaystyle langle Psi _{beta }SobrevivirPsi _{alpha }{-}rangle =S_{betaalpha }=langle Psi _ {beta }{-} Psi _{alpha } {+}rangle.}$$

$$################################################################################################################################################################################################################################################################ _{alpha } {+}rangle}$$

$${displaystyle Sleft sustain0rightrangle = 'izquierda'$$

$${displaystyle phi _{mathrm {f} }=Sphi _{mathrm {i} Sí.$$

En términos de operadores de creación y aniquilación, esto se convierte en

$${displaystyle a_{rm}(p)=Sa_{rm {}(p)S^{-1},a_{rm) {f} {fnK}(p)=Sa_{rm] {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle {begin{aligned}S arrestmathrm {I}k_{1},k_{2},ldotsk_{n}rangle - Sí. {} {fnMicrosoft Sans Serif} a_{rm {fn} {fn} {fn} {fn}n}rangle =Sa_{rm {i}} {dgger }(k_{1}})S^{-1}Sa_{rm} {rm} {rm} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} Sa. {cHFF} {fn} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {ccH00} {ccH00}cH00}cH00} {cH00} {cH00}c} {cH00}cH00} {cH00} {c}}}}c}}}}cH00} {cH00} {cH00}cc}}}cc}c}}ccH00}ccH00} {cH00}ccH00}cc}cccccH00}cccc}cH00}cH00cccH00}cH00}ccH00}ccH00}cccc}ccc}}c}c a_{rm {o}{dagger }(k_{n}) WordPress0rangle = privacymathrm {o}k_{1},k_{2},ldotsk_{n}rangle.end{aligned}}}$$

$${displaystyle S_{beta alpha }=langle mathrm {o}beta Silenciomathrm {i}alpha rangle =langle mathrm {i}beta Silenciosomathrm {i}alpha rangle =langle mathrm {o}beta Silenciosomathrm {o}alpha rangle. }$$

Si S describe una interacción correctamente, estas propiedades también deben ser verdaderas:

• Si el sistema está compuesto una sola partícula en el impulso eigenstate Silenciok.Entonces SSilenciok.k.. Esto se deriva del cálculo anterior como caso especial.
• El S- El elemento de matrix puede ser no cero solamente cuando el estado de salida tiene el mismo impulso total que el estado de entrada. Esto se deriva de la invariancia necesaria de Lorentz S-Matrix.

Operadora de evolución U

Defina un operador de creación y aniquilación dependiente del tiempo de la siguiente manera:

$${displaystyle {begin{aligned}a}{dagger }{left(k,tright)} limit=U^{-1}(t),a_{rm {fnMicrosoft Sans Serif},U{left(tright)}[1ex]a{left(k,tright)} {=U^{-1}(t),a_{rm {i}{left(kright)}, ¿Qué?$$

$${displaystyle phi _{rm {}=U^{-1}(infty)phi _{rm} ¿Qué? - ¿Qué?$$

$${displaystyle S=e^{ialpha },U(infty). }$$

Permitimos una diferencia de fase, dada por

$${displaystyle e^{ialpha }=leftlangle 0 impertinentes$$

$${displaystyle Sleft sustain0rightrangle = 'izquierda' Longrightarrow leftlangle 0 impersiva0rightrangle =leftlangle 0 arrest0rightrangle =1~}$$

Sustituyendo la expresión explícita por U, se tiene

$${displaystyle S={frac {1}{leftlangle 0 sometidaU(infty) sometida0rightrangle {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}~}}$$

${displaystyle H_{rm {int}}$

${displaystyle {fnMithcal}}$

Por inspección, se puede ver que esta fórmula no es explícitamente covariante.

Serie Dyson

La expresión más utilizada para la matriz S es la serie Dyson. Esto expresa el operador de matriz S como la serie:

$${displaystyle S=sum _{n=0}{infty }{frac {(-i)^{n}{n}}}int cdots int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}ldots {fn} {fn} {fn} {fn} {fnh} {fnh} {fnh}} {\fnh} {cdots {mthcal {}cdots {mthcal {}_ {fn} {fn}} {fn}}}}}}}} {cdot}} {cdot} {cdot} {cdot} {cdot} {cdot}}} {cdot}}}} {cdot} {cdot}} {cdot} {c}}}} {cdot} {cdot {cdot} {cdot}} {cdots}}} {cdots} {cdots}} {cdot}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdot} {cdot {cdot}$$

donde:

• ${displaystyle T[cdots]$ denota orden de tiempo,
• ${displaystyle ;{mthcal {H}_{rm {int}(x)}$ denota la interacción densidad Hamiltoniana que describe las interacciones en la teoría.

La matriz no-S

Dado que la transformación de partículas del agujero negro en radiación de Hawking no podía describirse con una matriz S, Stephen Hawking propuso una matriz "noS-. matriz", para la cual utilizó el signo del dólar ($), y que por lo tanto también se llamó "matriz del dólar".

Observaciones