Matriz polinómica

En matemáticas, una matriz polinómica o matriz de polinomios es una matriz cuyos elementos son polinomios univariados o multivariados. De manera equivalente, una matriz polinómica es un polinomio cuyos coeficientes son matrices.

Una matriz polinómica univariante P de grado p se define como:

${\displaystyle P=\sum _{n=0}{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)x+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}}$

Donde ${\displaystyle A(i)}$ denota una matriz de coeficientes constantes, y ${\displaystyle A(p)}$ no es cero. Un ejemplo de matriz polinomio 3×3, grado 2:

${\displaystyle P={0 {\begin{pmatrix}1 limit0}{2}}={\0}={\0}}={0}}= {\begin{\pmatrix}0}= {\0} {\0}0} {\0} {\0}\0}$

Podemos expresar esto diciendo que para un anillo RLos anillos ${\displaystyle M_{n}(R[X]}$ y ${\displaystyle (M_{n}(R)[X]}$ son isomorfos.

• Una matriz polinómica sobre un campo con determinante igual a un elemento no cero de ese campo se llama unimodular, y tiene un inverso que es también una matriz polinómica. Tenga en cuenta que los únicos polinomios escalares unimodulares son polinomios de grado 0 – constantes no cero, porque un inverso de un polinomio arbitrario de grado superior es una función racional.
• Las raíces de una matriz polinomio sobre los números complejos son los puntos en el plano complejo donde la matriz pierde rango.
• El determinante de un polinomio matriz con coeficientes de définito positivo Hermitiano (semidefinito) es un polinomio con coeficientes positivos (no negativos).

Tenga en cuenta que las matrices polinómicas no deben confundirse con las matrices monomiales, que son simplemente matrices con exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y columna.

Si por λ denotamos cualquier elemento del cuerpo sobre el que construimos la matriz, por I la matriz identidad, y dejamos que A sea una matriz polinómica, entonces la matriz λI − A es la matriz característica de la matriz A. Su determinante, |λI − A| es el polinomio característico de la matriz A.

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