Matriz normal

En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A^*:

El concepto de matrices normales puede extenderse a operadores normales en espacios normados de dimensión infinita ya elementos normales en C*-álgebras. Como en el caso de la matriz, la normalidad significa que la conmutatividad se conserva, en la medida de lo posible, en el entorno no conmutativo. Esto hace que los operadores normales y los elementos normales de C*-álgebras sean más susceptibles de análisis.

El teorema espectral establece que una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal, y por lo tanto cualquier matriz A< /span> satisfaciendo la ecuación A^*A = AA ^* es diagonalizable. Lo contrario no se cumple porque las matrices diagonalizables pueden tener espacios propios no ortogonales.

Los vectores singulares izquierdo y derecho en la descomposición de valor singular de una matriz normal ${displaystyle mathbf {A} =mathbf {U} {boldsymbol {Sigma}Mathbf [V]$ difieren sólo en fase compleja entre sí y de los eigenvectores correspondientes, ya que la fase debe ser considerada fuera de los eigenvalues para formar valores singulares.

Casos especiales

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias, hermitianas y sesgadas-hermitianas son normales, y todos los valores propios son módulos unitarios, reales e imaginarios, respectivamente. Del mismo modo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales, simétricas y asimétricas son normales, y todos los valores propios son pares conjugados complejos en el círculo unitario, real e imaginario, respectivamente. Sin embargo, no el caso de que todas las matrices normales sean unitarias o (sesgadas) hermitianas, ya que sus valores propios pueden ser cualquier número complejo, en general. Por ejemplo,