Matriz jacobiana y determinante

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Matriz de todos los derivados parciales de primera orden de una función de valor vectorial

En cálculo vectorial, la matriz jacobiana (,) de una función vectorial de varias variables es la matriz de todas sus derivadas parciales de primer orden. Cuando esta matriz es cuadrada, es decir, cuando la función toma como entrada el mismo número de variables que el número de componentes vectoriales de su salida, su determinante se denomina determinante jacobiano. Tanto la matriz como (si corresponde) el determinante a menudo se denominan simplemente jacobiano en la literatura.

Ejemplo

Suppose $f : R n \to R m$ es una función tal que cada uno de sus derivados parciales de primer orden existen en $R n$ . Esta función toma un punto $x ▪ R n$ como entrada y produce el vector $f () x) R m$ como salida. Entonces la matriz Jacobiana $f$ se define como un $m \times n$ matriz, denotada por $J$ , cuyo $() i, j)$ la entrada ${textstyle mathbf {J} _{ij}={frac {partial f_{i}}{partial x_{j}}}}$ , o explícitamente

{displaystyle mathbf {J} ={begin{bmatrix}{dfrac {partial mathbf {f} }{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial mathbf {f} }{partial x_{n}}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}nabla ^{mathrm {T} }f_{1}\vdots \nabla ^{mathrm {T} }f_{m}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dfrac {partial f_{1}}{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial f_{1}}{partial x_{n}}}\vdots &ddots &vdots \{dfrac {partial f_{m}}{partial x_{1}}}&cdots &{dfrac {partial f_{m}}{partial x_{n}}}end{bmatrix}}}

Donde ${displaystyle nabla ^{mathrm {T} }f_{i}}$ es la transposición (vector de la médula) del gradiente del $i$ componente.

La matriz Jacobiana, cuyas entradas son funciones de $x$ , se denota de varias maneras; las notaciones comunes incluyen $D f$ , $J f$ , ${displaystyle nabla mathbf {f} }$ , y ${displaystyle {frac {partial (f_{1},..,f_{m})}{partial (x_{1},..,x_{n})}}}$ . Algunos autores definen al jacobino como la transposición de la forma dada anteriormente.

La matriz jacobiana representa el diferencial de $f$ en cada punto donde $f$ es diferenciable. En detalle, si $h$ es un vector de desplazamiento representado por una matriz columna, el producto de matrices $J (x) \cdot h$ es otro vector de desplazamiento, que es la mejor aproximación lineal del cambio de $f$ en una vecindad de $x$ , si $f (x)$ es diferenciable en $x$ . Esto significa que la función que asigna $y$ a $f (x) + J (x) \cdot (y - x)$ es la mejor aproximación lineal de $f (y)$ para todos los puntos $y$ cerca de $x$ . El mapa lineal $h \to J (x) \cdot h$ se conoce como la derivada o la diferencial de $f$ en $x$ .

Cuando $m = n$ , la matriz jacobiana es cuadrada, por lo que su determinante es una función bien definida de $x$ , conocido como el determinante jacobiano de $f$ . Contiene información importante sobre el comportamiento local de $f$ . En particular, la función $f$ tiene una función inversa diferenciable en una vecindad de un punto $x$ si y solo si el determinante jacobiano es distinto de cero en $x$ (consulte la conjetura jacobiana para un problema relacionado de global invertibilidad). El determinante jacobiano también aparece al cambiar las variables en integrales múltiples (ver regla de sustitución para variables múltiples).

Cuando $m = 1$ , eso es cuando $f : R n \to R$ es una función de valor escalar, la matriz jacobica reduce al vector de fila ${displaystyle nabla ^{mathrm {T} }f}$ ; este vector de fila de todos los derivados parciales de primer orden de $f$ es la transposición del gradiente de $f$ , es decir. ${displaystyle mathbf {J} _{f}=nabla ^{T}f}$ . Especializando más, cuando $m = n = 1$ , eso es cuando $f : R \to R$ es una función de escalar valorada de una sola variable, la matriz jacobina tiene una sola entrada; esta entrada es el derivado de la función $f$ .

Estos conceptos llevan el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

Matriz jacobiana

El jacobiano de una función con valores vectoriales en varias variables generaliza el gradiente de una función con valores escalares en varias variables, que a su vez generaliza la derivada de una función con valores escalares de una sola variable. En otras palabras, la matriz jacobiana de una función con valores escalares en varias variables es (la transposición de) su gradiente y el gradiente de una función con valores escalares de una sola variable es su derivada.

En cada punto donde una función es derivable, su matriz jacobiana también puede considerarse como una descripción de la cantidad de "estiramiento", "rotación" o "transformando" que la función impone localmente cerca de ese punto. Por ejemplo, si $(x', y') = f (x, y)$ se usa para transformar suavemente una imagen, la matriz jacobiana $J f (x, y)$ , describe cómo la imagen en el vecindario de $(x, y)$ se transforma.

Si una función es derivable en un punto, su diferencial viene dado en coordenadas por la matriz jacobiana. Sin embargo, no es necesario que una función sea diferenciable para que se defina su matriz jacobiana, ya que solo se requiere que existan sus derivadas parciales de primer orden.

Si $f$ es diferenciable en un punto $p$ en $R n$ , entonces su diferencial está representado por $J f (p)$ . En este caso, la transformación lineal representada por $J f (p)$ es la mejor aproximación lineal de $f$ cerca del punto $p$ , en el sentido de que

{displaystyle mathbf {f} (mathbf {x})-mathbf {f} (mathbf {p})=mathbf {J} _{mathbf {f} }(mathbf {p})(mathbf {x} -mathbf {p})+o(|mathbf {x} -mathbf {p} |)quad ({text{as }}mathbf {x} to mathbf {p}),}

donde $o (‖ x - p ‖)$ es una cantidad que se aproxima cero mucho más rápido que la distancia entre $x$ y $p$ hace lo mismo $x$ se acerca a $p$ . Esta aproximación se especializa en la aproximación de una función escalar de una sola variable por su polinomio de Taylor de grado uno, a saber

{displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)quad ({text{as }}xto p)}

En este sentido, el jacobiano puede considerarse como una especie de "derivada de primer orden" de una función vectorial de varias variables. En particular, esto significa que el gradiente de una función escalar de varias variables también puede considerarse como su "derivada de primer orden".

Funciones diferenciables $f : R n \to R m$ y $g : R m \to R k$ satisfacer la regla de la cadena, ${displaystyle mathbf {J} _{mathbf {g} circ mathbf {f} }(mathbf {x})=mathbf {J} _{mathbf {g} }(mathbf {f} (mathbf {x}))mathbf {J} _{mathbf {f} }(mathbf {x})}$ para $x$ dentro $R n$ .

El jacobiano del gradiente de una función escalar de varias variables tiene un nombre especial: matriz hessiana, que en cierto sentido es la "segunda derivada" de la función en cuestión.

Determinante jacobiano

Un mapa no lineal

{displaystyle fcolon mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ^{2}}

envía un pequeño cuadrado (izquierda, en rojo) a un paralelograma distorsionado (derecha, en rojo). El jacobino en un punto da la mejor aproximación lineal del paraleograma distorsionado cerca de ese punto (derecha, en blanco traslúcido), y el determinante jacobino da la relación del área del paralelogramo aproximado a la de la plaza original.

Si $m = n$ , entonces $f$ es una función de $R n$ a sí misma y a la matriz jacobiana es una matriz cuadrada. Entonces podemos formar su determinante, conocido como determinante jacobiano. El determinante jacobiano a veces se denomina simplemente "el jacobiano".

El determinante jacobiano en un punto dado brinda información importante sobre el comportamiento de $f$ cerca de ese punto. Por ejemplo, la función continuamente diferenciable $f$ es invertible cerca de un punto $p \in R n$ si el determinante jacobiano en $p$ es distinto de cero. Este es el teorema de la función inversa. Además, si el determinante jacobiano en $p$ es positivo, entonces $f$ conserva la orientación cerca de $p$ ; si es negativo, $f$ invierte la orientación. El valor absoluto del determinante jacobiano en $p$ nos da el factor por el cual la función $f$ expande o reduce volúmenes cerca de $p$ ; por eso ocurre en la regla general de sustitución.

El determinante jacobiano se utiliza al realizar un cambio de variables al evaluar una integral múltiple de una función sobre una región dentro de su dominio. Para adaptarse al cambio de coordenadas, la magnitud del determinante jacobiano surge como un factor multiplicativo dentro de la integral. Esto se debe a que el elemento $n$ -dimensional $dV$ es en general un paralelepípedo en el nuevo sistema de coordenadas, y el volumen $n$ de un paralelepípedo es el determinante de sus vectores de borde.

El jacobiano también se puede usar para determinar la estabilidad de los equilibrios para sistemas de ecuaciones diferenciales aproximando el comportamiento cerca de un punto de equilibrio.

Inversa

Según el teorema de la función inversa, la matriz inversa de la matriz jacobiana de una función invertible es la matriz jacobiana de la función inversa. Es decir, si el jacobiano de la función $f : R n \to R n$ es continua y no singular en el punto $p$ en $R n$ , luego $f$ es invertible cuando se restringe a algún vecindario de $p$ y

{displaystyle mathbf {J} _{mathbf {f} ^{-1}}={mathbf {J} _{mathbf {f} }}^{-1}.}

En otras palabras, si el determinante jacobiano no es cero en un punto, entonces la función es localmente invertible cerca de este punto, es decir, hay una vecindad de este punto en la que la función es invertible

La conjetura jacobiana (no probada) está relacionada con la invertibilidad global en el caso de una función polinomial, que es una función definida por n polinomios en n variables. Afirma que, si el determinante jacobiano es una constante distinta de cero (o, de manera equivalente, que no tiene ningún cero complejo), entonces la función es invertible y su inversa es una función polinomial.

Puntos críticos

Si $f : R n \to R m$ es una función diferenciable, un punto crítico de $f$ es un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Esto significa que el rango en el punto crítico es más bajo que el rango en algún punto vecino. En otras palabras, sea $k$ la dimensión máxima de las bolas abiertas contenidas en la imagen de $f$ ; entonces un punto es crítico si todos los menores de rango $k$ de $f$ son cero.

En el caso de que $m = n = k$ , un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función $f : R 2 \to R 2,$ con $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y)),$ dado por

{displaystyle mathbf {f} left({begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}right)={begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\f_{2}(x,y)end{bmatrix}}={begin{bmatrix}x^{2}y\5x+sin yend{bmatrix}}.}

Entonces tenemos

f_{1}(x,y)=x^{2}y

f_{2}(x,y)=5x+sin y

y la matriz jacobiana de $f$ es

mathbf {J} _{mathbf {f} }(x,y)={begin{bmatrix}{dfrac {partial f_{1}}{partial x}}&{dfrac {partial f_{1}}{partial y}}\[1em]{dfrac {partial f_{2}}{partial x}}&{dfrac {partial f_{2}}{partial y}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}2xy&x^{2}\5&cos yend{bmatrix}}

y el determinante jacobiano es

det(mathbf {J} _{mathbf {f} }(x,y))=2xycos y-5x^{2}.

Ejemplo 2: transformación cartesiana polar

La transformación de coordenadas polares $(r, φ)$ a coordenadas cartesianas (x, y), está dada por la función $F : R + \times [0, 2 π) \to R 2$ con componentes:

{begin{aligned}x&=rcos varphi;\y&=rsin varphi.end{aligned}}

{displaystyle mathbf {J} _{mathbf {F} }(r,varphi)={begin{bmatrix}{dfrac {partial x}{partial r}}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}\[1em]{dfrac {partial y}{partial r}}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos varphi &-rsin varphi \sin varphi &rcos varphi end{bmatrix}}}

El determinante jacobiano es igual a $r$ . Esto se puede utilizar para transformar integrales entre los dos sistemas de coordenadas:

{displaystyle iint _{mathbf {F} (A)}f(x,y),dx,dy=iint _{A}f(rcos varphirsin varphi),r,dr,dvarphi.}

Ejemplo 3: transformación esférica-cartesiana

(feminine)

La transformación de coordenadas esféricas $(ρ, φ, θ)$ a cartesianas coordenadas (x, y, z), está dada por la función $F : R + \times [0, π) \times [0, 2 π) \to R 3$ con componentes:

{displaystyle {begin{aligned}x&=rho sin varphi cos theta;\y&=rho sin varphi sin theta;\z&=rho cos varphi.end{aligned}}}

La matriz jacobiana para este cambio de coordenadas es

{displaystyle mathbf {J} _{mathbf {F} }(rhovarphitheta)={begin{bmatrix}{dfrac {partial x}{partial rho }}&{dfrac {partial x}{partial varphi }}&{dfrac {partial x}{partial theta }}\[1em]{dfrac {partial y}{partial rho }}&{dfrac {partial y}{partial varphi }}&{dfrac {partial y}{partial theta }}\[1em]{dfrac {partial z}{partial rho }}&{dfrac {partial z}{partial varphi }}&{dfrac {partial z}{partial theta }}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}sin varphi cos theta &rho cos varphi cos theta &-rho sin varphi sin theta \sin varphi sin theta &rho cos varphi sin theta &rho sin varphi cos theta \cos varphi &-rho sin varphi &0end{bmatrix}}.}

El determinante es $ρ 2 sin φ$ . Dado que $dV = dx dy dz$ es el volumen para un elemento de volumen diferencial rectangular (porque el volumen de un prisma rectangular es el producto de sus lados), podemos interpretar $dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ$ como el volumen de la esfera elemento de volumen diferencial. A diferencia del volumen del elemento de volumen diferencial rectangular, el volumen de este elemento de volumen diferencial no es una constante y varía con las coordenadas ( $ρ$ y $φ$ ). Se puede utilizar para transformar integrales entre los dos sistemas de coordenadas:

{displaystyle iiint _{mathbf {F} (U)}f(x,y,z),dx,dy,dz=iiint _{U}f(rho sin varphi cos thetarho sin varphi sin thetarho cos varphi),rho ^{2}sin varphi ,drho ,dvarphi ,dtheta.}

Ejemplo 4

La matriz jacobiana de la función $F : R 3 \to R 4$ con componentes

{begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\y_{2}&=5x_{3}\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\y_{4}&=x_{3}sin x_{1}end{aligned}}

mathbf {J} _{mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={begin{bmatrix}{dfrac {partial y_{1}}{partial x_{1}}}&{dfrac {partial y_{1}}{partial x_{2}}}&{dfrac {partial y_{1}}{partial x_{3}}}\[1em]{dfrac {partial y_{2}}{partial x_{1}}}&{dfrac {partial y_{2}}{partial x_{2}}}&{dfrac {partial y_{2}}{partial x_{3}}}\[1em]{dfrac {partial y_{3}}{partial x_{1}}}&{dfrac {partial y_{3}}{partial x_{2}}}&{dfrac {partial y_{3}}{partial x_{3}}}\[1em]{dfrac {partial y_{4}}{partial x_{1}}}&{dfrac {partial y_{4}}{partial x_{2}}}&{dfrac {partial y_{4}}{partial x_{3}}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0&0\0&0&5\0&8x_{2}&-2\x_{3}cos x_{1}&0&sin x_{1}end{bmatrix}}.

Este ejemplo muestra que la matriz jacobiana no necesita ser una matriz cuadrada.

Ejemplo 5

El determinante jacobiano de la función $F : R 3 \to R 3$ con componentes

{begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2sin(x_{2}x_{3})\y_{3}&=x_{2}x_{3}end{aligned}}

{begin{vmatrix}0&5&0\8x_{1}&-2x_{3}cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}cos(x_{2}x_{3})\0&x_{3}&x_{2}end{vmatrix}}=-8x_{1}{begin{vmatrix}5&0\x_{3}&x_{2}end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.

De esto vemos que $F$ invierte la orientación cerca de aquellos puntos donde $x 1$ y $x 2$ tienen el mismo signo; la función es localmente invertible en todas partes excepto en los puntos cercanos donde $x 1 = 0$ o $x 2 = 0$ . Intuitivamente, si uno comienza con un objeto pequeño alrededor del punto $(1, 2, 3)$ y aplica $F$ a ese objeto, se obtendrá un objeto resultante con aproximadamente $40 \times 1 \times 2 = 80$ veces el volumen del original, con la orientación invertida.

Otros usos

Regresión y ajuste de mínimos cuadrados

El jacobiano sirve como matriz de diseño linealizado en regresión estadística y ajuste de curvas; ver mínimos cuadrados no lineales. El jacobiano también se utiliza en diagnósticos estadísticos y de sensibilidad local.

Sistemas dinámicos

Considere un sistema dinámico de la forma ${dot {{mathbf {x}}}}=F({mathbf {x}})$ , donde ${dot {{mathbf {x}}}}$ es el derivado (componente-wise) de $mathbf {x}$ con respecto al parámetro evolución $t$ (tiempo) y ${displaystyle Fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}$ es diferente. Si ${displaystyle F(mathbf {x} _{0})=0}$ , entonces $mathbf{x}_{0}$ es un punto estacionario (también llamado estado estable). Por el teorema Hartman-Grobman, el comportamiento del sistema cerca de un punto estacionario está relacionado con los valores eigenados ${displaystyle mathbf {J} _{F}left(mathbf {x} _{0}right)}$ , el Jacobiano de $F$ en el punto estacionario. Específicamente, si todos los eigenvalues tienen partes reales que son negativas, entonces el sistema es estable cerca del punto estacionario, si cualquier eigenvalue tiene una parte real que es positiva, entonces el punto es inestable. Si la mayor parte real de los eigenvalues es cero, la matriz jacobina no permite una evaluación de la estabilidad. En el contexto de la dinámica de la red, el comportamiento de punto fijo del sistema puede derivarse del conjunto dinámico de Jacobian. Esta familia de Jacobianos vincula a $i,j$ términos del Jacobiano a los grados de los nodos $i$ y $j$ en la red.

Método de Newton

Un sistema cuadrado de ecuaciones no lineales acopladas se puede resolver iterativamente mediante el método de Newton. Este método utiliza la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones.

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