Matriz involutiva

En matemáticas, un matriz involutiva es una matriz cuadrada que es su propio inverso. Es decir, multiplicación por la matriz ${\displaystyle {\mathbf {}_{n\times No.$ es una involución si y sólo si ${\displaystyle {\mathbf {} {\cH00} {\fnMitbf {}}}$ Donde ${\displaystyle {\mhbf}}$ es ${\displaystyle n\times n}$ matriz de identidad. Las matrices involutivas son todas las raíces cuadradas de la matriz de identidad. Esto es consecuencia del hecho de que cualquier matriz invertible multiplicada por su inverso es la identidad.

El ${\displaystyle 2\times 2}$ matriz real ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a âTMa âTMa âTMa âTMa\end{pmatrix}}$ is involutory provided that ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

Las matrices Pauli ⁠${\displaystyle M(2,\mathbb {C}$⁠ son involutivos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

Una de las tres clases de matrices elementales es involutiva, a saber, la matriz elemental de intercambio de filas. Un caso especial de otra clase de matriz elemental, la que representa la multiplicación de una fila o columna por −1, también es involutiva; de hecho, es un ejemplo trivial de una matriz de signatura, todas las cuales son involutivas.

A continuación se muestran algunos ejemplos sencillos de matrices involutivas.

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1 ventaja0\0 reducida1 tendría0\0] {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1 limit0}\0}\0\0}\mthbf {R} ={\begin{pmatrix}1 ventaja0\0 contornilla1\0 contornunció0\end{pmatrix}}; {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1 tendrían una relación0\0}\0}\mthbf {S} ={\begin{pmatrix}+1 tendrían una relación0\0 con una relación0\0 con un punto de vista de la situación. {S} {\0}={\begin{pmatrix}+1⁄0}}\0 {\0}}\0}\0}\0}}}$$Donde

• I es la matriz de identidad 3 × 3 (que es trivialmente involutoria);
• R es la matriz de identidad 3 × 3 con un par de filas intercambiadas;
• S es una matriz de firma.

Cualquier matriz diagonal de bloques construida a partir de matrices involutivas también será involutiva, como consecuencia de la independencia lineal de los bloques.

Una matriz involutiva que también es simétrica es una matriz ortogonal y, por lo tanto, representa una isometría (una transformación lineal que preserva la distancia euclidiana). A la inversa, toda matriz involutiva ortogonal es simétrica. Como caso especial de esto, toda matriz de reflexión y rotación de 180° es involutiva.

Una involución no es defectuosa, y cada eigenvalue igual ${\displaystyle \pm 1}$, por lo que una involución diagonaliza a una matriz de firma.

Una involución normal es hermítica (compleja) o simétrica (real) y también unitaria (compleja) u ortogonal (real).

El determinante de una matriz involutiva sobre cualquier cuerpo es ±1.

Si A es un n×n matriz, entonces A es involutivo si y sólo si ${\displaystyle {\mathbf {}_{+}= {\\\\\fnMithbf {}}+{\mthbf {}}}} {}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}$ es idempotente. Esta relación da una bijeción entre matrices involutorias y matrices idempotentes. Análogamente, A es involutivo si y sólo si ${\displaystyle {\mathbf {}_{-}=({\mathbf {}-{\mathbf {A})/2}$ es idempotente. Estos dos operadores forman las proyecciones simétricas y antisimétricas ${\displaystyle v_{\pm }={\mathbf {P}_{\pm}v}$ de un vector ${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}$ respecto a la involución A, en el sentido de ${\fnMicrosoft}v_{\fff00} }=\pm v_{\pm }$o ${\displaystyle {\Mathbf}_{\pm }=\pm {\mathbf {P}_{\pm}$. El mismo constructo se aplica a cualquier función involutoria, como el complejo conjugado (partes reales e imaginarias), el transpose (mátricas simétricas y antisimétricas), y el adjo hermitiano (mátricas hermitianas y escépticas).

Si A es una matriz involutoria en ⁠${\displaystyle M(n,\mathbb {R}),}$⁠ que es un álgebra matriz sobre los números reales, y A no es un escalar múltiple de I, entonces el subalgebra ${\displaystyle \{x{\mathbf {I}+y {\fnMitbf} {A}:xy\in \mathbb {R}}$ generados por A es isomorfo a los números de compartimento de división.

Si A y B son dos matrices involutivas que conmutan entre sí (es decir, AB = BA), entonces AB también es involutiva.

Si A es una matriz involutiva, entonces toda potencia entera de A es involutiva. De hecho, Aⁿ será igual a A si n es impar y I si n es par.

• Affine involution