Matriz de transferencia

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En matemáticas aplicadas, la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de bloques de Toeplitz de la ecuación de dos escalas, que caracteriza a las funciones refinables. Las funciones refinables desempeñan un papel importante en la teoría de wavelets y la teoría de elementos finitos.

Para la máscara $h$ , que es un vector con índices de componentes de $a$ a $b$ , la matriz de transferencia $h$ , lo llamamos $T_{h$ aquí, se define como

(T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot J-K

Más verbosamente

{\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a} tendrían una relación reducida\\h_{a+2} limith_{a+1} limith_{a}cl\\h_{a+4} limith_{a+3} {h_{a+2} limith_{a+1} {h_{a} {a} {ddots} 'ddots &\ddots > 'ddots > {b-2} {b-3} {h_{b-4}\\\\\\c}\\\\\\c}\\\c\c\c} {b}duch_{b-1} {h_ {b-2}\\\\\\\\\cH00}\\\\\\cH00}\c\cH00}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\cH3\cH3\\cH3\cH3\cH3\\cH3\cH00}\cH3\\cH3\\\\cH3\\\\\\\\\c}}}\\\\\\\\\cH3}\cH3\\\\\\\\\\cH3\cH3\cH3}}\\\\\cH3}}\\\\\\\\\\\cH3\\\\cH3}}\\\\\\c

El efecto de $T_{h$ se puede expresar en términos del operador de downsampling " $\downarrow$ "

T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.

Propiedades

$T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h$ .
Si usted deja caer la primera y la última columna y mueve las columnas de índice impar a la izquierda y las columnas de índice uniforme a la derecha, entonces usted obtiene una matriz de Sylvester transpuesto.
El determinante de una matriz de transferencia es esencialmente un resultado.
Más precisamente:
Vamos. $h_{\mathrm {}$ ser los coeficientes incluso indexados de $h$ () $(h_{\mathrm {e})_{k}=h_{2k$ ) y dejar $h_{\mathrm}$ ser los coeficientes de índice impar de $h$ () $(h_{\mathrm {o}$ ).
Entonces... $\det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e},h_{\mathrm {o})}$ , donde $\mathrm {res$ es el resultado.
Esta conexión permite una rápida computación usando el algoritmo de Euclidean.
Para el trazo de la matriz de transferencia de máscaras convolvidas sostiene
$\mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h$
Para el determinante de la matriz de transferencia de máscara convolvida sostiene
$\det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-}h)$
Donde $g_{-}$ denota la máscara con signos alternantes, es decir, $(g_{-})_{k}=(-1)}\cdot g_{k}$ .
Si $T_{h}\cdot x=0$ Entonces $T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0$ .
Esta es una concreción de la propiedad determinante arriba. De la propiedad determinante uno sabe que $T_{g*h$ es singular siempre $T_{h$ es singular. Esta propiedad también cuenta, cómo vectores del espacio nulo de $T_{h$ se puede convertir en vectores de espacio nulo de $T_{g*h$ .
Si $x$ es un eigenvector de $T_{h$ con respecto al eigenvalue $\lambda$ , es decir.
$T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x$ ,
entonces $x*(1,-1)$ es un eigenvector de $T_{h*(1,1)}$ con respecto al mismo eigenvalue, es decir,
$T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1)=\lambda \cdot (x*(1,-1)$ .
Vamos. ${\displaystyle \lambda _{a},\dots\lambda ¿Qué?$ ser los eigenvalues de $T_{h$ , lo que implica ${\displaystyle \lambda ¿Qué? +\lambda ¿Qué?$ y más generalmente ${\displaystyle \lambda ¿Qué? +\lambda ¿Qué?$ . Esta suma es útil para estimar el radio espectral de $T_{h$ . Hay una posibilidad alternativa para calcular la suma de los poderes eigenvalue, que es más rápida para los pequeños $n$ .
Vamos. ${\displaystyle C_{k}h$ por el período $h$ con respecto al período $2^{k}-1$ . Eso es ${\displaystyle C_{k}h$ es un filtro circular, lo que significa que los índices de componentes son clases de residuos con respecto al módulo $2^{k}-1$ . Luego con el operador de upsampling $\uparrow$ que sostiene
$\mathrm {tr} (T_{h} {n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h}h\uparrow 2^n-1}{0} {0} {0}}}}} {\c} {\c}}}}}} {\c}}}}}} {\c}}}} {\c}}}}h}h}} {\cdot}h}}}}}}}}h}h}h} {\c}}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h} {\cdotr} {\cdotr} {\cdotr}h}h}h}h}h$
En realidad no $n-2$ las convoluciones son necesarias, pero sólo $2\cdot \log _{2}n$ cuando se aplica la estrategia de una computación eficiente de poderes. Aún más, el enfoque puede ser más desarrollado utilizando la transformación Fast Fourier.
De la declaración anterior podemos obtener una estimación del radio espectral $\varrho (T_{h})$ . Tiene
$\varrho (T_{h})\geq {\frac}{\sqrt {\#h}}\gq {\fnK} {\fnh}} {\fnh}} {\fnh}} {\fnh}} {\fn}} {\fnh}}}}} {\fnh}}} {\fnh}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\fnh}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
Donde ${\displaystyle\#h}$ es el tamaño del filtro y si todos los eigenvalues son reales, también es cierto que
$\varrho (T_{h})\leq a$ ,
Donde $a=\Vert C_{2}h\Vert _{2$ .

Véase también

Hurwitz determinante

Referencias

Strang, Gilbert (1996). "Eigenvalues of $(\downarrow 2) {H$ y convergencia del algoritmo de cascada". Transacciones IEEE en el procesamiento de señales. 44: 233–238. doi:10.1109/78.485920.
Thielemann, Henning (2006). Modas óptimamente igualadas (tesis PhD). (contiene pruebas de las propiedades anteriores)

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