Matriz de Toeplitz

En álgebra lineal, una matriz de Toeplitz o matriz de constantes diagonales, llamada así por Otto Toeplitz, es una matriz en la que cada diagonal descendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz de Toeplitz:

[abcdefabcdgfabchgfabihgfa].{displaystyle qquad {begin{bmatrix}a tendrían un problemab tendrían una relación \f tendrían un problemac correspondd\g.

Cualquier n× × n{displaystyle ntimes n} matriz A{displaystyle A} de la forma

A=[a0a− − 1a− − 2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a− − ()n− − 1)a1a0a− − 1⋱ ⋱ ⋮ ⋮ a2a1⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a− − 1a− − 2⋮ ⋮ ⋱ ⋱ a1a0a− − 1an− − 1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a2a1a0]{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{0} limita_{-1} limita_{-2} limitcdots &cdots > {-(n-1)}a_{1} limita_{0} limita_{-1} limitddots 'vdots \a_{2} limita_{1} limitddots &ddots &ddots &vdots \vdots &ddots &ddots ' ddots ' {-1} limita_{-2}\vdots > {0}a_{1}}a_{1}a_{n-1} {cdots > {2}}}} {0}end{bmatrix}}}}

es un Toeplitz matriz. Si i,j{displaystyle i,j} elemento A{displaystyle A} es denotado Ai,j{displaystyle A_{i,j} entonces tenemos

Ai,j=Ai+1,j+1=ai− − j.{displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}

Una matriz Toeplitz no es necesariamente cuadrada.

Resolviendo un sistema Toeplitz

Una ecuación matricial de la forma

Ax=b{displaystyle Ax=b

se llama Toeplitz system si A{displaystyle A} es una matriz de Toeplitz. Si A{displaystyle A} es un n× × n{displaystyle ntimes n} matriz de Toeplitz, entonces el sistema sólo tiene 2n− − 1{displaystyle 2n-1} valores únicos, en lugar de n2{displaystyle n^{2}. Por lo tanto, podríamos esperar que la solución de un sistema Toeplitz sea más fácil, y de hecho ese es el caso.

Los sistemas de Toeplitz pueden ser resueltos por el algoritmo de Levinson en O()n2){displaystyle O(n^{2}} tiempo. Las variables de este algoritmo han demostrado ser débilmente estables (es decir, presentan estabilidad numérica para sistemas lineales bien acondicionados). El algoritmo también se puede utilizar para encontrar el determinante de una matriz de Toeplitz en O()n2){displaystyle O(n^{2}} tiempo.

Una matriz de Toeplitz también puede ser descompuesta (es decir, factorizada) en O()n2){displaystyle O(n^{2}} tiempo. El algoritmo Bareiss para una descomposición LU es estable. Una descomposición LU da un método rápido para resolver un sistema Toeplitz, y también para calcular el determinante.

En la literatura se han descrito algoritmos que son asintóticamente más rápidos que los de Bareiss y Levinson, pero no se puede confiar en su precisión.

Propiedades generales

• An n× × n{displaystyle ntimes n} La matriz de toeplitz puede definirse como una matriz A{displaystyle A} Donde Ai,j=ci− − j{displaystyle A_{i,j}=c_{i-j}, para constantes c1− − n,...... ,cn− − 1{displaystyle c_{1-n},ldotsc_{n-1}. El conjunto de n× × n{displaystyle ntimes n} Toeplitz matrices es un subespacio del espacio vectorial de n× × n{displaystyle ntimes n} matrices (bajo adición de matriz y multiplicación de escalar).
• Dos matrices Toeplitz se pueden añadir en O()n){displaystyle O(n)} tiempo (por almacenar sólo un valor de cada diagonal) y multiplicado en O()n2){displaystyle O(n^{2}} tiempo.
• Las matrices de toeplitz son persimétricas. Las matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosmétricas como bimmétricas.
• Las matrices de Toeplitz también están estrechamente conectadas con la serie Fourier, porque el operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico, comprimido a un espacio finito-dimensional, puede ser representado por tal matriz. Del mismo modo, se puede representar la convolución lineal como multiplicación por una matriz de Toeplitz.
• Toeplitz matrices comute asintoticamente. Esto significa que diagonalizan en la misma base cuando la dimensión de fila y columna tiende a la infinidad.

• Para matrices simétricas de Toeplitz, hay la descomposición

1a0A=GGT− − ()G− − I)()G− − I)T{fnMicroc} A=GG^{fone {T}-(G-I)(G-I)^{operatorname {T}

Donde G{displaystyle G. es la parte triangular inferior 1a0A{fnMicroc} {1}{a_{0}A}.

• El inverso de una matriz de Toeplitz simétrica no esingular tiene la representación

A− − 1=1α α 0()BBT− − CCT){displaystyle A^{-1}={frac {1}{alpha ¿Por qué? {T}-CC^{fnMiembro {T})}

Donde B{displaystyle B} y C{displaystyle C} son matrices triangulares inferiores Toeplitz y C{displaystyle C} es una matriz triangular estrictamente inferior.

Convolución discreta

La operación de convolución se puede construir como una multiplicación de matriz, donde una de las entradas se convierte en una matriz de Toeplitz. Por ejemplo, la revolución h{displaystyle h} y x{displaystyle x} puede formularse como:

Sí.=hAlternativa Alternativa x=[h10⋯ ⋯ 00h2h1⋮ ⋮ ⋮ ⋮ h3h2⋯ ⋯ 00⋮ ⋮ h3⋯ ⋯ h10hm− − 1⋮ ⋮ ⋱ ⋱ h2h1hmhm− − 1⋮ ⋮ h20hm⋱ ⋱ hm− − 2⋮ ⋮ 00⋯ ⋯ hm− − 1hm− − 2⋮ ⋮ ⋮ ⋮ hmhm− − 1000⋯ ⋯ hm][x1x2x3⋮ ⋮ xn]{displaystyle y=hast x={begin{bmatrix}h_{1} {0cdots > > \h_{3} limitadah_{2} limitcdots &0 limit0\vdots &h_{3} limitcdots {1} {0h_{m-1} {vdots {m-1} diezmo vdots ### {2} âTMa âTMa âTMa âTMa ################################################################################################################################################################################################################################################################ {m-1} {m-2}\\vdots > } {m} {m-1} Pulso0 ventaja0cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}

Sí.T=[h1h2h3⋯ ⋯ hm− − 1hm][x1x2x3⋯ ⋯ xn000⋯ ⋯ 00x1x2x3⋯ ⋯ xn00⋯ ⋯ 000x1x2x3...... xn0⋯ ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0⋯ ⋯ 00x1⋯ ⋯ xn− − 2xn− − 1xn00⋯ ⋯ 000x1⋯ ⋯ xn− − 2xn− − 1xn].{displaystyle Y# {T}={begin{bmatrix}h_{1} {2} {h_{3} âcdots {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cdots}. "0 unos pocos". > '0 limitadax_{1} limitx_{2} limitx_{3} limitldots &x_{n} limitada0cdots &0\vdots > 'vdots > 'vdots > 'vdots >...

Este enfoque se puede ampliar para calcular la autocorrelación, la correlación cruzada, la media móvil, etc.

Matriz Toeplitz infinita

Una matriz de Toeplitz biinfinito (es decir, entradas indexadas por Z× × Z{displaystyle mathbb {Z} times mathbb {Z}) A{displaystyle A} induce a un operador lineal en l l 2{displaystyle ell ^{2}.

A=[⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ a0a− − 1a− − 2a− − 3⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1a0a− − 1a− − 2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a2a1a0a− − 1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a3a2a1a0⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ].{displaystyle A={begin{bmatrix} limitvdots &vdots &vdots > \cdots &a_{0} limita_{-1} limita_{-2} dieza_{-3} limitcdots \cdots - ¿Qué? \cdots &a_{2} limita_{1} dieza_{0} limita_{-1} \cdots &a_{3} limita_{2} dieza_{1} limita_{0} \vdotsvdots &vdots &vdots end{bmatrix}}}

El operador inducido está atado si y sólo si los coeficientes de la matriz de Toeplitz A{displaystyle A} son los coeficientes Fourier de alguna función esencialmente atada f{displaystyle f}.

En esos casos, f{displaystyle f} se llama símbolo de la matriz de Toeplitz A{displaystyle A}, y la norma espectral de la matriz de Toeplitz A{displaystyle A} coincide con el LJUEGO JUEGO {displaystyle L^{infty} norma de su símbolo. La prueba es fácil de establecer y se puede encontrar como Teorema 1.1 de: