Matriz de rotación

En álgebra lineal, una matriz de rotación es una matriz de transformación que se utiliza para realizar una rotación en el espacio euclidiano. Por ejemplo, usando la convención siguiente, la matriz

${displaystyle R={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{bmatrix}}}$

gira puntos en el plano xy en sentido antihorario formando un ángulo θ sobre el origen de un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional. Para realizar la rotación en un punto plano con coordenadas estándar v = (x, y), debe escribirse como un vector de columna y multiplicarse por la matriz R:

${displaystyle Rmathbf {v} ={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta >cos theta end{bmatrix} {begin{bmatrix}xyend{bmatrix}={begin{bmatrix}xcos theta -ysin theta \xsin theta +ycos theta end{bmatrix}}$

Si x y y< /span> son las coordenadas del punto final de un vector, donde x es coseno y y es seno, entonces las ecuaciones anteriores se convierten en fórmulas trigonométricas de suma de ángulos. De hecho, una matriz de rotación puede verse como las fórmulas trigonométricas de suma de ángulos en forma matricial. Una forma de entender esto es decir que tenemos un vector en un ángulo de 30° desde el eje x y deseamos rotarlo. ese ángulo otros 45°. Simplemente necesitamos calcular las coordenadas del punto final del vector a 75°.

Los ejemplos de este artículo se aplican a rotaciones activas de vectores en sentido antihorario en un sistema de coordenadas diestro (y en sentido antihorario desde x) por pre -multiplicación (R a la izquierda). Si se cambia alguno de estos (como girar ejes en lugar de vectores, una transformación pasiva), entonces se debe usar la inversa de la matriz de ejemplo, que coincide con su transpuesta.

Dado que la multiplicación de matrices no tiene efecto sobre el vector cero (las coordenadas del origen), las matrices de rotación describen rotaciones alrededor del origen. Las matrices de rotación proporcionan una descripción algebraica de dichas rotaciones y se utilizan ampliamente para cálculos en geometría, física y gráficos por computadora. En alguna literatura, el término rotación se generaliza para incluir rotaciones impropias, caracterizadas por matrices ortogonales con un determinante de −1 (en lugar de +1). Estos combinan rotaciones adecuadas con reflejos (que invierten la orientación). En otros casos, cuando no se consideran los reflejos, se puede eliminar la etiqueta adecuada. En este artículo se sigue esta última convención.

Las matrices de rotación son matrices cuadradas, con entradas reales. Más específicamente, se pueden caracterizar como matrices ortogonales con determinante 1; es decir, una matriz cuadrada R es una matriz de rotación si y sólo si R ^T = R⁻¹ y det R = 1 . El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño n con determinante +1 es una representación de un grupo conocido como grupo ortogonal especial SO(n), un ejemplo del cual es el grupo de rotación SO(3). El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño n con determinante +1 o −1 es una representación del grupo ortogonal (general) < abarcan clase="texhtml">O(n).

En dos dimensiones

En dos dimensiones, la matriz de rotación estándar tiene la siguiente forma:

${displaystyle R(theta)={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta\end{bmatrix}}}$

Esto rota los vectores de columna mediante la siguiente multiplicación de matrices,

${fnMicrosoft Sans Serif}={begin{bmatrix}cos} theta &-sin theta \sin theta &cos theta \end{bmatrix} {begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}}}$

Así, las nuevas coordenadas ()x′, Sí.′) de un punto ()x, Sí.) después de la rotación

${displaystyle {begin{aligned}x' limit=xcos theta -ysin theta ,\y' demandante=xsin theta +ycos theta ,end{aligned}}}$

Ejemplos

Por ejemplo, cuando el vector

${displaystyle mathbf {x}={begin{bmatrix}1$