Matriz de permutación generalizada

En matemáticas, una matriz de permutación generalizada (o matriz monomio) es una matriz con el mismo patrón distinto de cero que una matriz de permutación, es decir, hay exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y cada columna. A diferencia de una matriz de permutación, donde la entrada distinta de cero debe ser 1, en una matriz de permutación generalizada la entrada distinta de cero puede ser cualquier valor distinto de cero. Un ejemplo de una matriz de permutación generalizada es

[00300− − 70010000002].{fnMicrosoft {fncip {fncip {bmatrix}0}0}0 {2}end{bmatrix}}}

Estructura

Una matriz invertible A es una matriz de permutación generalizada si y solo si puede escribirse como un producto de una matriz diagonal invertible D y una permutación (implícitamente invertible) matriz P: es decir,

A=DP.{displaystyle A=DP.}

Estructura del grupo

El conjunto de matrices de permutación generalizada n × n con entradas en un campo F forma un subgrupo del grupo lineal general GL(n, F), en el que el grupo de matrices diagonales no singulares Δ(n, F) forma un subgrupo normal. De hecho, las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de las matrices diagonales, lo que significa que las matrices de permutación generalizadas son el subgrupo más grande de GL(n, F) en el que las matrices diagonales son normales.

El grupo abstracto de matrices de permutación generalizadas es el producto corona de F^× y S_n. Concretamente, esto significa que es el producto semidirecto de Δ(n, F) por el grupo simétrico S_n :

S_n ⋉ Δ(n, F),

donde S_n actúa permutando coordenadas y las matrices diagonales Δ(n, F ) son isomorfos al producto n veces (F^×)ⁿ.

Para ser precisos, las matrices de permutación generalizadas son una representación lineal (fiel) de este producto floral abstracto: una realización del grupo abstracto como un subgrupo de matrices.

Subgrupos

• El subgrupo donde todas las entradas son 1 es exactamente las matrices de permutación, que es isomorfo al grupo simétrico.
• El subgrupo donde todas las entradas son ±1 es las matrices de permutación firmadas, que es el grupo hiperoctaedral.
• El subgrupo donde están las entradas mlas raíces de la unidad μ μ m{displaystyle mu _{m} es isomorfo a un grupo simétrico generalizado.
• El subgrupo de matrices diagonales es abeliano, normal y un subgrupo abeliano maximal. El grupo cociente es el grupo simétrico, y esta construcción es de hecho el grupo Weyl del grupo lineal general: las matrices diagonales son un torus máximo en el grupo lineal general (y son su propio centralizador), las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de este toro, y el cociente, N()T)/Z()T)=N()T)/T.. Sn{displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/Tcong S_{n} es el grupo Weyl.

Propiedades

• Si una matriz no singular y su inverso son matrices no negativas (es decir, matrices con entradas no negativas), entonces la matriz es una matriz de permutación generalizada.
• El determinante de una matriz de permutación generalizada es dado por
  Det()G)=Det()P)⋅ ⋅ Det()D)=Sgn⁡ ⁡ ()π π )⋅ ⋅ d11⋅ ⋅ ...... ⋅ ⋅ dnn,{displaystyle det(G)=det(P)cdot det(D)=operatorname {sgn} (pi)cdot d_{11}cdot ldots cdot ♪♪

  
  Donde Sgn⁡ ⁡ ()π π ){displaystyle operatorname {sgn} (pi)} es el signo de la permutación π π {displaystyle pi} asociado con P{displaystyle P} y d11,...... ,dnn{displaystyle d_{11},ldotsd_{nn} son los elementos diagonales de D{displaystyle D}.

Generalizaciones

Se puede generalizar aún más al permitir que las entradas se encuentren en un anillo, en lugar de en un campo. En ese caso, si se requiere que las entradas distintas de cero sean unidades en el anillo, se obtiene nuevamente un grupo. Por otro lado, si solo se requiere que las entradas distintas de cero sean distintas de cero, pero no necesariamente invertibles, este conjunto de matrices forma un semigrupo.

Uno también puede permitir que las entradas de no cero queden en un grupo G, con el entendimiento de que la multiplicación de la matriz sólo implica multiplicar un solo par de elementos de grupo, no elementos de grupo "cerrar". Este es un abuso de notación, ya que el elemento de matrices que se multiplican debe permitir la multiplicación y la adición, pero es noción sugestiva para el grupo abstracto (formalmente correcto) G≀ ≀ Sn{displaystyle Gwr S_{n} (el producto de la corona del grupo G por el grupo simétrico).

Grupo de permutación firmado

Una matriz de permutación con signo es una matriz de permutación generalizada cuyas entradas distintas de cero son ±1, y son las matrices de permutación generalizadas enteras con entero inverso.

Propiedades

• Es el grupo Coxeter Bn{displaystyle B_{n}, y tiene orden 2nn!{displaystyle 2^ {n}n}.
• Es el grupo de simetría de la hipercube y (debidamente) del polítopo cruzado.
• Su subgrupo índice 2 de matrices con determinante igual a su permutación subyacente (sin firmar) es el grupo Coxeter Dn{displaystyle D_{n} y es el grupo de simetría de la demihipercuba.
• Es un subgrupo del grupo ortogonal.

Aplicaciones

Representaciones monomiales

Las matrices monomiales ocurren en la teoría de la representación en el contexto de las representaciones monomiales. Una representación monomio de un grupo G es una representación lineal ρ: G → GL(n , F) de G (aquí F es el campo definitorio de la representación) tal que la imagen ρ(G) es un subgrupo del grupo de matrices monomiales.