Matriz de identidad

En álgebra lineal, el matriz de identidad de tamaño n{displaystyle n} es n× × n{displaystyle ntimes n} matriz cuadrada con las principales diagonales y ceros en otras partes.

Terminología y notación

La matriz de identidad es a menudo denotada por In{displaystyle I_{n}, o simplemente por I{displaystyle Yo... si el tamaño es inmaterial o puede ser trivialmente determinado por el contexto.

I1=[1],I2=[1001],I3=[100010001],...... ,In=[100⋯ ⋯ 0010⋯ ⋯ 0001⋯ ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 000⋯ ⋯ 1].{displaystyle I_{1}={begin{bmatrix}1end{bmatrix} I_{2}={begin{bmatrix}1 ventaja0 tercer1end{bmatrix}} I_{3}={begin{bmatrix}1 tendrían una relación0 con una relación0 con un doble1end{bmatrix}}dots I_{n}={begin{bmatrix}1⁄0 curva0 limitcdots &0 igual1⁄4dots > recur0 limite1⁄4dots >vdots &vdots &vdots &ddots &vdots 'vdots \0 implica0 implica0 restante0 >

El término matriz ha sido ampliamente utilizado, pero el término matriz de identidad Ahora es estándar. El término matriz es ambiguo, porque también se utiliza para una matriz de los y para cualquier unidad de la anillo de todos n× × n{displaystyle ntimes n} matrices.

En algunos campos, como la teoría de grupos o la mecánica cuántica, la matriz de identidad es a veces denotada por una cara audaz, 1{displaystyle mathbf {1}, o llamado "id" (corte de identidad). Menos frecuentemente, algunos libros de matemáticas usan U{displaystyle U} o E{displaystyle E} para representar la matriz de identidad, de pie para la " matriz de unidad" y la palabra alemana Einheitsmatrix respectivamente.

En términos de una notación que a veces se usa para describir de manera concisa las matrices diagonales, la matriz identidad se puede escribir como

In=diag⁡ ⁡ ()1,1,...... ,1).{displaystyle I_{n}=operatorname {diag} (1,1,dots1).}

()In)ij=δ δ ij.{displaystyle (I_{n})_{ij}=delta _{ij}.

Propiedades

Cuando A{displaystyle A} es un m× × n{displaystyle mtimes n} matriz, es una propiedad de la multiplicación de matriz

ImA=AIn=A.{displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}

n× × n{displaystyle ntimes n}

GL()n){displaystyle GL(n)}

n× × n{displaystyle ntimes n}

Cuando n× × n{displaystyle ntimes n} matrices se utilizan para representar transformaciones lineales de una n{displaystyle n}-dimensional espacio vectorial para sí mismo, la matriz de identidad In{displaystyle I_{n} representa la función de identidad, por cualquier base que se haya utilizado en esta representación.

El i{displaystyle i}la columna de una matriz de identidad es el vector de unidad ei{displaystyle E_{i}, un vector cuyo i{displaystyle i}la entrada es 1 y 0 en otro lugar. El determinante de la matriz de identidad es 1, y su traza es n{displaystyle n}.

La matriz identidad es la única matriz idempotente con determinante distinto de cero. Es decir, es la única matriz tal que:

1. Cuando se multiplica por sí mismo, el resultado es en sí mismo
2. Todas sus filas y columnas son linealmente independientes.

La raíz cuadrada principal de una matriz identidad es ella misma, y esta es su única raíz cuadrada definida positiva. Sin embargo, toda matriz identidad con al menos dos filas y columnas tiene una infinidad de raíces cuadradas simétricas.

El rango de una matriz de identidad In{displaystyle I_{n} iguala el tamaño n{displaystyle n}, es decir:

rango⁡ ⁡ ()In)=n.{displaystyle operatorname {rank} (I_{n}=n.}