Matriz de Hilbert
En álgebra lineal, una matriz de Hilbert, introducida por Hilbert (1894), es una matriz cuadrada cuyas entradas son fracciones unitarias
- Hij=1i+j− − 1.{displaystyle H_{ij}={frac {1}{i+j-1}}
Por ejemplo, esta es la matriz de Hilbert de 5 × 5:
- H=[1121314151213141516131415161714151617181516171819].{displaystyle {0} {0} {0} {0}
La matriz de Hilbert se puede considerar derivada de la integral
- Hij=∫ ∫ 01xi+j− − 2dx,{displaystyle H_{ij}=int ¿Qué?
es decir, como una matriz Gramiana para potencias de x. Surge en la aproximación por mínimos cuadrados de funciones arbitrarias mediante polinomios.
Las matrices de Hilbert son ejemplos canónicos de matrices mal condicionadas, siendo notoriamente difíciles de usar en computación numérica. Por ejemplo, el número de condición de 2 normas de la matriz anterior es aproximadamente 4,8×105.
Nota histórica
Hilbert (1894) introdujo la matriz de Hilbert para estudiar la siguiente pregunta en la teoría de la aproximación: "Suponga que I = [a, b], es un intervalo real. ¿Es entonces posible encontrar un polinomio P distinto de cero con coeficientes enteros, tal que la integral
- ∫ ∫ abP()x)2dx{displaystyle int _{a} {b}P(x)}{2}dx}
es menor que cualquier límite dado ε > 0, tomado arbitrariamente pequeño?" Para responder a esta pregunta, Hilbert deriva una fórmula exacta para el determinante de las matrices de Hilbert e investiga sus asintóticas. Concluye que la respuesta a su pregunta es positiva si la longitud b − a del intervalo es menor que 4.
Propiedades
La matriz de Hilbert es simétrica y definida positiva. La matriz de Hilbert también es totalmente positiva (lo que significa que el determinante de cada submatriz es positivo).
La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel. También es un ejemplo específico de una matriz de Cauchy.
El determinante se puede expresar en forma cerrada, como un caso especial del determinante de Cauchy. El determinante de la matriz de Hilbert n × n es
- Det()H)=cn4c2n,{displaystyle det(H)={frac {c_{n}{4} {c_{2n}}}}
dónde
- cn=∏ ∏ i=1n− − 1in− − i=∏ ∏ i=1n− − 1i!.{displaystyle C_{n}=prod - ¿Qué? ¡No!
Hilbert ya mencionó el hecho curioso de que el determinante de la matriz de Hilbert es el recíproco de un número entero (ver secuencia OEIS: A005249 en el OEIS), que también se sigue de la identidad
- 1Det()H)=c2ncn4=n!⋅ ⋅ ∏ ∏ i=12n− − 1()i[i/2]).{displaystyle {frac}{det(H)}={frac ¡No! prod _{i=1} {2n-1}{binom {i}{ [i/2]}}}
![{displaystyle {frac {1}{det(H)}}={frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!cdot prod _{i=1}^{2n-1}{binom {i}{[i/2]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab0ad53c39b8920afa7d23c04e4fe3848717d1b)
Usando la aproximación del factorial de Stirling, se puede establecer el siguiente resultado asintótico:
- Det()H)♪ ♪ ann− − 1/4()2π π )n4− − n2,{displaystyle det(H)sim a_{n},n^{-1/4}(2pi)^{n},4^{-n^{2}}}
Donde an converge a la constante e1/421/12A− − 3.. 0.6450{displaystyle e^{1/4},2^{1/12},A^{-3}approx 0.6450} como n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nto infty }, donde A es la constante Glaisher-Kinkelin.
La inversa de la matriz de Hilbert se puede expresar en forma cerrada usando coeficientes binomiales; sus entradas son
- ()H− − 1)ij=()− − 1)i+j()i+j− − 1)()n+i− − 1n− − j)()n+j− − 1n− − i)()i+j− − 2i− − 1)2,{displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){binom {n+i-1}{n-j}{binom} {n+j-1}{n-i}{binom} {i+j-2}{i-1}} {2}}}
donde n es el orden de la matriz. De ello se deduce que las entradas de la matriz inversa son todos números enteros, y que los signos forman un patrón de tablero de ajedrez, siendo positivos en la diagonal principal. Por ejemplo,
- [1121314151213141516131415161714151617181516171819]− − 1=[25− − 3001050− − 1400630− − 3004800− − 1890026880− − 126001050− − 1890079380− − 11760056700− − 140026880− − 117600179200− − 88200630− − 1260056700− − 8820044100].{2} {0}
![{displaystyle {begin{bmatrix}1&{frac {1}{2}}&{frac {1}{3}}&{frac {1}{4}}&{frac {1}{5}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{3}}&{frac {1}{4}}&{frac {1}{5}}&{frac {1}{6}}\{frac {1}{3}}&{frac {1}{4}}&{frac {1}{5}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{7}}\{frac {1}{4}}&{frac {1}{5}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{7}}&{frac {1}{8}}\{frac {1}{5}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{7}}&{frac {1}{8}}&{frac {1}{9}}end{bmatrix}}^{-1}=left[{begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\-300&4800&-18900&26880&-12600\1050&-18900&79380&-117600&56700\-1400&26880&-117600&179200&-88200\630&-12600&56700&-88200&44100end{array}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0db7910b1f379d8aac4f4272569a592125316d5)
El número de condición del n×n Hilbert matriz crece como O()()1+2)4n/n){displaystyle Oleft(1+{sqrt {2}right)^{4n}/{sqrt {n}right)}.
Aplicaciones
El método de momentos aplicado a distribuciones polinómicas da como resultado una matriz de Hankel, que en el caso especial de aproximar una distribución de probabilidad en el intervalo [0, 1] da como resultado una matriz de Hilbert. Esta matriz debe invertirse para obtener los parámetros de peso de la aproximación de distribución polinomial.