Matriz de gramos

En álgebra lineal, el Matriz de gramos (o Matriz gramiana, Gramian) de un conjunto de vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ en un espacio interior de producto es la matriz hermitiana de productos interiores, cuyas entradas son dadas por el producto interior ${displaystyle G_{ij}=leftlangle ¿Qué?$. Si los vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ son las columnas de la matriz ${displaystyle X}$ entonces la matriz de Gram ${displaystyle X^{dagger}X}$ en el caso general de que las coordenadas vectoriales son números complejos, que simplifica ${displaystyle X^{top }X}$ para el caso de que las coordenadas vectoriales son números reales.

Una aplicación importante es calcular la independencia lineal: un conjunto de vectores es linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram (el determinante de la matriz de Gram) es distinto de cero.

Lleva el nombre de Jørgen Pedersen Gram.

Ejemplos

Para vectores reales de dimensiones finitas en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ con el producto habitual de puntos Euclidesanos, la matriz Gram es ${displaystyle G=V^{top }V}$, donde ${displaystyle V}$ es una matriz cuyas columnas son los vectores ${displaystyle V_{k}$ y ${displaystyle V^{top }$ es su transpose cuyas filas son los vectores ${displaystyle ¿Qué?$. Para vectores complejos en ${displaystyle mathbb {C} {n}}$, ${displaystyle G=V^{dagger$, donde ${displaystyle V^{dagger}$ es la transposición conyugal ${displaystyle V}$.

Funciones cuadradas integradas ${displaystyle {ell _{i}(cdot),,i=1,dotsn}$ en el intervalo ${displaystyle left[t_{0},t_{f}right]$, la matriz Gram ${displaystyle G=left [G_{ij}right]$ es:

${displaystyle G_{ij}=int ¿Qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle ell _{i}} {tau)}$ es el complejo conjugado de ${displaystyle ell _{i}(tau)}$.

Para cualquier forma bilineal ${displaystyle B}$ en un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre cualquier campo podemos definir una matriz Gram ${displaystyle G.$ unido a un conjunto de vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ por ${displaystyle G_{ij}=Bleft(v_{i},v_{j}right)}$. La matriz será simétrica si la forma bilineal ${displaystyle B}$ es simétrico.

Aplicaciones

• En la geometría Riemanniana, dado un embebido ${displaystyle k}$-dimensional Manifold Riemanniano ${displaystyle Msubset mathbb {R} {fn}$ y una parametrización ${displaystyle phi:Uto M}$ para ${displaystyle (x_{1},ldotsx_{k})in Usubset mathbb {R} ^{k}$, el formulario de volumen ${displaystyle omega }$ on ${displaystyle M}$ induced by the embedding may be computedted using the Gramian of the coordinate tangent vectors:
  $${displaystyle omega ={sqrt {det G}dx_{1}cdots dx_{k},quad G=left[leftlangle {frac {partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft } {fnMicrosoft Sans Serif} - ¿Por qué?$$

  
  Esto generaliza la superficie clásica integral de una superficie parametrizada ${displaystyle phi:Uto Ssubset mathbb {R} ^{3}$ para ${displaystyle (x,y)in Usubset mathbb {R} ^{2}$:
  $${displaystyle int _{S}f dA=iint _{U}f(phi (x,y))),left{frac {partial phi }{partial x},{times },{frac {partial phi }{partial y}}}derecha,dx,displaystyle int.$$

  
• Si los vectores son variables aleatorias centradas, el Gramian es aproximadamente proporcional al matriz de covariancia, con el escalado determinado por el número de elementos en el vector.
• En la química cuántica, la matriz Gram de un conjunto de vectores de base es la matriz de superposición.
• En teoría de control (o teoría de sistemas más generalmente), la control Gramian y observabilidad Gramian determinar las propiedades de un sistema lineal.
• Las matrices gramianas surgen en el ajuste modelo de estructura de covariancia (por ejemplo, Jamshidian y Bentler, 1993, Medición Psicológica Aplicada, Volumen 18, págs. 79 a 94).
• En el método de elemento finito, la matriz Gram surge de aproximar una función de un espacio dimensional finito; las entradas de la matriz Gram son entonces los productos internos de las funciones de base del subespacio dimensional finito.
• En el aprendizaje automático, las funciones del núcleo a menudo se representan como matrices de gramos. (También vea el núcleo PCA)
• Dado que la matriz Gram sobre los reinos es una matriz simétrica, es diagonalizable y sus eigenvalues no son negativos. La diagonalización de la matriz Gram es la descomposición de valor singular.

Propiedades

Semidefinición positiva

La matriz de Gram es simétrica en el caso de que el producto real tenga valor real; es hermitiano en el caso general y complejo por definición de producto interno.

La matriz de Gram es semidefinida positiva y cada matriz semidefinida positiva es la matriz de Gramian para algún conjunto de vectores. El hecho de que la matriz de Gramian sea positiva-semidefinida se puede ver a partir de la siguiente derivación simple:

${displaystyle x^{dagger # Mathbf {G} x=sum ¿Por qué? ¿Qué? x_{i}v_{i},x_{j_{j}rightrangle = {biggl langle }sum ¿Qué? ¿Por qué? rangle }={biggl sufrimiento}sum ¿Qué? {2} 0.}$

La primera igualdad se deriva de la definición de multiplicación de matriz, la segunda y tercera de la bi-linearidad del producto interno, y la última de la definición positiva del producto interno. Tenga en cuenta que esto también muestra que la matriz gramiana es positiva definida si y sólo si los vectores ${displaystyle V_{i}$ son linealmente independientes (es decir, ${textstyle sum ¿Qué? 0}$ para todos ${displaystyle x}$).

Encontrar una realización vectorial

Dada cualquier matriz semidefinida positiva ${displaystyle M}$, uno puede descomponerlo como:

${displaystyle M=B^{dagger }B}$,

Donde ${displaystyle B^{dagger }$ es la transposición conyugal ${displaystyle B}$ (o ${displaystyle M=B^{textsf {T}B}$ en el caso real).

Aquí. ${displaystyle B}$ es un ${displaystyle ktimes n}$ matriz, donde ${displaystyle k}$ es el rango de ${displaystyle M}$. Varias maneras de obtener tal descomposición incluyen la computación de la descomposición de Cholesky o la toma de la raíz cuadrada no negativa ${displaystyle M}$.

Las columnas ${displaystyle b^{(1)},dotsb^{(n)}$ de ${displaystyle B}$ se puede ver como n vectores en ${displaystyle mathbb {C}$ (o k-dimensional Espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R} {cH00}$, en el caso real). Entonces...

${displaystyle M_{ij}=b^{(i)}cdot b^{(j)}$

donde el producto de punto ${textstyle acdot b=sum _{ell =1} {k}a_{ell } {}b_{ell }$ es el producto interno habitual en ${displaystyle mathbb {C}$.

Así una matriz hermitiana ${displaystyle M}$ es semidefinido positivo si y sólo si es la matriz Gram de algunos vectores ${displaystyle b^{(1)},dotsb^{(n)}$. Tales vectores se llaman un realización de vectores de ${displaystyle M}$. La analogía infinita de esta declaración es el teorema de Mercer.

Singularidad de las realizaciones vectoriales

Si ${displaystyle M}$ es la matriz Gram de vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ dentro ${displaystyle mathbb {R} {cH00}$ luego aplicar cualquier rotación o reflexión ${displaystyle mathbb {R} {cH00}$ (cualquier transformación ortogonal, es decir, cualquier isometría euclidiana preservando 0) a la secuencia de vectores resulta en la misma matriz de Gram. Eso es, para cualquier ${displaystyle ktimes k}$ matriz ortogonal ${displaystyle Q}$, la matriz de Gram ${displaystyle Qv_{1},dots Qv_{n}$ también ${displaystyle M}$.

Esta es la única manera en que dos realizaciones vectoriales reales de ${displaystyle M}$ puede diferir: los vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ son únicas hasta transformaciones ortogonales. En otras palabras, los productos de punto ${displaystyle v_{i}cdot v_{j}$ y ${displaystyle ¿Qué? ¿Qué?$ son iguales si y sólo si alguna transformación rígida ${displaystyle mathbb {R} {cH00}$ transforma los vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ a ${displaystyle ¿Qué?$ y 0 a 0.

Lo mismo ocurre en el caso complejo, con transformaciones unitarias en lugar de ortogonales. Es decir, si la matriz Gram de vectores ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ es igual a la matriz Gram de vectores ${displaystyle ¿Qué?$ dentro ${displaystyle mathbb {C}$ entonces hay una unidad ${displaystyle ktimes k}$ matriz ${displaystyle U}$ (que significa) ${displaystyle U^{dagger }U=I}$. ${displaystyle ¿Qué?$ para ${displaystyle i=1,dotsn}$.

Otras propiedades

• Porque... ${displaystyle G=G^{dagger }$, es necesariamente el caso de que ${displaystyle G.$ y ${displaystyle G^{dagger }$ Comute. Es decir, una matriz de Gram real o compleja ${displaystyle G.$ es también una matriz normal.
• La matriz Gramática de cualquier base ortonormal es la matriz de identidad. Equivalentemente, la matriz Gram de las filas o las columnas de una matriz de rotación real es la matriz de identidad. Asimismo, la matriz Gram de las filas o columnas de una matriz unitaria es la matriz de identidad.
• El rango de la matriz Gram de vectores en ${displaystyle mathbb {R} {cH00}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ iguala la dimensión del espacio abarcado por estos vectores.

Determinante de gramo

El determinante de Gram o Gramiano es el determinante de la matriz de Gram:

$${fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ v_{1},v_{1}rangle > v_{1},v_{2}rangle &dots > v_{1},v_{n}rangle \langle v_{2},v_{1}rangle > v_{2},v_{2}rangle >dots > v_{2},v_{n}rangle \vdots &vdots >vdots \\langle v_{n},v_{1}rangle &langle v_{n},v_{2}rangle >dots > v_{n},v_{n}rangle end{vmatrix}}$$

Si ${displaystyle v_{1},dotsv_{n}$ son vectores en ${displaystyle mathbb {R} {} {m}}$ entonces es el cuadrado de la n- volumen dimensional del paraleloótopo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el paraleópo tiene no cero n- volumen dimensional, si y sólo si el determinante Gram es no cero, si y sólo si la matriz Gram es no es lineal. Cuando m c) n el determinante y el volumen son cero. Cuando m = n, esto reduce al teorema estándar que el valor absoluto del determinante n n- vectores dimensionales es el n- volumen dimensional. El determinante Gram también es útil para calcular el volumen del simplex formado por los vectores; su volumen es Volumen(parallelotope) / n!.

El determinante de Gram también se puede expresar en términos del producto exterior de vectores por

${displaystyle {bigl }G(v_{1},dotsv_{n}{bigr Silencio}= tuv_{1}wedge cdots wedge v_{n} eterna^{2}$

Cuando los vectores ${displaystyle v_{1},ldotsv_{n}in "Mathbb"$ se definen desde las posiciones de los puntos ${displaystyle p_{1},ldotsp_{n}$ relativo a algún punto de referencia ${displaystyle P_{n+1}$,

$${displaystyle (v_{1},v_{2},ldotsv_{n}=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},ldotsp_{n}-p_{n+1}),}$$

entonces el determinante de Gram se puede escribir como la diferencia de dos determinantes de Gram,

$${fnfn} {fnfnfnfn}fnfnfnn} {bign}={bigl privl}G(p_{_p_{1},1),dots(p_{n+1},1)} {bigr } {big}$$

donde cada ${displaystyle (p_{j},1)}$ es el punto correspondiente ${displaystyle P_{j}$ complementado con el valor de coordenadas 1 para un ${displaystyle (m+1)}$- la dimensión. Note que en el caso común que n = m, el segundo término en el lado derecho será cero.

Construyendo una base ortonormal

Dado un conjunto de vectores linealmente independientes ${displaystyle {v_{i}}}$ con matriz de gramos ${displaystyle G.$ definidas por ${displaystyle G_{ij}:=langle ¿Qué?$, uno puede construir una base ortonormal

${displaystyle ¿Por qué?$

En la notación de matriz, ${displaystyle U=VG^{-1/2}$, donde ${displaystyle U}$ tiene vectores de base ortonormal ${displaystyle {u_{i}}}$ y la matriz ${displaystyle V}$ se compone de los vectores de columna dados ${displaystyle {v_{i}}}$.

La matriz ${displaystyle G^{-1/2}$ está garantizada a existir. De hecho, ${displaystyle G.$ es Hermitian, y así puede ser descompuesto como ${displaystyle G=UDU^{dagger }$ con ${displaystyle U}$ una matriz unitaria y ${displaystyle D}$ una matriz diagonal real. Además, el ${displaystyle V_{i}$ son linealmente independientes si ${displaystyle G.$ es definitivo positivo, lo que implica que las entradas diagonales de ${displaystyle D}$ son positivos. ${displaystyle G^{-1/2}$ es, por lo tanto, único ${displaystyle - Sí.$. Uno puede comprobar que estos nuevos vectores son ortonormales:

${displaystyle {begin{aligned}langle U_{i},u_{j}rangle ¿Qué? Bigl langle }{bigl (}G^{-1/2}{bigr)}_{i'i'i}v_{i'},{bigl (}G^{-1/2}{bigr)}_{j'j}v_{j'}{big'}{ Bigr rangle }[10mu] Alguien=sum _{i'}sum _{j'}{bigl (}G^{-1/2}{bigr)}_{ii'}G_{i'j'}{bigl (}G^{-1/2}{bigr)}_{j'j'j}[8mu]} {bigl}{bigl}} { (}G^{-1/2}GGG^{-1/2}{bigr)}_{ij}=delta ¿Qué?$

donde usamos ${displaystyle {bigl (}G^{-1/2}{bigr)}{dagger }=G^{-1/2}$.