Matriz de densidad

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Matriz que describe un sistema cuántico en un estado puro o mixto

En mecánica cuántica, una matriz de densidad (u operador de densidad) es una matriz que describe el estado cuántico de un sistema físico. Permite el cálculo de las probabilidades de los resultados de cualquier medida realizada sobre este sistema, utilizando la regla de Born. Es una generalización de los vectores de estado o funciones de onda más usuales: mientras que estos solo pueden representar estados puros, las matrices de densidad también pueden representar estados mixtos. Los estados mixtos surgen en la mecánica cuántica en dos situaciones diferentes: primero, cuando la preparación del sistema no se conoce por completo y, por lo tanto, se debe tratar con un conjunto estadístico de posibles preparaciones, y segundo, cuando se quiere describir un sistema físico que está enredado con otro, sin describir su estado combinado.

Por lo tanto, las matrices de densidad son herramientas cruciales en áreas de la mecánica cuántica que se ocupan de estados mixtos, como la mecánica estadística cuántica, los sistemas cuánticos abiertos, la decoherencia cuántica y la información cuántica.

Definición y motivación

La matriz de densidad es una representación de un operador lineal llamado operador de densidad. La matriz de densidad se obtiene del operador de densidad eligiendo la base en el espacio subyacente. En la práctica, los términos matriz de densidad y operador de densidad a menudo se usan indistintamente.

En lenguaje de operador, un operador de densidad para un sistema es un operador semi-definido positivo, Hermitian de traza uno actuando en el espacio Hilbert del sistema. Esta definición puede motivarse considerando una situación en la que un estado puro $|psi _{j}rangle$ se prepara con probabilidad $p_{j}$ , conocido como ensemble. La probabilidad de obtener el resultado de medición proyectiva $m$ cuando utiliza proyectores ${displaystyle Pi _{m}}$ es dado por

{displaystyle p(m)=sum _{j}p_{j}langle psi _{j}mid Pi _{m}mid psi _{j}rangle =operatorname {tr} left[Pi _{m}left(sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|right)right],}

lo que hace que el operador de densidad, definido como

{displaystyle rho =sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|,}

una representación conveniente para el estado de este conjunto. Es fácil comprobar que este operador es semi-definido positivo, Hermitian, y tiene traza uno. Por el contrario, se deriva del teorema espectral que cada operador con estas propiedades puede ser escrito como ${displaystyle textstyle sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|}$ para algunos estados $|psi _{j}rangle$ y coeficientes $p_{j}$ que no son negativos y suman hasta uno. Sin embargo, esta representación no será única, como lo demuestra el teorema Schrödinger-HJW.

Otra motivación para la definición de operadores de densidad proviene de considerar mediciones locales en estados enredados. Vamos $|Psi rangle$ ser un estado enredado puro en el espacio compuesto Hilbert ${displaystyle {mathcal {H}}_{1}otimes {mathcal {H}}_{2}}$ . La probabilidad de obtener el resultado de medición $m$ cuando los proyectores de medición ${displaystyle Pi _{m}}$ en el espacio Hilbert ${mathcal {H}}_{1}$ solo es dado por

{displaystyle p(m)=langle Psi |Pi _{m}otimes I|Psi rangle =operatorname {tr} left[Pi _{m}left(operatorname {tr} _{2}|Psi rangle langle Psi |right)right],}

Donde ${displaystyle operatorname {tr} _{2}}$ denota el rastro parcial sobre el espacio de Hilbert $mathcal{H}_2$ . Esto hace que el operador

{displaystyle rho =operatorname {tr} _{2}|Psi rangle langle Psi |}

una herramienta conveniente para calcular las probabilidades de estas mediciones locales. Se conoce como la matriz de densidad reducida $|Psi rangle$ on subsystem 1. Es fácil comprobar que este operador tiene todas las propiedades de un operador de densidad. Por el contrario, el teorema Schrödinger-HJW implica que todos los operadores de densidad pueden ser escritos como ${displaystyle operatorname {tr} _{2}|Psi rangle langle Psi |}$ para algún estado $|Psi rangle$ .

Estados puros y mixtos

Un estado cuántico puro es un estado que no se puede escribir como una mezcla probabilística o una combinación convexa de otros estados cuánticos. Hay varias caracterizaciones equivalentes de estados puros en el lenguaje de los operadores de densidad. Un operador de densidad representa un estado puro si y solo si:

puede ser escrito como un producto exterior de un vector de estado $|psi rangle$ con sí mismo, es decir, ${displaystyle rho =|psi rangle langle psi |.}$
es una proyección, en particular de la primera fila.
es idempotente, eso es ${displaystyle rho =rho ^{2}.}$
tiene pureza uno, es decir, ${displaystyle operatorname {tr} (rho ^{2})=1.}$

Es importante destacar la diferencia entre una mezcla probabilística de estados cuánticos y su superposición. Si un sistema físico está preparado para estar en estado $| psi_1 rangle$ o ${displaystyle |psi _{2}rangle }$ , con igual probabilidad, puede ser descrito por el estado mixto

{displaystyle rho ={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}},}

Donde $| psi_1 rangle$ y ${displaystyle |psi _{2}rangle }$ son asumidos ortogonal y de dimensión 2, para la simplicidad. Por otro lado, una superposición cuántica de estos dos estados con igual amplitud de probabilidad resulta en el estado puro ${displaystyle |psi rangle =(|psi _{1}rangle +|psi _{2}rangle)/{sqrt {2}},}$ con matriz de densidad

{displaystyle |psi rangle langle psi |={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}}.}

A diferencia de la mezcla probabilística, esta superposición puede mostrar interferencia cuántica.

En la esfera Bloch la representación de un qubit, cada punto en la esfera unidad representa un estado puro. Todas las demás matrices de densidad corresponden a puntos en el interior.

Geométricamente, el conjunto de operadores de densidad es un conjunto convexo, y los estados puros son los puntos extremos de ese conjunto. El caso más simple es el de un espacio de dos dimensiones Hilbert, conocido como un qubit. Un estado arbitrario para un qubit puede ser escrito como una combinación lineal de las matrices Pauli, que junto con la matriz de identidad proporcionan una base para $2times 2$ matrices autoadjuntas:

{displaystyle rho ={frac {1}{2}}left(I+r_{x}sigma _{x}+r_{y}sigma _{y}+r_{z}sigma _{z}right),}

donde los números reales ${displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$ son las coordenadas de un punto dentro de la bola de unidad y

{displaystyle sigma _{x}={begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}},quad sigma _{y}={begin{pmatrix}0&-i\i&0end{pmatrix}},quad sigma _{z}={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}.}

Puntos con ${displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$ representan estados puros, mientras que los estados mixtos están representados por puntos en el interior. Esto se conoce como la esfera Bloch imagen del espacio estatal qubit.

Ejemplo: polarización de la luz

La bombilla incandescente(1) emite fotones polarizados completamente aleatorios(2) con matriz de densidad de estado mixto:

{displaystyle {begin{bmatrix}0.5&0\0&0.5end{bmatrix}}}

Después de pasar por polarizador plano vertical(3), los fotones restantes son todos verticalmente polarizados(4) y tienen matriz de densidad de estado puro:

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&0end{bmatrix}}}

Un ejemplo de estados puros y mixtos es la polarización ligera. Un foton individual se puede describir como tener polarización circular derecha o izquierda, descrita por los estados cuánticos ortogonales ${displaystyle |mathrm {R} rangle }$ y ${displaystyle |mathrm {L} rangle }$ o una superposición de los dos: puede estar en cualquier estado ${displaystyle alpha |mathrm {R} rangle +beta |mathrm {L} rangle }$ (con $|alpha |^{2}+|beta |^{2}=1$ ), correspondiente a polarización lineal, circular o elíptica. Considere ahora un fotón polarizado verticalmente, descrito por el estado ${displaystyle |mathrm {V} rangle =(|mathrm {R} rangle +|mathrm {L} rangle)/{sqrt {2}}}$ . Si lo pasamos a través de un polarizador circular que permite ${displaystyle |mathrm {R} rangle }$ luz polarizada, o sólo ${displaystyle |mathrm {L} rangle }$ luz polarizada, la mitad de los fotones se absorben en ambos casos. Esto puede hacerlo. Parece que como la mitad de los fotones están en estado ${displaystyle |mathrm {R} rangle }$ y la otra mitad del estado ${displaystyle |mathrm {L} rangle }$ , pero esto no es correcto: si pasamos ${displaystyle (|mathrm {R} rangle +|mathrm {L} rangle)/{sqrt {2}}}$ a través de un polarizador lineal no hay ninguna absorción, pero si pasamos cualquier estado ${displaystyle |mathrm {R} rangle }$ o ${displaystyle |mathrm {L} rangle }$ La mitad de los fotones son absorbidos.

La luz no polarizada (como la luz de una bombilla incandescente) no puede describirse como cualquiera estado de la forma ${displaystyle alpha |mathrm {R} rangle +beta |mathrm {L} rangle }$ (polarización lineal, circular o elíptica). A diferencia de la luz polarizada, pasa a través de un polarizador con una pérdida de intensidad del 50% cualquiera que sea la orientación del polarizador; y no puede ser polarizado pasando por cualquier placa de onda. Sin embargo, la luz no polarizada puede ser descrito como un conjunto estadístico, e. g. como cada foton teniendo ${displaystyle |mathrm {R} rangle }$ polarización o ${displaystyle |mathrm {L} rangle }$ polarización con probabilidad 1/2. El mismo comportamiento ocurriría si cada fotono tuviera polarización vertical ${displaystyle |mathrm {V} rangle }$ o polarización horizontal ${displaystyle |mathrm {H} rangle }$ con probabilidad 1/2. Estos dos conjuntos son completamente indistinguibles experimentalmente, y por lo tanto se consideran el mismo estado mixto. Para este ejemplo de luz no polarizada, el operador de densidad es igual

{displaystyle rho ={frac {1}{2}}|mathrm {R} rangle langle mathrm {R} |+{frac {1}{2}}|mathrm {L} rangle langle mathrm {L} |={frac {1}{2}}|mathrm {H} rangle langle mathrm {H} |+{frac {1}{2}}|mathrm {V} rangle langle mathrm {V} |={frac {1}{2}}{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}.}

También hay otras formas de generar luz no polarizada: una posibilidad es introducir incertidumbre en la preparación del fotón, por ejemplo, pasando por un cristal birefringente con una superficie rugosa, de modo que partes ligeramente diferentes del haz de luz adquieren diferentes polarizaciones. Otra posibilidad es utilizar estados enredados: una desintegración radiactiva puede emitir dos fotones que viajan en direcciones opuestas, en el estado cuántico ${displaystyle (|mathrm {R}mathrm {L} rangle +|mathrm {L}mathrm {R} rangle)/{sqrt {2}}}$ . El estado conjunto de los dos fotones juntos es pura, pero la matriz de densidad para cada foton individualmente, que se encuentra tomando el trazo parcial de la matriz de densidad articular, es completamente mezclada.

Conjuntos equivalentes y purificaciones

Un operador de densidad dada no determina singularmente qué conjunto de estados puros le da origen; en general hay infinitamente muchos conjuntos diferentes que generan la misma matriz de densidad. Aquellos no pueden distinguirse por ninguna medida. Los conjuntos equivalentes pueden caracterizarse completamente: ${displaystyle {p_{j},|psi _{j}rangle }}$ Sé un conjunto. Entonces para cualquier matriz compleja $U$ tales que ${displaystyle U^{dagger }U=I}$ (una isometría parcial), el conjunto ${displaystyle {q_{i},|varphi _{i}rangle }}$ definidas por

{displaystyle {sqrt {q_{i}}}left|varphi _{i}rightrangle =sum _{j}U_{ij}{sqrt {p_{j}}}left|psi _{j}rightrangle }

dará lugar al mismo operador de densidad, y todos los conjuntos equivalentes tienen esta forma.

Un hecho estrechamente relacionado es que un operador de densidad dado tiene infinitas purificaciones diferentes, que son estados puros que generan el operador de densidad cuando se toma una traza parcial. Dejar

{displaystyle rho =sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|}

ser el operador de densidad generado por el conjunto ${displaystyle {p_{j},|psi _{j}rangle }}$ , con estados $|psi _{j}rangle$ no necesariamente ortogonal. Entonces para todas las isometrías parciales $U$ tenemos

{displaystyle |Psi rangle =sum _{j}{sqrt {p_{j}}}|psi _{j}rangle U|a_{j}rangle }

es una purificación $rho$ , donde ${displaystyle |a_{j}rangle }$ es una base ortogonal, y además todas las purificaciones de $rho$ son de esta forma.

Medición

Vamos $A$ ser un observable del sistema, y suponer que el conjunto está en un estado mixto tal que cada uno de los estados puros ${displaystyle textstyle |psi _{j}rangle }$ ocurre con probabilidad $p_{j}$ . Luego el operador de densidad correspondiente equivale

{displaystyle rho =sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|.}

El valor esperado de la medición se puede calcular ampliando el caso de los estados puros:

{displaystyle langle Arangle =sum _{j}p_{j}langle psi _{j}|A|psi _{j}rangle =sum _{j}p_{j}operatorname {tr} left(|psi _{j}rangle langle psi _{j}|Aright)=operatorname {tr} left(sum _{j}p_{j}|psi _{j}rangle langle psi _{j}|Aright)=operatorname {tr} (rho A),}

Donde $operatorname {tr}$ Denota rastro. Así, la expresión familiar ${displaystyle langle Arangle =langle psi |A|psi rangle }$ para estados puros es reemplazado por

{displaystyle langle Arangle =operatorname {tr} (rho A)}

para estados mixtos.

Además, si $A$ tiene resolución espectral

{displaystyle A=sum _{i}a_{i}P_{i},}

Donde $P_{i}$ es el operador de proyección en el eigenspace correspondiente a eigenvalue $a_{i}$ , el operador de densidad post-medida

{displaystyle rho _{i}'={frac {P_{i}rho P_{i}}{operatorname {tr} left[rho P_{i}right]}}}

cuando se obtiene el resultado i. En el caso de que no se conozca el resultado de la medición, el conjunto se describe mediante

; rho ' = sum_i P_i rho P_i.

Si uno asume que las probabilidades de resultados de medición son funciones lineales de los proyectores $P_{i}$ , entonces deben ser dados por el rastro del proyector con un operador de densidad. El teorema de Gleason muestra que en los espacios de Hilbert de la dimensión 3 o más grande la asunción de la linealidad puede ser reemplazada con una suposición de no contextualidad. Esta restricción sobre la dimensión puede eliminarse asumiendo que no sea contextualidad para los POVM también, pero esto ha sido criticado como físicamente no motivado.

Entropía

La entropía de von Neumann $S$ de una mezcla se puede expresar en términos de los eigenvalues de $rho$ o en términos del trazo y logaritmo del operador de densidad $rho$ . Desde $rho$ es un operador semi-definido positivo, tiene una descomposición espectral tal que ${displaystyle rho =textstyle sum _{i}lambda _{i}|varphi _{i}rangle langle varphi _{i}|}$ , donde ${displaystyle |varphi _{i}rangle }$ son vectores ortonormales, $lambda_i ge 0$ , y ${displaystyle textstyle sum lambda _{i}=1}$ . Luego la entropía de un sistema cuántico con matriz de densidad $rho$ es

{displaystyle S=-sum _{i}lambda _{i}ln lambda _{i}=-operatorname {tr} (rho ln rho).}

Esta definición implica que la entropía von Neumann de cualquier estado puro es cero. Si $rho _{i}$ son estados que tienen apoyo en subespacios ortogonales, luego la entropía von Neumann de una combinación convexa de estos estados,

{displaystyle rho =sum _{i}p_{i}rho _{i},}

es dado por las entropías von Neumann de los estados $rho _{i}$ y la entropía Shannon de la distribución de probabilidad $p_{i}$ :

{displaystyle S(rho)=H(p_{i})+sum _{i}p_{i}S(rho _{i}).}

Cuando los estados $rho _{i}$ no tienen soportes ortogonales, la suma en el lado derecho es estrictamente mayor que la entropía von Neumann de la combinación convexa $rho$ .

Dado un operador de densidad $rho$ y una medición proyectiva como en la sección anterior, el estado $rho '$ definida por la combinación convexa

{displaystyle rho '=sum _{i}P_{i}rho P_{i},}

que se puede interpretar como el estado producido por realizar la medición pero no registrar qué resultado ocurrió, tiene una entropía von Neumann mayor que la de $rho$ , excepto si ${displaystyle rho =rho '}$ . Sin embargo, es posible para el $rho '$ producida por un generalizado medición, o POVM, para tener una entropía inferior von Neumann que $rho$ .

La ecuación de von Neumann para la evolución temporal

Así como la ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan los estados puros en el tiempo, la ecuación de von Neumann (también conocida como la ecuación de Liouville-von Neumann) describe cómo un operador de densidad evoluciona en el tiempo. La ecuación de von Neumann dicta que

{displaystyle ihbar {frac {partial rho }{partial t}}=[H,rho ]~,}

donde los corchetes indican un conmutador.

Esta ecuación solo se cumple cuando se considera que el operador de densidad está en la imagen de Schrödinger, aunque a primera vista esta ecuación parece emular la ecuación de movimiento de Heisenberg en la imagen de Heisenberg, con una diferencia de signo crucial:

{displaystyle ihbar {frac {dA^{(mathrm {H})}}{dt}}=-left[H,A^{(mathrm {H})}right]~,}

Donde ${displaystyle A^{(mathrm {H})}(t)}$ es algo Imagen de Heisenberg operador; pero en esta imagen la matriz de densidad es no dependiente del tiempo, y el signo relativo asegura que el tiempo derivado del valor esperado $langle Arangle$ sale igual que en la imagen de Schrödinger.

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de von Neumann se puede resolver fácilmente para producir

rho(t) = e^{-i H t/hbar} rho(0) e^{i H t/hbar}.

Para un Hamiltonian más general, si $G(t)$ es el propagador de la función de onda durante algún intervalo, entonces la evolución del tiempo de la matriz de densidad sobre ese mismo intervalo es dada por

{displaystyle rho (t)=G(t)rho (0)G(t)^{dagger }.}

Funciones de Wigner y analogías clásicas

El operador de matriz de densidad también se puede realizar en el espacio de fase. Bajo el mapa de Wigner, la matriz de densidad se transforma en la función de Wigner equivalente,

{displaystyle W(x,p), {stackrel {mathrm {def} }{=}} ,{frac {1}{pi hbar }}int _{-infty }^{infty }psi ^{*}(x+y)psi (x-y)e^{2ipy/hbar },dy.}

La ecuación para la evolución temporal de la función de Wigner, conocida como ecuación de Moyal, es entonces la transformada de Wigner de la ecuación de von Neumann anterior,

{displaystyle {frac {partial W(x,p,t)}{partial t}}=-{{W(x,p,t),H(x,p)}},}

Donde ${displaystyle H(x,p)}$ es el Hamiltonian, y ${displaystyle {{cdotcdot }}}$ es el soporte Moyal, la transformación del conmutador cuántico.

La ecuación de evolución para la función Wigner es entonces análoga a la de su límite clásico, la ecuación de Liouville de la física clásica. En el límite de la desaparición constante de Planck $hbar$ , ${displaystyle W(x,p,t)}$ reduce a la función clásica de densidad de probabilidad de Liouville en el espacio de fase.

Aplicaciones de ejemplo

Las matrices de densidad son una herramienta básica de la mecánica cuántica y aparecen al menos ocasionalmente en casi cualquier tipo de cálculo mecánico cuántico. Algunos ejemplos específicos donde las matrices de densidad son especialmente útiles y comunes son los siguientes:

La mecánica estadística utiliza matrices de densidad, más prominentemente para expresar la idea de que un sistema está preparado a una temperatura no cero. Construir una matriz de densidad usando un conjunto canónico da un resultado de la forma ${displaystyle rho =exp(-beta H)/Z(beta)}$ , donde $beta$ es la temperatura inversa ${displaystyle (k_{rm {B}}T)^{-1}}$ y $H$ es Hamiltonian del sistema. La condición de normalización que el rastro de $rho$ ser igual a 1 define la función de partición a ser ${displaystyle Z(beta)=mathrm {tr} exp(-beta H)}$ . Si el número de partículas involucradas en el sistema no es en sí mismo seguro, entonces se puede aplicar un gran conjunto canónico, donde los estados resumidos para hacer que la matriz de densidad se extraiga de un espacio Fock.
La teoría de la decoherencia cuántica normalmente implica sistemas cuánticos no aislados que desarrollan enredamiento con otros sistemas, incluyendo aparatos de medición. Las matrices de densidad hacen mucho más fácil describir el proceso y calcular sus consecuencias. La decoherencia cuántica explica por qué un sistema interactuando con un ambiente pasa de ser un estado puro, exhibiendo superposiciones, a un estado mixto, una combinación incoherente de alternativas clásicas. Esta transición es fundamentalmente reversible, ya que el estado combinado de sistema y medio ambiente sigue siendo puro, pero para todos los propósitos prácticos irreversibles, ya que el medio ambiente es un sistema cuántico muy grande y complejo, y no es factible revertir su interacción. La decoherencia es así muy importante para explicar el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no puede explicar el colapso de la función de onda, ya que todas las alternativas clásicas todavía están presentes en el estado mixto, y el colapso de la función de onda selecciona sólo uno de ellos.
Del mismo modo, en la computación cuántica, teoría de la información cuántica, sistemas cuánticos abiertos, y otros campos donde la preparación del estado es ruidosa y puede ocurrir decoherencia, las matrices de densidad se utilizan con frecuencia. El ruido se modela a menudo a través de un canal despolarizante o un canal de amortiguación de amplitud. La tomografía cuántica es un proceso por el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de las mediciones cuánticas, se calcula una matriz de densidad compatible con esos resultados de medición.
Al analizar un sistema con muchos electrones, como un átomo o molécula, una primera aproximación imperfecta pero útil es tratar a los electrones como incorrelacionados o cada uno con una función independiente de onda de partículas individuales. Este es el punto de partida habitual cuando se construye el determinante Slater en el método Hartree-Fock. Si hay $N$ electrones llenando el $N$ Funciones de onda de partículas individuales $|psi _{i}rangle$ , entonces la colección de $N$ electrones juntos pueden caracterizarse por una matriz de densidad ${textstyle sum _{i=1}^{N}|psi _{i}rangle langle psi _{i}|}$ .

C*-formulación algebraica de estados

Ahora se acepta generalmente que la descripción de la mecánica cuántica en la que todos los operadores autoadjuntos representan observables es insostenible. Por esta razón, los observables se identifican con elementos de un álgebra C* abstracta A (es decir, uno sin una representación distinguida como un álgebra de operadores) y los estados son funcionales lineales positivos en A. Sin embargo, usando la construcción GNS, podemos recuperar los espacios de Hilbert que realizan A como una subálgebra de operadores.

Geométricamente, un estado puro en un C*-álgebra A es un estado que es un punto extremo del conjunto de todos los estados en A. Por propiedades de la construcción GNS estos estados corresponden a representaciones irreducibles de A.

Los estados del C*-álgebra de operadores compactos K(H) corresponden exactamente a los operadores de densidad, y por lo tanto los estados puros de K(H) son exactamente los estados puros en el sentido de la mecánica cuántica.

Se puede ver que la formulación algebraica C* incluye tanto sistemas clásicos como cuánticos. Cuando el sistema es clásico, el álgebra de observables se convierte en un C*-álgebra abeliana. En ese caso, los estados se convierten en medidas de probabilidad.

Historia

El formalismo de matrices y operadores de densidad fue introducido en 1927 por John von Neumann e, independientemente, pero de manera menos sistemática, por Lev Landau y más tarde en 1946 por Felix Bloch. Von Neumann introdujo la matriz de densidad para desarrollar tanto la mecánica estadística cuántica como una teoría de las medidas cuánticas. El nombre de matriz de densidad en sí se relaciona con su correspondencia clásica con una medida de probabilidad de espacio de fase (distribución de probabilidad de posición y momento) en la mecánica estadística clásica, que fue introducida por Wigner en 1932.

En cambio, la motivación que inspiró a Landau fue la imposibilidad de describir un subsistema de un sistema cuántico compuesto mediante un vector de estado.

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