Matriz de correlación cruzada

La matriz de correlación cruzada de dos vectores aleatorios es una matriz que contiene como elementos las correlaciones cruzadas de todos los pares de elementos de los vectores aleatorios. La matriz de correlación cruzada se utiliza en varios algoritmos de procesamiento de señales digitales.

Definición

Para dos vectores aleatorios X=()X1,...... ,Xm)T{displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldotsX_{m}}{rm} {T}} y Y=()Y1,...... ,Yn)T{displaystyle mathbf {Y} =(Y_{1},ldotsY_{n}{n}{rm} {T}}, cada uno que contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y diferencia existen, el matriz de puntuación cruzada de X{displaystyle mathbf {X} y Y{displaystyle mathbf {Y} se define por

y tiene dimensiones m× × n{displaystyle mtimes n}. Componente escrito:

RXY=[E⁡ ⁡ [X1Y1]E⁡ ⁡ [X1Y2]⋯ ⋯ E⁡ ⁡ [X1Yn]E⁡ ⁡ [X2Y1]E⁡ ⁡ [X2Y2]⋯ ⋯ E⁡ ⁡ [X2Yn]⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ E⁡ ⁡ [XmY1]E⁡ ⁡ [XmY2]⋯ ⋯ E⁡ ⁡ [XmYn]]{displaystyle operatorname {R} {cHFF} {X} mathbf {Y}={begin{bmatrix}operatorname {E} [X_{1}Y_{1}] {E} [X_{1}Y_{2}] {E} [X_{1}Y_{n}\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {E} [X_{2}Y_{1}] {E} [X_{2}Y_{2}] {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots > 'ddots >\\\\\\\\\\\fnMicrosoft Sans {E} [X_{m}Y_{1}] {E} [X_{m}Y_{2}] {E} {fn}\\\\\fn}}}\\\\\\\\\fn}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\

Los vectores aleatorios X{displaystyle mathbf {X} y Y{displaystyle mathbf {Y} no necesita tener la misma dimensión, y puede ser un valor escalar.

Ejemplo

Por ejemplo, si X=()X1,X2,X3)T{displaystyle mathbf {X} =left(X_{1},X_{2},X_{3}right)^{rm {T}} y Y=()Y1,Y2)T{displaystyle mathbf {Y} =left(Y_{1},Y_{2}right)^{rm} {T}} son vectores aleatorios, entonces RXY{displaystyle operatorname {R} {cHFF} {X} mathbf {Y} es un 3× × 2{displaystyle 3times 2} matriz ()i,j){displaystyle (i,j)}- la entrada es E⁡ ⁡ [XiYj]{displaystyle operatorname {E} [X_{i}Y_{j}}.

Vectores aleatorios complejos

Si Z=()Z1,...... ,Zm)T{displaystyle mathbf {Z} =(Z_{1},ldotsZ_{m}}{rm} {T}} y W=()W1,...... ,Wn)T{displaystyle mathbf {W} =(W_{1},ldotsW_{n}^{rm} {T}} son vectores aleatorios complejos, cada uno que contiene variables aleatorias cuyo valor esperado y la varianza existen, la matriz de puntuación cruzada de Z{displaystyle mathbf {Z} y W{displaystyle mathbf {W} se define por

RZW≜ ≜ E⁡ ⁡ [ZWH]{displaystyle operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {W}triangleq \operatorname {E} [mathbf {Z} mathbf {W} {} {rm {H}}}} {} {}} {}} {}} {}}} {}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Donde H{displaystyle {} {fnMicrosoft} {H}} denota la transposición hermitiana.

Incorrelación

Dos vectores al azar X=()X1,...... ,Xm)T{displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldotsX_{m}}{rm} {T}} y Y=()Y1,...... ,Yn)T{displaystyle mathbf {Y} =(Y_{1},ldotsY_{n}{n}{rm} {T}} se llaman no estructurado si

E⁡ ⁡ [XYT]=E⁡ ⁡ [X]E⁡ ⁡ [Y]T.{displaystyle operatorname {E} [Y] ^{rm {T}=operatorname [Mathbf {X}]operatorname {E} [mathbf {Y} {fnMicrosoft Sans Serif}

Son incorrelacionados si y sólo si su matriz de covariancia cruzada KXY{displaystyle operatorname {K} {X} mathbf {Y} matriz es cero.

En el caso de dos vectores aleatorios complejos Z{displaystyle mathbf {Z} y W{displaystyle mathbf {W} son llamados no correlacionados si

E⁡ ⁡ [ZWH]=E⁡ ⁡ [Z]E⁡ ⁡ [W]H{displaystyle operatorname [Mathbf {Z] [W] ^{rm {H}=operatorname [Mathbf {Z]fnh}fnh}

y

E⁡ ⁡ [ZWT]=E⁡ ⁡ [Z]E⁡ ⁡ [W]T.{displaystyle operatorname [Mathbf {Z] [W] ^{rm {T}=operatorname [mathbf {Z}]operatorname {E} [mathbf {W}^{rm {T}}

Propiedades

Relación con la matriz de covarianzas cruzadas

La correlación cruzada está relacionada con la matriz de covarianza cruzada de la siguiente manera:

KXY=E⁡ ⁡ [()X− − E⁡ ⁡ [X])()Y− − E⁡ ⁡ [Y])T]=RXY− − E⁡ ⁡ [X]E⁡ ⁡ [Y]T{displaystyle operatorname {K} {X} mathbf {Y}=fnMicrosoft [E] [Mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X}] [Y] - 'operatorname {E} [mathbf {Y}] {R} {cHFF} {X} mathbf {Y} [Mathbf {X]fnh}fnh}

Respetuosamente para vectores aleatorios complejos:

KZW=E⁡ ⁡ [()Z− − E⁡ ⁡ [Z])()W− − E⁡ ⁡ [W])H]=RZW− − E⁡ ⁡ [Z]E⁡ ⁡ [W]H{displaystyle operatorname {K} _{mathbf {Z} mathbf {W}= 'operatorname [Mathbf {Z} - 'operatorname {E} ¿Qué? {R} _{mathbf {Z} mathbf [W] }-operatorname [Mathbf {Z]fnh}fnh}