Matriz de coeficientes

En álgebra lineal, una matriz de coeficientes es una matriz que consta de los coeficientes de las variables de un conjunto de ecuaciones lineales. La matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{2}\a_{1}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} limit=b_{2}\\\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots {\fn}$

Donde ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldotsx_{n}$ son los desconocidos y los números ${\displaystyle a_{11},a_{12},\ldotsa_{mn}$ son los coeficientes del sistema. La matriz del coeficiente es la m × n matriz con el coeficiente a_ij como ()i, j)t entrada:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11} limita_{12} limit\cdots "A_{1n}\a_{21} 'a_{2n}\\\vdots > 'vdots > {mn}\end{bmatrix}}$

Entonces, el conjunto de ecuaciones anterior se puede expresar de manera más sucinta como

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

donde A es la matriz de coeficientes y b es el vector columna de términos constantes.

Según el teorema de Rouché-Capelli, el sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no tiene soluciones, si el rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna adicional que consiste en el vector b) es mayor que el rango de la matriz de coeficientes. Si, por otro lado, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango r es igual al número n de variables. De lo contrario, la solución general tiene n – r parámetros libres; Por lo tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones, que se pueden encontrar imponiendo valores arbitrarios a n – r de las variables y resolviendo el sistema resultante para su única solución; diferentes opciones de qué variables fijar, y diferentes valores fijos de ellas, dan diferentes soluciones del sistema.

Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} ¿Qué?$

donde A es n × n y y y c son n × 1. Este sistema converge a su nivel de estado estacionario de y si y solo si los valores absolutos de todos los n valores propios de A son menores que 1.

Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\fnMithbf} } {dt}= A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c}$

Este sistema es estable si y sólo si todos los n valores propios de A tienen partes reales negativas.