Matriz de admitancia nodal

En ingeniería eléctrica, la matriz de admitancia nodal (o simplemente matriz de admitancia) es una matriz N x N que describe un sistema eléctrico lineal con N buses. Representa la admitancia nodal de los buses en un sistema eléctrico. En sistemas realistas que contienen miles de buses, la matriz de admitancia es bastante dispersa. Cada bus en un sistema eléctrico real suele estar conectado a solo unos pocos buses más a través de las líneas de transmisión. La matriz de admitancia nodal se utiliza en la formulación del problema de flujo de potencia.

Construcción a partir de un diagrama unifilar

La matriz de admitancia nodal de un sistema de potencia es una forma de matriz laplaciana del diagrama de admitancia nodal del sistema de potencia, que se obtiene mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff al diagrama de admitancia del sistema de potencia. A partir del diagrama unifilar de un sistema de potencia, el diagrama de admitancia nodal se obtiene mediante:

• sustituir cada línea en el diagrama por su equivalente admisión, y
• Convertir todas las fuentes de tensión en su fuente de corriente equivalente.

Considere un gráfico de admisión con ${\displaystyle N}$ autobuses. El vector de voltajes de autobús, ${\displaystyle V}$, es un ${\displaystyle N\times 1}$ vector donde ${\displaystyle V_{k}$ es el voltaje del autobús ${\displaystyle k}$, y vector de inyecciones de corriente de autobús, ${\displaystyle I}$, es un ${\displaystyle N\times 1}$ vector donde ${\displaystyle I_{k}$ es la corriente acumulativa inyectada en autobús ${\displaystyle k}$ por todas las cargas y fuentes conectadas al autobús. La admisión entre autobuses ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle i}$ es un número complejo ${\displaystyle y_{ki}$, y es la suma de la admisión de todas las líneas que conectan autobuses ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle i}$. La admisión entre el autobús ${\displaystyle i}$ y tierra ${\displaystyle y_{k}$, y es la suma de la admisión de todas las cargas conectadas al bus ${\displaystyle k}$.

Considerar el inyección, ${\displaystyle I_{k}$, en autobús ${\displaystyle k}$. Aplicando la ley actual de Kirchhoff

${\displaystyle I_{k}=\sum ##{i=1,2,\ldotsN}I_{ki}$

Donde ${\displaystyle I_{ki}$ es la corriente de autobús ${\displaystyle k}$ a autobús ${\displaystyle i}$ para ${\displaystyle k\neq i}$ y ${\displaystyle I_{kk}$ es la corriente de autobús ${\displaystyle k}$ a tierra a través de la carga del autobús. Aplicar La ley del diagrama de admisión. voltajes de autobús y la línea y las corrientes de carga están vinculadas por la relación

${\displaystyle I_{ki}={\begin{cases}V_{k}{y_{k} {\mbox{if}\quad i=k\(V_{k}-V_{i})y_{ki}, limit{\mbox{if}\quad i\neq k.\end{cases}$

Por lo tanto,

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots N \atop i\neq k}{(V_{k}-V_{i})y_{ki}+V_{k}=V_{k}\left(y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots N \atop i\neq k}y_{ki}\right)-\sum _{i=1,2,\ldots N \atop i\neq k}V_{i}y_{ki}$

Esta relación se puede escribir sucintamente en forma de matriz utilizando la matriz de admisión. La matriz de admisión nodal ${\displaystyle Sí.$ es un ${\displaystyle N\times N}$ matriz tal que el voltaje de autobús y la inyección actual satisfacen Ohm's law

${\displaystyle YV=I$

en formato vectorial. Las entradas de ${\displaystyle Sí.$ son entonces determinado por las ecuaciones para las inyecciones actuales en autobuses, dando lugar a

${\displaystyle Y_{kj}={\begin{cases}y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots N \atop i\neq {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} k=j\\-y_{kj}, golpe{\mbox{if}\quad k\neq j.\end{cases}}$

A modo de ejemplo, considere el diagrama de admitancia de una red de tres buses completamente conectada de la figura 1. La matriz de admitancia derivada de la red de tres buses en la figura es:

${\displaystyle Y= {\begin{pmatrix}y_{1}+y_{12}+y_{13}-y_{12}-y_{13}\\\\\-y_{12}+y_{12}+y_{23}-y_{23}\\\c}\c}\c}\c\cH3}\c}\c}$

Las entradas diagonales ${\displaystyle Y...$ son llamados autoadmisibilidades de los nodos de red. Las entradas no diagonales son las mutuas de los nodos correspondientes a los subscriptos de la entrada. La matriz de admisión ${\displaystyle Sí.$ es típicamente una matriz simétrica como ${\displaystyle Y_{ki}=Y_{ik}$. Sin embargo, las extensiones del modelo de línea pueden hacer ${\displaystyle Sí.$ asimétrica. Por ejemplo, modelando transformadores de desplazamiento de fases, resulta en una matriz de admisión de Hermitian.

Aplicaciones

La matriz de admitancia se utiliza con mayor frecuencia en la formulación del problema del flujo de potencia.