Matriz cuadrada

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Matriz con el mismo número de filas y columnas

Una matriz cuadrada del orden 4. Las entradas

a_{ii}

forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz 4×4 arriba contiene los elementos a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

En matemáticas, a matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas. An n-por-n matriz se conoce como una matriz cuadrada del orden $n$ . Cualquier dos matrices cuadradas del mismo orden se puede añadir y multiplicar.

Las matrices cuadradas se utilizan a menudo para representar simples transformaciones lineales, como el esquilado o la rotación. Por ejemplo, si $R$ es una matriz cuadrada que representa una rotación (matriz de rotación) y $mathbf {v}$ es un vector de columna que describe la posición de un punto en el espacio, el producto ${displaystyle Rmathbf {v} }$ produce otro vector de columna que describe la posición de ese punto después de esa rotación. Si $mathbf {v}$ es un vector de fila, la misma transformación se puede obtener utilizando ${displaystyle mathbf {v} R^{mathsf {T}}}$ , Donde ${displaystyle R^{mathsf {T}}}$ es la transposición de $R$ .

Diagonal principal

Las entradas $a_{ii}$ ()i = 1,... n) forman la diagonal principal de una matriz cuadrada. Se encuentran en la línea imaginaria que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha de la matriz. Por ejemplo, la diagonal principal de la matriz 4×4 arriba contiene los elementos a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

La diagonal de una matriz cuadrada desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda se llama antidiagonal o contradiagonal.

Tipos especiales

Nombre	Ejemplo con n = 3
Matriz diagonal	${displaystyle {begin{bmatrix}a_{11}&0&0\0&a_{22}&0\0&0&a_{33}end{bmatrix}}}$
Matriz triangular inferior	${displaystyle {begin{bmatrix}a_{11}&0&0\a_{21}&a_{22}&0\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}}$
Matriz triangular superior	${displaystyle {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\0&a_{22}&a_{23}\0&0&a_{33}end{bmatrix}}}$

Matriz diagonal o triangular

Si todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero, $A$ se llama matriz diagonal. Si sólo todas las entradas arriba (o abajo) la diagonal principal son cero, $A$ se llama matriz triangular superior (o inferior).

Matriz de identidad

La matriz de identidad $I_{n}$ de tamaño $n$ es $ntimes n$ matriz en la que todos los elementos en la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0, por ejemplo.

{displaystyle I_{1}={begin{bmatrix}1end{bmatrix}}, I_{2}={begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}, ldots I_{n}={begin{bmatrix}1&0&cdots &0\0&1&cdots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&cdots &1end{bmatrix}}.}

Es una matriz cuadrada del orden $n$ , y también un tipo especial de matriz diagonal. Se llama matriz de identidad porque la multiplicación con ella deja una matriz sin cambios:

AI_n = I_mA = A para cualquier m-por-n matriz

A

Matriz invertible y su inversa

Una matriz cuadrada $A$ se llama invertible o non-singular si existe una matriz $B$ tales que

{displaystyle AB=BA=I_{n}.}

Si $B$ existe, es único y se llama matriz inversa de $A$ , denotado $A^{-1}$ .

Matriz simétrica o asimétrica

Una matriz cuadrada $A$ que es igual a su transpose, es decir, ${displaystyle A^{mathsf {T}}=A}$ , es una matriz simétrica. Si no ${displaystyle A^{mathsf {T}}=-A}$ , entonces $A$ se llama matriz simétrica.

Para una matriz cuadrada compleja $A$ , a menudo la analogía apropiada de la transposición es la transposición conyugal $A^{*}$ , definido como la transposición del complejo conjugado $A$ . Una matriz cuadrada compleja $A$ satisfacción ${displaystyle A^{*}=A}$ se llama matriz hermitiana. Si no ${displaystyle A^{*}=-A}$ , entonces $A$ se llama una matriz jermitiana.

Por el teorema espectral, las matrices simétricas reales (o hermitianas complejas) tienen una base propia ortogonal (o unitaria); es decir, cada vector es expresable como una combinación lineal de vectores propios. En ambos casos, todos los valores propios son reales.

Matriz definida

Determinado positivo	Indefinido
${begin{bmatrix}1/4&0\0&1\end{bmatrix}}$	${begin{bmatrix}1/4&0\0&-1/4end{bmatrix}}$
Q()x,Sí.) = 1/4 x² + Sí.²	Q()x,Sí.) = 1/4 x² − 1/4 Sí.²
Puntos tales que Q()x, Sí.) = 1 (Elipse).	Puntos tales que Q()x, Sí.) = 1 (Hyperbola).

Simétrica n×n-Matrix se llama positivo-definido (respectivamente negativo-definido; indefinida), si para todos los vectores no cero $x in mathbb{R}^n$ la forma cuadrática asociada dada por

Q()x) x^TAx

toma solo valores positivos (respectivamente solo valores negativos; tanto algunos valores negativos como positivos). Si la forma cuadrática toma solo valores no negativos (respectivamente solo no positivos), la matriz simétrica se llama positiva-semidefinida (respectivamente negativa-semidefinida); por tanto, la matriz es indefinida precisamente cuando no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa.

Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus valores propios son positivos. La tabla de la derecha muestra dos posibilidades para matrices de 2×2.

Al permitir como entrada dos vectores diferentes, se obtiene la forma bilineal asociada a A:

B_A()x, Sí.) x^TASí..

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada con elementos reales cuyas columnas y filas son vectores unitarios ortogonales (es decir, vectores ortonormales). De manera equivalente, una matriz A es ortogonal si su transpuesta es igual a su inversa:

{displaystyle A^{textsf {T}}=A^{-1},}

lo que implica

{displaystyle A^{textsf {T}}A=AA^{textsf {T}}=I,}

donde I es la matriz identidad.

Una matriz ortogonal A es necesariamente invertible (con inverso A⁻¹ = A^T), unitario (A⁻¹ = A*), y normal (A*A = AA*). El determinante de cualquier matriz ortogonal es ya sea +1 o −1. El grupo ortogonal especial ${displaystyle operatorname {SO} (n)}$ consiste en n × n matrices ortogonales con determinantes +1.

El análogo complejo de una matriz ortogonal es una matriz unitaria.

Matriz normal

Una matriz cuadrada real o compleja $A$ se llama normal si ${displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$ . Si una matriz cuadrada real es simétrica, simétrica de cerrojo, o ortogonal, entonces es normal. Si una matriz cuadrada compleja es Hermitian, skew-Hermitian, o unitario, entonces es normal. Las matrices normales son de interés principalmente porque incluyen los tipos de matrices que acaban de enumerar y forman la clase más amplia de matrices para las que el teorema espectral sostiene.

Operaciones

Rastrear

La traza, tr(A) de una matriz cuadrada A es la suma de sus entradas diagonales. Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, la traza del producto de dos matrices es independiente del orden de los factores:

{displaystyle operatorname {tr} (AB)=operatorname {tr} (BA).}

Esto es inmediato a partir de la definición de multiplicación de matrices:

{displaystyle operatorname {tr} (AB)=sum _{i=1}^{m}sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=operatorname {tr} (BA).}

Además, la traza de una matriz es igual a la de su transpuesta, es decir,

{displaystyle operatorname {tr} (A)=operatorname {tr} (A^{mathrm {T} }).}

Determinante

Una transformación lineal en

mathbb {R} ^{2}

dada por la matriz indicada. El determinante de esta matriz es −1, ya que el área del paralelograma verde a la derecha es 1, pero el mapa revierte la orientación, ya que gira la orientación en sentido contrario de los vectores a un reloj.

El determinante $det(A)$ o $|A|$ de una matriz cuadrada $A$ es un número de codificación de ciertas propiedades de la matriz. Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es no cero. Su valor absoluto es igual al área (en $mathbb {R} ^{2}$ ) o volumen (en $mathbb {R} ^{3}$ ) de la imagen de la unidad cuadrado (o cubo), mientras que su signo corresponde a la orientación del mapa lineal correspondiente: el determinante es positivo si y sólo si se conserva la orientación.

El determinante de matrices 2×2 viene dado por

{displaystyle det {begin{bmatrix}a&b\c&dend{bmatrix}}=ad-bc.}

El determinante de matrices de 3×3 involucra 6 términos (regla de Sarrus). La fórmula de Leibniz, más extensa, generaliza estas dos fórmulas a todas las dimensiones.

El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes:

{displaystyle det(AB)=det(A)cdot det(B)}

Sumar un múltiplo de cualquier fila a otra fila, o un múltiplo de cualquier columna a otra columna, no cambia el determinante. Intercambiar dos filas o dos columnas afecta el determinante al multiplicarlo por −1. Usando estas operaciones, cualquier matriz puede transformarse en una matriz triangular inferior (o superior), y para tales matrices el determinante es igual al producto de las entradas en la diagonal principal; esto proporciona un método para calcular el determinante de cualquier matriz. Finalmente, la expansión de Laplace expresa el determinante en términos de menores, es decir, determinantes de matrices más pequeñas. Esta expansión puede usarse para una definición recursiva de determinantes (tomando como caso de partida el determinante de una matriz 1×1, que es su única entrada, o incluso el determinante de una matriz 0×0, que es 1), que puede ser se considera equivalente a la fórmula de Leibniz. Los determinantes se pueden usar para resolver sistemas lineales usando la regla de Cramer, donde la división de los determinantes de dos matrices cuadradas relacionadas equivale al valor de cada una de las variables del sistema.

Valores propios y vectores propios

Un número λ y un vector no cero $mathbf {v}$ satisfacción

{displaystyle Amathbf {v} =lambda mathbf {v} }

son llamados eigenvalue y un eigenvector de $A$ , respectivamente. El número λ es un eigenvalue de un n×n-Matrix A si A − λI_n no es invertible, lo que equivale a

{displaystyle det(A-lambda I)=0.}

El polinomio p_A en un indeterminado X dado por la evaluación del determinante det(XI_n − A) se llama el polinomio característico de A. Es un polinomio mónico de grado n. Por lo tanto, la ecuación polinomial p_A(λ) = 0 tiene como máximo n soluciones diferentes, es decir, valores propios de la matriz. Pueden ser complejos incluso si las entradas de A son reales. Según el teorema de Cayley-Hamilton, p_A(A) = 0, es decir, el resultado de sustituir la propia matriz en su propio polinomio característico da como resultado la matriz cero.

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