Matriz centrosimétrica

En matemáticas, especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices, una matriz centrosimétrica es una matriz que es simétrica respecto de su centro.

Una matriz n × n A = [A_{i, j}] es centrosimétrica cuando sus entradas satisfacen

$${\displaystyle A_{i,\, j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }i,j\in \{1,\,\ldots\,n\}.$$

Alternativamente, si J denota los n × n matriz de intercambio con 1 en el antidiagonal y 0 en otro lugar: $${\displaystyle J_{i,\,j}={\begin{cases}1, limiti+j=n+1\0, recuri+j\neq n+1\\end{cases}$$entonces una matriz A es centrométrico si y sólo si AJ = JA.

• Todas las matrices 2 × 2 centrosmétricas tienen la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a Pulb\b Pula\end{bmatrix}}}$$
• Todas las matrices 3 × 3 centrosmétricas tienen la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a tendrían un doblec\\\d doblee fruncido\\\c conjuntamenteb pacientea\end{bmatrix}}}$$
• Las matrices de Toeplitz simétricas son centrosmétricas.

• Si A y B son n×n matrices centradas en un campo F, entonces lo son A + B y cA para cualquier c dentro F. Además, el producto de matriz AB es centrométrico, ya JAB = AJB = ABJ. Puesto que la matriz de identidad es también centrométrico, sigue que el conjunto de n×n matrices centradas sobre F formas un subalgebra del álgebra asociativa de todos n×n matrices.
• Si A es una matriz centrométrica con m- eigenbasis dimensional, luego su m eigenvectores pueden ser elegidos para que satisfagan x = Jx o x = −Jx Donde J es la matriz de intercambio.
• Si A es una matriz centrométrica con eigenvalues distintos, luego las matrices que se comunican con A debe ser centrométrico.
• El número máximo de elementos únicos en un m×m matriz centrada es

${\fnMicroc} {m^{2}+m{\bmod {2}} {2}}}} {2}}} {2}}}}} {2}}}}}} {}}} {2}}}}}}} {2}}}}}}}}}} {2}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {} {}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {} {}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

An n×n matriz A se dice que skew-centrosymmetric si sus entradas satisfacen $${\displaystyle A_{i,\, j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }i,j\in \{1,\,\ldots\,n\}$$Equivalentemente, A es escéptico si AJ = −JA, donde J es la matriz de intercambio definida anteriormente.

La relación centrosimétrica AJ = JA se presta a una generalización natural, donde J se reemplaza con una matriz involutiva K (es decir, K² = I ) o, más generalmente, una matriz K que satisface K^m = I para un entero m > 1. También se ha estudiado el problema inverso de la relación de conmutación AK = KA de identificar todos los K involutivos que conmutan con una matriz fija A.

Las matrices centrosimétricas simétricas se denominan a veces matrices bisimétricas. Cuando el cuerpo fundamental son los números reales, se ha demostrado que las matrices bisimétricas son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios permanecen iguales, independientemente de los posibles cambios de signo que se produzcan tras la pre o posmultiplicación por la matriz de intercambio. Un resultado similar se aplica a las matrices centrosimétricas hermíticas y anticentrosimétricas.

• Muir, Thomas (1960). Un tratado sobre la teoría de los determinantes. Dover. p. 19. ISBN 0-486-60670-8.
• Weaver, James R. (1985). "Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, sus propiedades básicas, eigenvalues y eigenvectores". American Mathematical Mensual. 92 (10): 711–717. doi:10.2307/2323222. JSTOR 2323222.

• Matriz Centrosimétrica en MathWorld.