Matriz antidiagonal

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Matriz cuyas únicas entradas no cero se encuentran en la diagonal inferior izquierda a derecha

En matemáticas, una matriz antidiagonal es una matriz cuadrada donde todas las entradas son cero excepto aquellas en la diagonal que va desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha (↗), conocida como la antidiagonal (a veces diagonal de Harrison, diagonal secundaria, diagonal final, diagonal menor, diagonal fuera de diagonal o diagonal mala).

Definición formal

Un $n$ -por- $n$ matriz $A$ es una matriz antidiagonal si $(i, j)$ ésimo elemento $a ij$ es cero para todas las filas $i$ y columnas $j$ cuyos índices no suman $n + 1$ . Simbólicamente:

{displaystyle a_{ij}=0 forall i,jin left{1,ldotsnright}, (i+jneq n+1).}

Ejemplo

Un ejemplo de una matriz antidiagonal es

{displaystyle {begin{bmatrix}0&0&0&0&2\0&0&0&2&0\0&0&5&0&0\0&7&0&0&0\-1&0&0&0&0end{bmatrix}}.}

Otro ejemplo sería

{displaystyle {begin{bmatrix}0&0&0&0&1\0&0&0&1&0\0&0&1&0&0\0&1&0&0&0\1&0&0&0&0end{bmatrix}}}

Propiedades

Todas las matrices antidiagonales también son persimétricas.

El producto de dos matrices antidiagonales es una matriz diagonal. Además, el producto de una matriz antidiagonal por una matriz diagonal es antidiagonal, al igual que el producto de una matriz diagonal por una matriz antidiagonal.

Una matriz antidiagonal es invertible si y sólo si las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha son distintas de cero. La inversa de cualquier matriz antidiagonal invertible también es antidiagonal, como puede verse en el párrafo anterior. El determinante de una matriz antidiagonal tiene un valor absoluto dado por el producto de las entradas en la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. Sin embargo, el signo de este determinante variará porque el producto elemental con signo distinto de cero de una matriz antidiagonal tendrá un signo diferente dependiendo de si la permutación relacionada con él es par o impar:

Tamaño de la matriz	Permutación para producto primario no cero de matriz antidiagonal	Incluso o extraño	Signo del producto elemental
2 × 2	{2, 1}	Odd	−
3 × 3	{3, 2, 1}	Odd	−
4 × 4	{4, 3, 2, 1}	Incluso	+
5 × 5	{5, 4, 3, 2, 1}	Incluso	+
6 × 6	{6, 5, 4, 3, 2, 1}	Odd	−

Más precisamente, el signo del producto elemental necesario para calcular el determinante de una matriz antidiagonal está relacionado con si el número triangular correspondiente es par o impar. Esto se debe a que el número de inversiones en la permutación para el único producto elemental con signo distinto de cero de cualquier $n \times n$ anti- la matriz diagonal siempre es igual al $n$ ésimo número de ese tipo.

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