La madera es un ejemplo de un material ortotrópico. Las propiedades materiales en tres direcciones perpendiculares (axial, radial y circunferencial) son diferentes.
En ciencia de materiales y mecánica de sólidos, los materiales ortotrópicos tienen propiedades materiales en un punto particular que difieren a lo largo de tres ejes ortogonales, donde cada eje tiene doble simetría rotacional. Estas diferencias direccionales en la fuerza se pueden cuantificar con la ecuación de Hankinson.
Son un subconjunto de materiales anisotrópicos, porque sus propiedades cambian cuando se miden desde diferentes direcciones.
Un ejemplo familiar de material ortotrópico es la madera. En la madera se pueden definir tres direcciones mutuamente perpendiculares en cada punto en las que las propiedades son diferentes. Es más rígido (y fuerte) a lo largo de la fibra (dirección axial), porque la mayoría de las fibrillas de celulosa están alineadas de esa manera. Generalmente es menos rígido en la dirección radial (entre los anillos de crecimiento) y es intermedio en la dirección circunferencial. Esta anisotropía fue proporcionada por la evolución, ya que es la que mejor permite que el árbol permanezca erguido.
Debido a que el sistema de coordenadas preferido es cilíndrico-polar, este tipo de ortotropía también se denomina ortotropía polar.
Otro ejemplo de material ortotrópico es la lámina de metal formada comprimiendo secciones gruesas de metal entre rodillos pesados. Esto aplana y estira su estructura de grano. Como resultado, el material se vuelve anisotrópico: sus propiedades difieren entre la dirección en la que se laminó y cada una de las dos direcciones transversales. Este método se utiliza con ventaja en vigas estructurales de acero y en revestimientos de aviones de aluminio.
Si las propiedades ortotrópicas varían entre puntos dentro de un objeto, éste posee tanto ortotropía como falta de homogeneidad. Esto sugiere que la ortotropía es propiedad de un punto dentro de un objeto y no del objeto como un todo (a menos que el objeto sea homogéneo). Los planos de simetría asociados también se definen para una pequeña región alrededor de un punto y no necesariamente tienen que ser idénticos a los planos de simetría de todo el objeto.
Los materiales ortotrópicos son un subconjunto de materiales anisotrópicos; sus propiedades dependen de la dirección en la que se miden. Los materiales ortotrópicos tienen tres planos/ejes de simetría. Por el contrario, un material isotrópico tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. Se puede demostrar que un material que tiene dos planos de simetría debe tener un tercero. Los materiales isotrópicos tienen un número infinito de planos de simetría.
Los
materiales transversalmente isotrópicos son materiales ortotrópicos especiales que tienen un eje de simetría (cualquier otro par de ejes que sean perpendiculares al principal y ortogonales entre sí también son ejes de simetría). Un ejemplo común de material transversalmente isotrópico con un eje de simetría es un polímero reforzado con fibras paralelas de vidrio o grafito. La resistencia y rigidez de dicho material compuesto serán normalmente mayores en una dirección paralela a las fibras que en la dirección transversal, y la dirección del espesor suele tener propiedades similares a la dirección transversal. Otro ejemplo sería una membrana biológica, en la que las propiedades en el plano de la membrana serán diferentes a las de la dirección perpendicular. Se ha demostrado que las propiedades de los materiales ortotrópicos proporcionan una representación más precisa de la simetría elástica del hueso y también pueden brindar información sobre la direccionalidad tridimensional de las propiedades del material a nivel de tejido óseo.
Es importante tener en cuenta que un material que es anisotrópico en una escala de longitud puede ser isotrópico en otra escala de longitud (normalmente mayor). Por ejemplo, la mayoría de los metales son policristalinos con granos muy pequeños. Cada uno de los granos individuales puede ser anisótropo, pero si el material en su conjunto comprende muchos granos orientados aleatoriamente, entonces sus propiedades mecánicas medidas serán un promedio de las propiedades de todas las orientaciones posibles de los granos individuales.
Ortotropía en física
Relaciones de materiales anisotrópicos
El comportamiento material está representado en las teorías físicas por relaciones constitutivas. Una gran clase de comportamientos físicos se puede representar mediante modelos materiales lineales que toman la forma de un tensor de segundo orden. El tensor material proporciona una relación entre dos vectores y se puede escribir como
Donde son dos vectores que representan cantidades físicas y es el tensor de material de segunda orden. Si expresamos la ecuación anterior en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormal, podemos escribir
En la relación anterior se ha asumido la suma de índices repetidos. En forma matricial tenemos
En la siguiente tabla se enumeran ejemplos de problemas físicos que se ajustan al modelo anterior.
Problema
Conducción eléctrica
Corriente eléctrica
Campo eléctrico
Conductividad eléctrica
Dielectrics
Desplazamiento eléctrico
Campo eléctrico
Permiso eléctrico
Magnetismo
Inducción magnética
Campo magnético
Permeabilidad magnética
Conducción térmica
Flujo de calor
Gradiente de temperatura
Conductividad térmica
Diffusion
Flujo de partículas
Gradiente de concentración
Diffusivity
Flujo en medios porosos
Velocidad de líquido ponderado
Presión gradiente
Permeabilidad fluida
Condición para la simetría del material
La matriz material tiene una simetría con respecto a una transformación ortogonal dada () si no cambia cuando se somete a esa transformación.
Para la invariancia de las propiedades materiales bajo tal transformación necesitamos
Por lo tanto, la condición para la simetría material es (usando la definición de transformación ortogonal)
Las transformaciones ortogonales pueden ser representadas en coordenadas cartesianas por un matriz dado por
Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como
Propiedades del material ortotrópico
Un material ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonales. Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son
Se puede demostrar que si la matriz para un material es invariante bajo reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo reflexión sobre el tercer plano ortogonal.
Considerar la reflexión sobre el avión. Entonces tenemos
La relación anterior implica que . Siguiente considerar una reflexión sobre el avión. Entonces tenemos
Eso implica que . Por lo tanto, las propiedades materiales de un material ortotrópico se describen por la matriz
Ortotropía en elasticidad lineal
Elasticidad anisotrópica
En elasticidad lineal, la relación entre tensión y deformación depende del tipo de material considerado. Esta relación se conoce como ley de Hooke. Para materiales anisotrópicos, la ley de Hooke se puede escribir como
Donde es el tensor del estrés, es el tensor de tensión, y es el tensor de rigidez elástica. Si los tensores de la expresión anterior se describen en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormal podemos escribir
donde se ha asumido la suma de índices repetidos. Dado que los tensores de tensión y deformación son simétricos, y dado que la relación tensión-deformación en la elasticidad lineal se puede derivar de una función de densidad de energía de deformación, las siguientes simetrías son válidas para materiales elásticos lineales.
Debido a las simetrías anteriores, la relación tensión-deformación para materiales elásticos lineales se puede expresar en forma matricial como
Una representación alternativa en notación Voigt es
o
La matriz de rigidez en la relación anterior sátites punto simetría.
Condición para la simetría del material
La matriz de rigidez satisface una condición de simetría dada si no cambia cuando se somete a la transformación ortogonal correspondiente. La transformación ortogonal puede representar simetría con respecto a un punto, un eje o un plano. Las transformaciones ortogonales en elasticidad lineal incluyen rotaciones y reflexiones, pero no forman transformaciones cambiantes y pueden ser representadas, en coordenadas ortonormales, por una matriz dado por
En la notación Voigt, la matriz de transformación para la tensión tensor se puede expresar como matriz dado por
La transformación para el tensor de deformación tiene una forma ligeramente diferente debido a la elección de la notación. Esta matriz de transformación es
Se puede demostrar que .
Las propiedades elásticas de un continuum son invariantes bajo una transformación ortogonal si
Matrices de rigidez y elasticidad en elasticidad ortotrópica
Un material elástico ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonales. Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son
Podemos demostrar que si la matriz para un material elástico lineal es invariante bajo reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo reflexión sobre el tercer plano ortogonal.
Si consideramos la reflexión sobre el avión, entonces tenemos
Entonces el requisito implica que
El requisito anterior se puede cumplir sólo si
Consideremos la siguiente reflexión sobre el avión. En ese caso
Usando nuevamente la condición de invariancia, obtenemos el requisito adicional de que
No se puede obtener más información porque la reflexión sobre el tercer plano de simetría no es independiente de las reflexiones sobre los planos que ya hemos considerado. Por lo tanto, la matriz de rigidez de un material elástico lineal ortotrópico se puede escribir como
La inversa de esta matriz se escribe comúnmente como
Donde es el módulo de Young a lo largo del eje , es el módulo de esquila en la dirección en el plano cuya normalidad está en dirección , y es la relación del Poisson que corresponde a una contracción en dirección cuando se aplica una extensión en dirección .
Límites de los módulos de materiales elásticos ortotrópicos
La relación deformación-tensión para materiales elásticos lineales ortotrópicos se puede escribir en notación de Voigt como
donde la matriz de cumplimiento es dado por
La matriz de cumplimiento es simétrica y debe ser positiva definida para que la densidad de energía de deformación sea positiva. Esto implica, según el criterio de Sylvester, que todos los menores principales de la matriz son positivos, es decir,
Donde es submatrix principal .
Entonces,
Podemos demostrar que este conjunto de condiciones implica que
o
Sin embargo, no se pueden colocar límites inferiores similares en los valores de las ratios de Poisson .
