Material maxwell

Un material Maxwell es el modelo más simple de material viscoelástico que muestra las propiedades de un líquido típico. Muestra un flujo viscoso en una escala de tiempo larga, pero una resistencia elástica adicional a las deformaciones rápidas. Lleva el nombre de James Clerk Maxwell, quien propuso el modelo en 1867. También se lo conoce como fluido de Maxwell.

Definición

El modelo Maxwell está representado por un amortiguador puramente viscoso y un resorte puramente elástico conectado en serie, como se muestra en el diagrama. En esta configuración, bajo un estrés axial aplicado, el estrés total, ${displaystyle sigma _{mathrm {Total}}$ y la tensión total, ${displaystyle varepsilon _{mathrm {Total}}$ puede definirse como sigue:

${displaystyle sigma _{mathrm {Total}=sigma ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle varepsilon _{mathrm {Total}=varepsilon _{D}+varepsilon ¿Qué?$

donde el subíndice D indica la tensión-deformación en el amortiguador y el subíndice S indica la tensión-deformación en el resorte. Tomando la derivada de la deformación respecto del tiempo, obtenemos:

${displaystyle {frac {varepsilon - ¿Qué? } {dt}={frac {dvarepsilon ¿Qué? ¿Qué? {sigma}{eta }+{frac {1} {fn} {fnK}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}} {f}}}} {f}}}} {fn}}} {f}} {f}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}f}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}f}f}f}f}}fn$

donde E es el módulo elástico y η es el coeficiente de viscosidad del material. Este modelo describe el amortiguador como un fluido newtoniano y modela el resorte con la ley de Hooke.

Si, en cambio, conectamos estos dos elementos en paralelo, obtenemos el modelo generalizado de un material sólido de Kelvin-Voigt.

En un material de Maxwell, la tensión σ, la deformación ε y sus tasas de cambio con respecto al tiempo t se rigen por ecuaciones de la forma:

${fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}}} {f}}} {fnMicroc} {dsigma}{dt}+{frac} {sigma}{eta }={frac {dvarepsilon } {dt}}$

o, en notación de puntos:

${displaystyle {frac { dot {sigma - ¿Qué? }={dot {varepsilon }$

La ecuación se puede aplicar ya sea al esfuerzo cortante o a la tensión uniforme en un material. En el primer caso, la viscosidad corresponde a la de un fluido newtoniano. En el último caso, tiene un significado ligeramente diferente al relacionar el estrés y la tasa de deformación.

El modelo se suele aplicar al caso de pequeñas deformaciones. Para las grandes deformaciones deberíamos incluir cierta no linealidad geométrica. Para conocer la forma más sencilla de generalizar el modelo de Maxwell, consulte el modelo de Maxwell de convección superior.

Efecto de una deformación repentina

Si un material Maxwell es repentinamente deformado y mantenido a una cepa ${displaystyle varepsilon ¿Qué?$, entonces el estrés se descompone en una escala de tiempo característica ${displaystyle {frac {fnMicroc} } {E}$, conocido como el tiempo de relajación. El fenómeno se conoce como relajación del estrés.

La imagen muestra dependencia del estrés sin dimensiones ${displaystyle {frac {sigma (t)}{Evarepsilon ♪♪$ sobre el tiempo sin dimensiones ${displaystyle {frac}{eta} No.$:

Si liberamos el material a tiempo ${displaystyle T_{1}$, entonces el elemento elástico volverá por el valor de

${displaystyle varepsilon _{mathrm {back}=-{frac {sigma (t_{1} {E}=varepsilon ¿Por qué? - Sí.$

Dado que el elemento viscoso no volvería a su longitud original, el componente irreversible de la deformación se puede simplificar a la siguiente expresión:

${displaystyle varepsilon _{mathrm {irreversible} }=varepsilon _{0}left(1-exp left(-{frac {E}{eta - Sí.$

Efecto de un estrés repentino

Si un material Maxwell es repentinamente sometido a estrés ${displaystyle sigma ¿Qué?$, entonces el elemento elástico de repente se deforme y el elemento viscoso se deformaría con una tasa constante:

${displaystyle varepsilon (t)={frac {sigma ¿Qué? {sigma ¿Qué? }$

Si en algún momento ${displaystyle T_{1}$ liberamos el material, entonces la deformación del elemento elástico sería la deformación primavera-back y la deformación del elemento viscoso no cambiaría:

${displaystyle varepsilon _{mathrm {reversible} }={frac {sigma ¿Qué?$

${displaystyle varepsilon _{mathrm {irreversible} }=t_{1}{frac {sigma ¿Qué? }}$

El modelo de Maxwell no presenta fluencia ya que modela la deformación como función lineal del tiempo.

Si se aplica una pequeña tensión durante un tiempo suficientemente largo, las deformaciones irreversibles se vuelven grandes. Por tanto, el material de Maxwell es un tipo de líquido.

Efecto de una tasa de deformación constante

Si un material Maxwell está sujeto a una tasa de tensión constante ${displaystyle { dot {epsilon }$entonces el estrés aumenta, alcanzando un valor constante

${displaystyle sigma =eta {varepsilon }$

En general

${displaystyle sigma (t)=eta {dot {varepsilon } {1-e^{-Et/eta}}}$

Módulo dinámico

El módulo dinámico complejo de un material de Maxwell sería:

${displaystyle E^{*}(omega)={1}{1/E-i/(omega eta)}={frac {Eeta }omega }+iomega E^{2}eta }{eta ^{2}omega.$

Así, los componentes del módulo dinámico son:

${displaystyle E_{1}(omega)={frac {Eeta ^{2}omega ^{2}{eta)}{eta ^{2}omega ^{2}+E^{2}}={frac {eta /E)^{2}omega ^{2}{(eta /E)^{2}omega ^{2}+1}E={frac {tau ^{2}omega ^{2}{tau ^{2}omega ^{2}+1}E}$

y

${displaystyle E_{2}(omega)={frac {omega E^{2}eta }{eta ^{2}omega ^{2}+E^{2}}={frac {eta /E)omega }{(eta /E)^{2}omega E={frac {tau omega # {tau ^{2}omega ^{2}+1}E}$

La imagen muestra espectro de relajación para el material Maxwell. El tiempo de relajación constante es ${displaystyle tau equiv eta /E}$.

Curva azul	modulo elástico sin dimensión ${displaystyle {frac {fnK} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {$
Curva rosa	módulo sin dimensiones de las pérdidas ${displaystyle {frac {fnK} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}} {fnK}}}}}}} {fn}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}$
Curva amarilla	viscosidad aparente sin dimensión ${displaystyle {frac {fnK}{omega eta }$
Eje X	frecuencia sin dimensiones ${displaystyle omega tau }$.