Material granular

Un material granular es un conglomerado de partículas macroscópicas sólidas discretas caracterizadas por una pérdida de energía cada vez que las partículas interactúan (el ejemplo más común sería la fricción cuando los granos chocan). Los constituyentes que componen el material granular son lo suficientemente grandes como para no estar sujetos a fluctuaciones del movimiento térmico. Por tanto, el límite de tamaño inferior para los granos en material granular es aproximadamente 1 µm. En el límite superior de tamaño, la física de los materiales granulares se puede aplicar a témpanos de hielo donde los granos individuales son icebergs y a cinturones de asteroides del Sistema Solar en los que los granos individuales son asteroides.

Algunos ejemplos de materiales granulares son la nieve, las nueces, el carbón, la arena, el arroz, el café, los copos de maíz, la sal y las bolas de rodamiento. Por tanto, la investigación sobre materiales granulares es directamente aplicable y se remonta al menos a Charles-Augustin de Coulomb, cuya ley de fricción se estableció originalmente para los materiales granulares. Los materiales granulares son comercialmente importantes en aplicaciones tan diversas como la industria farmacéutica, la agricultura y la producción de energía.

Los polvos son una clase especial de material granular debido a su pequeño tamaño de partícula, lo que los hace más cohesivos y más fácilmente suspendidos en un gas.

El soldado y físico brigadier Ralph Alger Bagnold fue uno de los primeros pioneros de la física de la materia granular y cuyo libro The Physics of Blown Sand and Desert Dunes sigue siendo una referencia importante hasta el día de hoy. Según el científico de materiales Patrick Richard, "los materiales granulares se encuentran en todas partes en la naturaleza y son el segundo material más manipulado en la industria (el primero es el agua)".

En cierto sentido, los materiales granulares no constituyen una sola fase de la materia sino que tienen características que recuerdan a los sólidos, líquidos o gases dependiendo de la energía promedio por grano. Sin embargo, en cada uno de estos estados, los materiales granulares también exhiben propiedades que son únicas.

Los materiales granulares también exhiben una amplia gama de comportamientos de formación de patrones cuando se excitan (por ejemplo, se vibran o se les permite fluir). Como tales, los materiales granulares bajo excitación pueden considerarse como un ejemplo de un sistema complejo. También muestran inestabilidades basadas en fluidos y fenómenos como el efecto Magnus.

Definiciones

La materia granular es un sistema compuesto por muchas partículas macroscópicas. Las partículas microscópicas (átomos/moléculas) se describen (en mecánica clásica) por todos los grados de libertad del sistema. Las partículas macroscópicas se describen únicamente por el grado de libertad del movimiento de cada partícula como un cuerpo rígido. En cada partícula hay muchos DOF internos. Considere la colisión inelástica entre dos partículas: la energía de la velocidad como cuerpo rígido se transfiere a un DOF interno microscópico. Obtenemos "Disipación": generación de calor irreversible. El resultado es que sin un impulso externo, eventualmente todas las partículas dejarán de moverse. En las partículas macroscópicas las fluctuaciones térmicas son irrelevantes.

Cuando una materia está diluida y dinámica (impulsada), se llama gas granular y domina el fenómeno de disipación.

Cuando una materia es densa y estática, se llama sólido granular y domina el fenómeno de interferencia.

Cuando la densidad es intermedia, entonces se llama líquido granular.

Comportamientos estáticos

Ley de fricción de Coulomb

Coulomb consideró fuerzas internas entre partículas granulares como un proceso de fricción, y propuso la ley de fricción, que la fuerza de fricción de partículas sólidas es proporcional a la presión normal entre ellas y el coeficiente de fricción estática es mayor que el coeficiente de fricción cinética. Estudió el colapso de las pilas de arena y encontró empíricamente dos ángulos críticos: el ángulo máximo estable ${\displaystyle \theta ¿Qué?$ y el ángulo mínimo de reposo ${\displaystyle \theta _{r}$. Cuando la pendiente de arena alcanza el ángulo máximo estable, las partículas de arena en la superficie de la pila comienzan a caer. El proceso se detiene cuando el ángulo de inclinación superficial es igual al ángulo de reposo. La diferencia entre estos dos ángulos, ${\displaystyle \Delta \theta = 'theta ♪ {m}- 'theta ¿Qué?$, es el ángulo Bagnold, que es una medida de la histeresis de materiales granulares. Este fenómeno se debe a las cadenas de fuerza: el estrés en un sólido granular no se distribuye uniformemente, sino que se lleva a cabo a lo largo de las llamadas cadenas de fuerza que son redes de granos que descansan entre sí. Entre estas cadenas hay regiones de bajo estrés cuyos granos están protegidos por los efectos de los granos arriba por la bóveda y el arqueo. Cuando el estrés del tirón alcanza cierto valor, las cadenas de fuerza pueden romperse y las partículas al final de las cadenas en la superficie comienzan a deslizarse. Entonces, nuevas cadenas de fuerza se forman hasta que el estrés de la ola es inferior al valor crítico, y por lo tanto la espinilla mantiene un ángulo constante de reposo.

Efecto Janssen

En 1895, H. A. Janssen descubrió que en un cilindro vertical lleno de partículas, la presión medida en la base del cilindro no depende de la altura del llenado, a diferencia de los fluidos newtonianos en reposo que siguen la ley de Stevin. . Janssen sugirió un modelo simplificado con los siguientes supuestos:

1) La presión vertical, ${\displaystyle \sigma _{zz}$, es constante en el plano horizontal;

2) La presión horizontal, ${\displaystyle \sigma _{rrr}$, es proporcional a la presión vertical ${\displaystyle \sigma _{zz}$, donde ${\displaystyle K={\frac {\sigma _{} {\sigma}} {\s}}} {\s}}} {\s}}} {\sigma}} {\s}}}}}}} {\sigma}} {\s}}}}}}}} {\sigma}} {\sigma}}}}}}} {\sigma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\sigma}}}}}} {\sigma}} {\sigma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\sigma} {\sigma} {\sigma}}}}}}}}} {\sigma}}}}}}}}}}} {\sigma}}}}}}}}}} {\sigma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ es constante en el espacio;

3) El coeficiente estático de fricción de pared ${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma {\fnK}{\sigma} ♪♪$ sostiene la carga vertical en el contacto con la pared;

4) La densidad del material es constante en todas las profundidades.

La presión en el material granular se describe entonces en una ley diferente, que explica la saturación:

$${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda)}$$

${\displaystyle \lambda = {R}{2\mu] K}$

${\displaystyle R.$

${\displaystyle z=0}$

La ecuación de presión dada no tiene en cuenta las condiciones límite, como la relación entre el tamaño de las partículas y el radio del silo. Dado que la tensión interna del material no se puede medir, las especulaciones de Janssen no han sido verificadas mediante ningún experimento directo.

Estrés de Rowe - Relación de dilatación

A principios de la década de 1960, Rowe estudió el efecto de la dilatancia sobre la resistencia al corte en pruebas de corte y propuso una relación entre ellos.

Las propiedades mecánicas de montaje de partículas monodispersadas en 2D se pueden analizar en base al volumen primario representativo, con longitudes típicas, ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}$, en direcciones verticales y horizontales respectivamente. Las características geométricas del sistema se describen por ${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}{\ell _{2}}}$ y la variable ${\displaystyle \beta }$, que describe el ángulo cuando los puntos de contacto comienzan el proceso de deslizamiento. Denote by ${\displaystyle \sigma _{11}$ la dirección vertical, que es la dirección del mayor estrés principal, y por ${\displaystyle \sigma _{22}$ la dirección horizontal, que es la dirección del estrés principal menor.

Luego el estrés en el límite se puede expresar como la fuerza concentrada que soportan las partículas individuales. Bajo carga biaxial con estrés uniforme ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$ por lo tanto ${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$.

En estado de equilibrio:

$${\displaystyle {\frac {\f}{F_{22}={\frac} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f} {\sigma _{11}\ell _{2}{\sigma _{22}\ell _{1}}=\tan(\theta +\beta)}$$

Donde ${\displaystyle \theta }$, el ángulo de fricción, es el ángulo entre la fuerza de contacto y la dirección normal de contacto.

${\displaystyle \theta _{\mu }$, que describe el ángulo de que si la fuerza tangencial cae dentro del cono de fricción las partículas todavía permanecerían estables. Está determinado por el coeficiente de fricción ${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}$, entonces ${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }$. Una vez que el estrés se aplica al sistema, entonces ${\displaystyle \theta }$ aumenta gradualmente ${\displaystyle \alpha\beta}$ permanece sin cambios. Cuando ${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }$ entonces las partículas comenzarán a deslizarse, dando como resultado cambiar la estructura del sistema y crear nuevas cadenas de fuerza. ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}$, los desplazamientos horizontales y verticales respectivamente satisfies:

$${\displaystyle {\frac {\ dot {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\Delta ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué?$$

Gases granulares

Si el material granular se impulsa con más fuerza de modo que los contactos entre los granos se vuelven muy poco frecuentes, el material entra en un estado gaseoso. En consecuencia, se puede definir una temperatura granular igual a la raíz cuadrática media de las fluctuaciones de la velocidad del grano que es análoga a la temperatura termodinámica. A diferencia de los gases convencionales, los materiales granulares tenderán a agruparse debido a la naturaleza disipativa de las colisiones entre granos. Esta agrupación tiene algunas consecuencias interesantes. Por ejemplo, si una caja de materiales granulares parcialmente dividida se agita vigorosamente, con el tiempo los granos tenderán a acumularse en una de las particiones en lugar de esparcirse uniformemente en ambas particiones como sucedería en un gas convencional. Este efecto, conocido como el demonio granular de Maxwell, no viola ningún principio de termodinámica ya que el sistema pierde energía constantemente en el proceso.

Modelo Ulam

Considerar ${\displaystyle N}$ partículas, partículas ${\displaystyle i}$ tener energía ${\displaystyle \varepsilon _{i}$. A un ritmo constante por unidad de tiempo, elegir al azar dos partículas ${\displaystyle i,j}$ con energías ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon ¿Qué?$ y computar la suma ${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}$. Ahora, distribuya aleatoriamente la energía total entre las dos partículas: elija aleatoriamente ${\displaystyle z\in \left[0,1\right]$ para que la primera partícula, después de la colisión, tenga energía ${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$, y el segundo ${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon) _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$.

La ecuación de evolución estocástica:

$${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t) limitprobability:\,1-\Gamma dt\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)$$

${\displaystyle "Gamma"$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle \left[0,1\right]$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\rangle ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

El segundo momento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon ¿Qué? _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon ¿Por qué? +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}$

Ahora el tiempo derivado del segundo momento:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle {}{dt}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle } {dt}=-{\dfrac {\fnMicrosoft Sans Serif} }{3}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2}Gamma }{3}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}$

En estado estable:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle } {dt}=0\ Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}$

Resolviendo la ecuación diferencial para el segundo momento:

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fn}}}}}} {\fn}}} {\fnK}} {\fn}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Sin embargo, en lugar de caracterizar los momentos, podemos resolver analíticamente la distribución de energía, desde el momento de generar función. Considere la transformación de Laplace: ${\displaystyle g(\lambda)=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon)d\varepsilon }$.

Donde ${\displaystyle g(0)=1}$, y ${\displaystyle {\dfrac {}{d\lambda }=-\int _{0} {\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon)d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$

la derivada n:

${\displaystyle {\dfrac {}{n}{d\lambda }=\left(-1\right)}{n}\int ¿Por qué? =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$

Ahora:

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)} {1-\Gamma t\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}{i} {\vareend]$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambdat+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambdat\right)+\ Gamma dt\int - ¿Qué? {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle }dz}$

Solving for ${\displaystyle g(\lambda)}$ con cambio de variables ${\displaystyle \delta =\lambda z}$:

${\displaystyle \lambda g(\lambda)=\int _{0}{\lambda }g^{2}(\delta)d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda)+g(\lambda)=g^{2}(\lambda)\Rightarrow g(\lambda)={1\dfrac T+1}}$

Vamos a mostrar que ${\displaystyle \rho (\varepsilon)={\dfrac {1} {\fnMicroc {\varepsilon} ♪♪$ (Boltzmann Distribución) tomando su Laplace transformar y calcular la función generadora:

${\displaystyle \int _{0}{\infty}{\dfrac {1} {\fnMicroc {\varepsilon} }\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}\int ¿Por qué? Varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda) - ¿Por qué? "varepsilon" - ¿Qué? T+1}=g(\lambda)}$

Transición de jamming

Los sistemas granulares son conocidos por exhibir interferencias y someterse a una transición de interferencia que se considera una transición de fase termodinámica a un estado atascado. La transición es de fase similar al fluido a fase sólida y está controlada por temperatura, ${\displaystyle T}$, fracción de volumen, ${\displaystyle \phi }$, y derrame el estrés, ${\displaystyle \Sigma$. El diagrama de fase normal de transición de vidrio está en el ${\displaystyle \phi ^{-1}-T}$ plano y se divide en una región de estado atascado y estado líquido inalterado por una línea de transición. El diagrama de fase para la materia granular está en el ${\displaystyle \phi ^{-1}-\ Sigma$ plano, y la curva de estrés crítica ${\displaystyle \Sigma (\phi)}$ divide la fase del estado para la región atascada\unjammed, que corresponde a sólidos granulares\liquids respectivamente. Para el sistema granular atascado isotropicamente, cuando ${\displaystyle \phi }$ se reduce alrededor de cierto punto, ${\displaystyle J}$, el módulo de vracs y jerarcas se acerca 0. El ${\displaystyle J}$ El punto corresponde a la fracción de volumen crítico ${\displaystyle \phi _{c}$. Definir la distancia al punto ${\displaystyle J}$, la fracción de volumen crítico, ${\displaystyle \Delta \phi \equiv \phi -\phi _{c}$. El comportamiento de los sistemas granulares cerca de ${\displaystyle J}$ El punto se encontró empíricamente para parecerse a la transición de segundo orden: el módulo de vracs muestra una ley de poder escalando con ${\displaystyle \Delta \phi }$ y hay algunas características divergentes longitudes cuando ${\displaystyle \Delta \phi }$ enfoques cero. Mientras tanto ${\displaystyle \phi _{c}$ es constante para un sistema infinito, para un sistema finito los efectos de los límites resultan en una distribución ${\displaystyle \phi _{c}$ sobre algún rango.

El algoritmo de interferencia de Lubachevsky-Stillinger permite producir configuraciones granulares atascadas simuladas.

Formación de patrones

La materia granular excitada es un rico sistema formador de patrones. Algunos de los comportamientos de formación de patrones observados en materiales granulares son:

• La inmezcla o segregación de granos no similares bajo vibración y flujo. Un ejemplo de esto es el denominado efecto nuez de Brasil, donde las nueces de Brasil se elevan a la parte superior de un paquete de nueces mezcladas al sacudirse. La causa de este efecto es que cuando los materiales batidos, granulares (y otros) se mueven en un patrón circular. algunos materiales más grandes (nueces de Brasil) se atascan mientras bajan por el círculo y por lo tanto permanecen en la parte superior.
• La formación de patrones estructurados de superficie o vracs en capas granulares vibradas. Estos patrones incluyen pero no se limitan a rayas, cuadrados y hexágonos. Estos patrones se consideran formados por excitaciones fundamentales de la superficie conocida como oscilones. La formación de estructuras volumétricas ordenadas en materiales granulares se conoce como Cristalización Granular, e implica una transición de un embalaje aleatorio de partículas a un embalaje ordenado como cúbico hexagonal o centrado en el cuerpo. Esto se observa más comúnmente en materiales granulares con distribuciones de tamaño estrecho y morfología uniforme de granos.
• La formación de ondas de arena, dunas y hojas de arena

Algunos de los comportamientos que forman patrones han sido posibles de reproducir en simulaciones por computadora. Hay dos enfoques computacionales principales para tales simulaciones, escalonadas en el tiempo y basadas en eventos, siendo la primera la más eficiente para una mayor densidad del material y los movimientos de menor intensidad, y la segunda para una menor densidad del material y los movimientos de mayor intensidad.

Efectos acústicos

Algunas arenas de playa, como las de la acertadamente llamada Squeaky Beach, chirrían cuando se camina sobre ellas. Se sabe que algunas dunas del desierto exhiben estallidos durante las avalanchas o cuando su superficie se altera de otro modo. Los materiales granulares descargados de los silos producen fuertes emisiones acústicas en un proceso conocido como bocina del silo.

Granulación

La granulación es el acto o proceso en el que las partículas primarias de polvo se adhieren para formar entidades multipartículas más grandes llamadas gránulos.

Cristalización

Cuando el agua u otros líquidos se enfrían suficientemente lentamente, las moléculas posicionadas aleatoriamente reorganizan y los cristales sólidos emergen y crecen. Un proceso similar de cristalización puede ocurrir en materiales granulares empaquetados aleatoriamente. A diferencia de la eliminación de energía mediante el enfriamiento, la cristalización en material granular se logra mediante la conducción externa. Se ha observado que el pedido o la cristalización de materiales granulares ocurren periódicamente en materia granular derramada y vibrada. En contraste con los sistemas moleculares, las posiciones de las partículas individuales pueden ser rastreadas en el experimento. Simulaciones de computación para un sistema de granos esféricos revelan que la cristalización homogénea emerge a una fracción de volumen ${\displaystyle \phi =0.646\pm 0.001}$. Las simulaciones de ordenador identifican los ingredientes mínimos necesarios para la cristalización granular. En particular, la gravedad y la fricción no son necesarias.

Modelado computacional de materiales granulares

Hay varios métodos disponibles para modelar materiales granulares. La mayoría de estos métodos consisten en métodos estadísticos mediante los cuales se extraen y utilizan diversas propiedades estadísticas, derivadas de datos puntuales o de una imagen, para generar modelos estocásticos del medio granular. Una revisión reciente y completa de dichos métodos está disponible en Tahmasebi y otros (2017). Otra alternativa para construir un paquete de partículas granulares que se ha presentado recientemente se basa en el algoritmo de conjunto de niveles mediante el cual se puede capturar y reproducir la forma real de la partícula a través de las estadísticas extraídas de las partículas. morfología.