Matematicas puras

La matemática pura es el estudio de conceptos matemáticos independientemente de cualquier aplicación fuera de las matemáticas. Estos conceptos pueden originarse en preocupaciones del mundo real, y los resultados obtenidos pueden resultar más tarde útiles para aplicaciones prácticas, pero los matemáticos puros no están motivados principalmente por tales aplicaciones. Más bien, el atractivo se atribuye al desafío intelectual y la belleza estética de elaborar las consecuencias lógicas de los principios básicos.

Si bien las matemáticas puras han existido como actividad al menos desde la antigua Grecia, el concepto se desarrolló alrededor del año 1900, después de la introducción de teorías con propiedades contraintuitivas (como las geometrías no euclidianas y las teorías de Cantor). teoría de conjuntos infinitos) y el descubrimiento de paradojas aparentes (como funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte y la paradoja de Russell). Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matemático y reescribir todas las matemáticas en consecuencia, con un uso sistemático de métodos axiomáticos. Esto llevó a muchos matemáticos a centrarse en las matemáticas por sí mismas, es decir, en las matemáticas puras.

Sin embargo, casi todas las teorías matemáticas siguieron motivadas por problemas provenientes del mundo real o de teorías matemáticas menos abstractas. Además, muchas teorías matemáticas, que parecían ser matemáticas totalmente puras, finalmente se utilizaron en áreas aplicadas, principalmente la física y la informática. Un ejemplo temprano y famoso es la demostración de Isaac Newton de que su ley de gravitación universal implicaba que los planetas se mueven en órbitas que son secciones cónicas, curvas geométricas que habían sido estudiadas en la antigüedad por Apolonio. Otro ejemplo es el problema de factorizar números enteros grandes, que es la base del criptosistema RSA, ampliamente utilizado para proteger las comunicaciones por Internet.

De ello se deduce que, actualmente, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más un punto de vista filosófico o una preferencia de los matemáticos que una subdivisión rígida de las matemáticas. En particular, no es raro que algunos miembros de un departamento de matemáticas aplicadas se describan a sí mismos como matemáticos puros.

Historia

Antigua Grecia

Los antiguos matemáticos griegos estuvieron entre los primeros en hacer una distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Platón ayudó a crear la brecha entre la "aritmética", ahora llamada teoría de números, y la "logística", ahora llamada aritmética. Platón consideraba que la logística (aritmética) era apropiada para los hombres de negocios y hombres de guerra que "deben aprender el arte de los números o [no] sabrán cómo organizar [sus] tropas"; y la aritmética (teoría de números) como apropiada para los filósofos "porque [tienen] que surgir del mar del cambio y asirse al verdadero ser". Euclides de Alejandría, cuando uno de sus estudiantes le preguntó para qué servía el estudio de la geometría, pidió a su esclavo que le diera tres peniques al estudiante, "ya que debe sacar provecho de lo que aprende". Al matemático griego Apolonio de Perga se le preguntó sobre la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro IV de las Cónicas a lo que afirmó con orgullo:

Son dignos de aceptación por el bien de las manifestaciones mismas, de la misma manera que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esto y por ninguna otra razón.

Y dado que muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o la ingeniería de su época, Apolonio argumentó además en el prefacio del quinto libro de Cónicas que el tema es uno de los que & # 8217 34;...parecen dignos de estudio por sí mismos."

Siglo XIX

El término en sí está consagrado en el título completo de la Cátedra Sadleiriana, "Profesor Sadleiriano de Matemática Pura", fundada (como cátedra) a mediados del siglo XIX. Es posible que en aquella época haya surgido la idea de una disciplina separada de matemáticas puras. La generación de Gauss no hizo ninguna distinción radical de este tipo entre puro y aplicado. En los años siguientes, la especialización y la profesionalización (particularmente en el enfoque de Weierstrass sobre el análisis matemático) comenzaron a hacer más evidente una brecha.

Siglo XX

A principios del siglo XX, los matemáticos adoptaron el método axiomático, fuertemente influenciados por el ejemplo de David Hilbert. La formulación lógica de las matemáticas puras sugerida por Bertrand Russell en términos de una estructura cuantificadora de proposiciones parecía cada vez más plausible, a medida que grandes partes de las matemáticas se volvieron axiomatizadas y, por lo tanto, sujetas a los criterios simples de una prueba rigurosa.

Pure mathematics, according to a view that can be ascribed to the Bourbaki group, is what is proved. "Pure mathematician#34; became a recognized vocation, achievable through training.

Se argumentó que las matemáticas puras son útiles en la educación en ingeniería:

Hay una formación en hábitos de pensamiento, puntos de vista y comprensión intelectual de los problemas de ingeniería ordinario, que sólo puede dar el estudio de matemáticas superiores.

Generalidad y abstracción

Un concepto central en matemáticas puras es la idea de generalidad; Las matemáticas puras a menudo muestran una tendencia hacia una mayor generalidad. Los usos y ventajas de generalidad incluyen los siguientes:

• Generalizar teoremas o estructuras matemáticas puede llevar a una comprensión más profunda de los teoremas originales o estructuras
• La generalidad puede simplificar la presentación del material, dando lugar a pruebas o argumentos más cortos que son más fáciles de seguir.
• Uno puede utilizar la generalidad para evitar la duplicación de esfuerzos, demostrando un resultado general en lugar de tener que probar casos separados independientemente, o utilizando resultados de otras áreas de matemáticas.
• La generalidad puede facilitar las conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas. La teoría de la categoría es un área de las matemáticas dedicadas a explorar esta comúnidad de la estructura como se juega en algunas áreas de matemáticas.

El impacto de la generalidad en la intuición depende tanto del tema como de una cuestión de preferencia personal o estilo de aprendizaje. A menudo la generalidad se considera un obstáculo para la intuición, aunque ciertamente puede funcionar como una ayuda para ella, especialmente cuando proporciona analogías con material para el que ya se tiene una buena intuición.

Como excelente ejemplo de generalidad, el programa de Erlangen implicó una expansión de la geometría para dar cabida a geometrías no euclidianas, así como al campo de la topología y otras formas de geometría, al considerar la geometría como el estudio de un espacio junto con un grupo de transformaciones. El estudio de los números, llamado álgebra en el nivel inicial de pregrado, se extiende al álgebra abstracta en un nivel más avanzado; y el estudio de funciones, llamado cálculo en el nivel de primer año de la universidad, se convierte en análisis matemático y análisis funcional en un nivel más avanzado. Cada una de estas ramas de las matemáticas más abstractas tiene muchas subespecialidades y, de hecho, existen muchas conexiones entre las disciplinas de las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. A mediados del siglo XX se observó un fuerte aumento en la abstracción.

En la práctica, sin embargo, estos desarrollos condujeron a una marcada divergencia con la física, particularmente entre 1950 y 1983. Más tarde, esto fue criticado, por ejemplo por Vladimir Arnold, como demasiado Hilbert, poco Poincaré. La cuestión aún no parece estar resuelta, en el sentido de que la teoría de cuerdas tira en una dirección, mientras que las matemáticas discretas retroceden hacia la demostración como central.

Matemáticas puras versus aplicadas

Los matemáticos siempre han tenido opiniones diferentes con respecto a la distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Uno de los ejemplos modernos más famosos (pero quizás incomprendido) de este debate se puede encontrar en G.H. Ensayo de Hardy de 1940 La disculpa de un matemático.

Se cree ampliamente que Hardy consideraba que las matemáticas aplicadas eran feas y aburridas. Si bien es cierto que Hardy prefería las matemáticas puras, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía, Hardy consideraba que la distinción entre matemáticas puras y aplicadas era simplemente que las matemáticas aplicadas buscaban expresar la verdad física en un marco matemático., mientras que las matemáticas puras expresaban verdades que eran independientes del mundo físico. Hardy hizo una distinción separada en matemáticas entre lo que llamó "real" y lo que él llamó "real". matemáticas, "que tienen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen utilidad práctica.

Hardy consideraba que algunos físicos, como Einstein y Dirac, se encontraban entre los físicos "reales" matemáticos, pero en el momento en que escribía su Apología consideraba que la relatividad general y la mecánica cuántica eran "inútiles", lo que le permitió sostener la opinión de que sólo "aburrido" las matemáticas fueron útiles. Además, Hardy admitió brevemente que, así como la aplicación de la teoría matricial y de la teoría de grupos a la física había llegado inesperadamente, podría llegar el momento en que algunos tipos de fenómenos hermosos y "reales" podrían llegar a ser una realidad. Las matemáticas también pueden ser útiles.

Otro punto de vista revelador lo ofrece el matemático estadounidense Andy Magid:

Siempre he pensado que un buen modelo aquí podría ser extraído de la teoría del anillo. En ese tema, uno tiene las subareas de la teoría del anillo conmutativa y la teoría del anillo no-commutante. Un observador no informado podría pensar que estos representan una dicotomía, pero de hecho este último subsume el primero: un anillo no-commutante es un anillo no-necesariamente-commutante. Si utilizamos convenciones similares, entonces podríamos referirnos a matemáticas aplicadas y matemáticas no aplicadas, donde por este último nosotros matemáticas no aplicadas innecesariamente... [énfasis añadido]

Friedrich Engels argumentó en su libro de 1878 Anti-Dühring que “no es del todo cierto que en matemáticas puras la mente se ocupe únicamente de sus propias creaciones e imaginaciones”. Los conceptos de número y figura no han sido inventados a partir de ninguna fuente distinta del mundo de la realidad". Sostuvo además que "Antes de que a uno se le ocurriera la idea de deducir la forma de un cilindro a partir de la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, debieron haberse examinado varios rectángulos y cilindros reales, por imperfectos que fueran sus formas".. Como todas las demás ciencias, las matemáticas surgieron de las necesidades de los hombres... Pero, como en todos los departamentos del pensamiento, en una determinada etapa de desarrollo las leyes, que fueron abstraídas del mundo real, se divorcian del mundo real, y se oponen a él como algo independiente, como leyes que vienen del exterior, a las que el mundo tiene que ajustarse."