Matemáticas islámica medieval

Las matemáticas durante la Edad de Oro del Islam, especialmente durante los siglos IX y X, se basaron en las matemáticas griegas (Euclides, Arquímedes, Apolonio) y las matemáticas indias (Aryabhata, Brahmagupta). Se lograron avances importantes, como el desarrollo completo del sistema de valor posicional decimal para incluir fracciones decimales, el primer estudio sistematizado de álgebra y avances en geometría y trigonometría.

Las obras árabes desempeñaron un papel importante en la transmisión de las matemáticas a Europa durante los siglos X al XII.

Conceptos

Álgebra

El estudio del álgebra, cuyo nombre se deriva de la palabra árabe que significa finalización o "reunión de partes rotas", floreció durante la edad de oro islámica. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, un erudito persa en la Casa de la Sabiduría en Bagdad fue el fundador del álgebra, es junto con el matemático griego Diofanto, conocido como el padre del álgebra. En su libro The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, Al-Khwarizmi trata formas de resolver las raíces positivas de ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado (lineales y cuadráticas). Introduce el método de reducción y, a diferencia de Diofanto, también da soluciones generales para las ecuaciones que trata.

El álgebra de Al-Khwarizmi era retórica, lo que significa que las ecuaciones se escribieron en oraciones completas. Esto era diferente al trabajo algebraico de Diofanto, que era sincopado, lo que significa que se usa algún simbolismo. La transición al álgebra simbólica, donde solo se usan símbolos, se puede ver en el trabajo de Ibn al-Banna 'al-Marrakushi y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī.

Sobre el trabajo realizado por Al-Khwarizmi, JJ O'Connor y Edmund F. Robertson dijeron:

"Quizás uno de los avances más significativos realizados por las matemáticas árabes comenzó en este momento con el trabajo de al-Khwarizmi, a saber, los comienzos del álgebra. Es importante comprender cuán significativa fue esta nueva idea. Fue un movimiento revolucionario que se alejó de el concepto griego de las matemáticas, que era esencialmente geometría. El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales, los números irracionales, las magnitudes geométricas, etc., fueran tratados como "objetos algebraicos". Le dio a las matemáticas un camino de desarrollo completamente nuevo, mucho más amplio en concepto a lo que había existido antes, y proporcionó un vehículo para el desarrollo futuro del tema. Otro aspecto importante de la introducción de ideas algebraicas fue que permitió que las matemáticas se aplicaran a sí mismas de una manera que no había sucedido antes ".—  MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas

Varios otros matemáticos durante este período de tiempo ampliaron el álgebra de Al-Khwarizmi. Abu Kamil Shuja' escribió un libro de álgebra acompañado de ilustraciones y demostraciones geométricas. También enumeró todas las posibles soluciones a algunos de sus problemas. Abu al-Jud, Omar Khayyam, junto con Sharaf al-Dīn al-Tūsī, encontraron varias soluciones de la ecuación cúbica. Omar Khayyam encontró la solución geométrica general de una ecuación cúbica.

Ecuaciones cúbicas

Omar Khayyam (c. 1038/48 en Irán - 1123/24) escribió el Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra que contiene la solución sistemática de ecuaciones cúbicas o de tercer orden, yendo más allá del álgebra de al-Khwārizmī. Khayyám obtuvo las soluciones de estas ecuaciones encontrando los puntos de intersección de dos secciones cónicas. Este método había sido utilizado por los griegos, pero no generalizaron el método para cubrir todas las ecuaciones con raíces positivas.

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (? en Tus, Irán - 1213/4) desarrolló un enfoque novedoso para la investigación de ecuaciones cúbicas, un enfoque que implicaba encontrar el punto en el que un polinomio cúbico obtiene su valor máximo. Por ejemplo, para resolver la ecuación , con a y b positivos, observaría que el punto máximo de la curva se da en , y que la ecuación no tendría solución, una o dos soluciones, dependiendo de si la altura de la curva en ese momento era menor, igual o mayor que. Sus obras sobrevivientes no dan ninguna indicación de cómo descubrió sus fórmulas para los máximos de estas curvas. Se han propuesto varias conjeturas para explicar su descubrimiento.

Inducción

Los primeros rastros implícitos de inducción matemática se pueden encontrar en la prueba de Euclides de que el número de números primos es infinito (c. 300 a. C.). La primera formulación explícita del principio de inducción la dio Pascal en su Traité du Triangle Arithmétique (1665).

En el medio, la prueba implícita por inducción para secuencias aritméticas fue introducida por al-Karaji (c. 1000) y continuada por al-Samaw'al, quien la usó para casos especiales del teorema del binomio y las propiedades del triángulo de Pascal.

Numeros irracionales

Los griegos habían descubierto los números irracionales, pero no estaban contentos con ellos y solo podían hacerles frente haciendo una distinción entre magnitud y número. En la visión griega, las magnitudes variaban continuamente y podían usarse para entidades tales como segmentos de línea, mientras que los números eran discretos. Por lo tanto, los irracionales solo podrían manejarse geométricamente; y, de hecho, las matemáticas griegas eran principalmente geométricas. Los matemáticos islámicos, incluidos Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam e Ibn Tahir al-Baghdadi, eliminaron lentamente la distinción entre magnitud y número, permitiendo que cantidades irracionales aparecieran como coeficientes en ecuaciones y soluciones de ecuaciones algebraicas. Trabajaron libremente con los irracionales como objetos matemáticos, pero no examinaron de cerca su naturaleza.

En el siglo XII, las traducciones latinas de la Aritmética de los números indios de Al-Khwarizmi introdujeron el sistema numérico posicional decimal en el mundo occidental. Su Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing presentó la primera solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. En la Europa del Renacimiento, fue considerado el inventor original del álgebra, aunque ahora se sabe que su trabajo se basa en fuentes indias o griegas más antiguas. Revisó la Geografía de Ptolomeo y escribió sobre astronomía y astrología. Sin embargo, CA Nallino sugiere que el trabajo original de al-Khwarizmi no se basó en Ptolomeo sino en un mapa del mundo derivado, presumiblemente en siríaco o árabe.

Trigonometría esférica

La ley esférica de los senos se descubrió en el siglo X: se ha atribuido de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur, con Abu al-Wafa' Buzjani como colaborador. El libro de los arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī en el siglo XI introdujo la ley general de los senos. La ley plana de los senos fue descrita en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector, estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos y proporcionó pruebas para esta ley.

Números negativos

En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos de las obras de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de números negativos durante este período siguió siendo tímido. Al-Khwarizmi no usó números negativos o coeficientes negativos. Pero dentro de cincuenta años, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para expandir la multiplicación . Al-Karaji escribió en su libro al-Fakhrī que "las cantidades negativas deben contarse como términos". En el siglo X, Abū al-Wafā' al-Būzjānī consideró las deudas como números negativos en Un libro sobre lo que es necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y hombres de negocios.

En el siglo XII, los sucesores de al-Karaji establecieron las reglas generales de los signos y las usaron para resolver divisiones de polinomios. Como escribe al-Samaw'al:

el producto de un número negativo, al-nāqiṣ, por un número positivo, al-zāʾid, es negativo, y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo mayor, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo más bajo. Si restamos un número negativo de un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo de una potencia vacía (martaba khāliyya), el resto es el mismo negativo, y si restamos un número negativo de una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo.

Doble posición falsa

Entre los siglos IX y X, el matemático egipcio Abu Kamil escribió un tratado ahora perdido sobre el uso de la doble posición falsa, conocido como el Libro de los dos errores (Kitāb al-khaṭāʾayn). El escrito más antiguo que se conserva sobre la doble posición falsa del Medio Oriente es el de Qusta ibn Luqa (siglo X), un matemático árabe de Baalbek, Líbano. Justificó la técnica mediante una prueba geométrica formal de estilo euclidiano. Dentro de la tradición de las matemáticas musulmanas medievales, la doble posición falsa se conocía como hisāb al-khaṭāʾayn.("contando por dos errores"). Se utilizó durante siglos para resolver problemas prácticos como cuestiones comerciales y jurídicas (particiones de bienes según las reglas de la herencia coránica), así como problemas puramente recreativos. El algoritmo a menudo se memorizaba con la ayuda de mnemónicos, como un verso atribuido a Ibn al-Yasamin y diagramas de balanza explicados por al-Hassar e Ibn al-Banna, ambos matemáticos de origen marroquí.

Otras figuras importantes

Sally P. Ragep, historiadora de la ciencia en el Islam, estimó en 2019 que "decenas de miles" de manuscritos árabes en ciencias matemáticas y filosofía siguen sin leerse, lo que brinda estudios que "reflejan sesgos individuales y un enfoque limitado en relativamente pocos textos y eruditos".

• 'Abd al-Hamīd ibn Turk (fl. 830) (cuadrática)
• Zabit ibn Qurra (826–901)
• Sind ibn Ali (muerto después de 864)
• Ismail al-Jazari (1136-1206)
• Abū Sahl al-Qūhī (c. 940-1000) (centros de gravedad)
• Abu'l-Hasan al-Uqlidisi (952–953) (aritmética)
• 'Abd al-'Aziz al-Qabisi (m. 967)
• Ibn al-Haytham (c. 965-1040)
• Abū al-Rayḥān al-Bīrūnī (973–1048) (trigonometría)
• Ibn Maḍāʾ (c. 1116-1196)
• Jamshīd al-Kāshī (c. 1380-1429) (decimales y estimación de la constante circular)

Galería

• Grabado del compás perfecto de Abū Sahl al-Qūhī para dibujar secciones cónicas.
• El teorema de Ibn Haytham.