Matemáticas babilónicas

Matemáticas babilónicas (también conocidas como matemáticas asirio-babilónicas) son las matemáticas desarrolladas o practicadas por el pueblo de Mesopotamia, como lo atestiguan fuentes que se conservan principalmente de la antigua Babilonia. (1830-1531 a.C.) hasta los seléucidas de los últimos tres o cuatro siglos a.C. En cuanto al contenido, apenas hay diferencias entre ambos grupos de textos. Las matemáticas babilónicas permanecieron constantes, en carácter y contenido, durante más de un milenio.

En contraste con la escasez de fuentes en matemáticas egipcias, el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de cientos de tabletas de arcilla descubiertas desde los años 1850. Escrito en cuneiform, las tabletas fueron inscritas mientras la arcilla estaba húmeda, y horneado duro en un horno o por el calor del sol. La mayoría de las tabletas de arcilla recuperadas datan de 1800 a 1600 BC, y cubren temas que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el teorema pitagórico. La tableta babilónica YBC 7289 da una aproximación ${\displaystyle {\sqrt {2}}$ exacto a tres dígitos sexagesimal significativos (unos seis dígitos decimales significativos).

Orígenes de las matemáticas babilónicas

Las matemáticas babilónicas son una variedad de prácticas matemáticas numéricas y más avanzadas en el antiguo Cercano Oriente, escritas en escritura cuneiforme. Históricamente, los estudios se han centrado en el período de la antigua Babilonia a principios del segundo milenio antes de Cristo debido a la gran cantidad de datos disponibles. Ha habido un debate sobre la aparición más temprana de las matemáticas babilónicas, y los historiadores sugieren un rango de fechas entre el V y el III milenio antes de Cristo. Las matemáticas babilónicas se escribieron principalmente en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme en las lenguas acadia o sumeria.

"Matemáticas babilónicas" Es quizás un término inútil ya que los orígenes más antiguos sugeridos se remontan al uso de dispositivos contables, como bullae y fichas, en el quinto milenio antes de Cristo.

Números babilónicos

El sistema matemático babilónico era un sistema numérico sexagesimal (base 60). De esto derivamos el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. Los babilonios lograron grandes avances en matemáticas por dos razones. En primer lugar, el número 60 es un número superior altamente compuesto, que tiene factores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluidos los que son compuestos), lo que facilita los cálculos con fracciones. Además, a diferencia de los egipcios y los romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes (muy parecido a, en nuestro sistema de base diez, 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1).

Matemáticas de la antigua Babilonia (2000-1600 a. C.)

Aritmética

Los babilonios usaban tablas precalculadas para ayudar con la aritmética. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah, junto al Éufrates, en 1854, que datan del año 2000 a. C., dan listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto con las fórmulas:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)}-(a-b)^{2}{4}}}$

para simplificar la multiplicación.

Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga. En cambio, basaron su método en el hecho de que:

${\displaystyle {\frac {}{b}=a\times {\frac} {1}{b}}$

junto con una tabla de recíprocos. Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5 lisos o regulares) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con listas extensas de estos recíprocos.

Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número entre 13, los babilonios usaban una aproximación como:

${\displaystyle {\frac}{13}={\frac} {7}{91}=7\times {\frac {1}{91}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {40}{3600}=\frac {280}{3600}={\frac}={\frac {\frac}={\frac {4}{60}+{\frac {40}{3600}}$

Álgebra

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) da una aproximación de √2 en cuatro cifras sexagesimales, 1;24,51,10, que tiene una precisión de aproximadamente seis dígitos decimales y es la representación sexagesimal de tres cifras más cercana posible de √ 2:

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac} {\frac}}}}}{\frac}}}}}{\frac}}}}}}{\frac}}}}{\frac}}}}}}}}}}}}{\ {10}{60^{3}={\frac {30547}{21600}=1.41421{\overline {296}}}$

Además de cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, se basaron en tablas precalculadas.

Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios esencialmente usaban la fórmula cuadrática estándar. Consideraron ecuaciones cuadráticas de la forma:

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

donde b y c no eran necesariamente números enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de ecuación es:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}+{\sqrt {\left({\frac} {b}{2}\right)}{2}+c}}$

y encontraron raíces cuadradas de manera eficiente mediante división y promedio. Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en que la longitud excede el ancho.

Se utilizaron tablas de valores de n³ + n² para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considere la ecuación:

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

Multiplicar la ecuación por a² y dividir por b³ da:

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}\right)}{3}+\left({\frac {\frac}{b}}}\right)^{2}={\frac {ca^{2} {b^{3}}}}$

Sustituyendo y = ax/b se obtiene:

${\displaystyle ¿Y qué? {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}}} {\fn}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}} {\c}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}$

que ahora podría resolverse buscando la tabla n³ + n² para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, mostrando una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no tenían un método para resolver la ecuación cúbica general.

Crecimiento

Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoideas) y el tiempo de duplicación, este último en el contexto de los intereses de los préstamos.

Tabletas de arcilla de c. 2000 aC incluyen el ejercicio "Dada una tasa de interés de 1/60 por mes (sin capitalización), calcule el tiempo de duplicación". Esto produce una tasa de interés anual de 12/60 = 20% y, por lo tanto, un tiempo de duplicación de 100% de crecimiento/20% de crecimiento por año = 5 años.

Plimpton 322

La tableta Plimpton 322 contiene una lista de "Pethagorean triples", es decir, enteros ${\displaystyle (a,b,c)}$ tales que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Los triples son demasiados y demasiado grandes para ser obtenidos por la fuerza bruta.

Se ha escrito mucho sobre el tema, incluidas algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla podría haber servido como una de las primeras tablas trigonométricas. Se debe tener cuidado de ver la tablilla en términos de métodos familiares o accesibles para los escribas en ese momento.

[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene que tener misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas tiene la tableta?" El primero puede ser contestado más satisfactoriamente por pares recíprocos, como se sugirió hace medio siglo, y el segundo por algún tipo de problemas del triángulo derecho.

Geometría

Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estimaba como 3. Estaban conscientes de que se trataba de una aproximación, y una tablilla matemática de la antigua Babilonia excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π< /span> como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. El volumen de un cilindro se tomó como producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. Los babilonios también conocían el gobierno pitagórico.

La "milla babilónica" era una medida de distancia igual a unos 11,3 km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una medida de "tiempo-milla" Se utiliza para medir el recorrido del Sol, por lo que representa el tiempo.

Los astrónomos babilónicos mantenían registros detallados de la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste.

También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular una efeméride (tabla de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer. Para hacer cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios utilizaban aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica, la parte del cielo por la que viajan el sol y los planetas.

Las tablillas conservadas en el Museo Británico proporcionan evidencia de que los babilonios llegaron incluso a tener un concepto de objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre el 350 y el 50 a.E.C., lo que revela que los babilonios entendían y utilizaban la geometría incluso antes de lo que se pensaba. Los babilonios utilizaban un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapezoide debajo, una técnica que anteriormente se creía que se originó en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, encontrar la distancia que Júpiter había recorrido en un determinado período de tiempo.