Matemáticas

Las matemáticas son un área del conocimiento que incluye temas como números, fórmulas y estructuras relacionadas, formas y los espacios en los que están contenidas, y cantidades y sus cambios. Estos temas están representados en las matemáticas modernas con las principales subdisciplinas de teoría de números, álgebra, geometría y análisis, respectivamente.

La mayor parte de la actividad matemática implica el descubrimiento de propiedades de objetos abstractos y el uso de la razón pura para probarlas. Estos objetos consisten en abstracciones de la naturaleza o, en las matemáticas modernas, entidades que están estipuladas con ciertas propiedades, llamadas axiomas. Una demostración consiste en una sucesión de aplicaciones de reglas deductivas a resultados ya establecidos. Estos resultados incluyen teoremas, axiomas y, en caso de abstracción de la naturaleza, algunas propiedades básicas que se consideran como verdaderos puntos de partida de la teoría en consideración.

Las matemáticas son esenciales en las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina, las finanzas, la informática y las ciencias sociales. Las verdades fundamentales de las matemáticas son independientes de cualquier experimentación científica, aunque las matemáticas se utilizan ampliamente para modelar fenómenos. Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos, se desarrollan en estrecha correlación con sus aplicaciones y, a menudo, se agrupan en matemáticas aplicadas. Otras áreas matemáticas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y por lo tanto se denominan matemáticas puras), pero las aplicaciones prácticas a menudo se descubren más tarde. Un buen ejemplo es el problema de la factorización de enteros, que se remonta a Euclides, pero que no tenía aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA (para la seguridad de las redes informáticas).

Históricamente, el concepto de prueba y su rigor matemático asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas, sobre todo en los Elementos de Euclides. Desde sus inicios, las matemáticas se dividieron esencialmente en geometría y aritmética (la manipulación de los números naturales y las fracciones), hasta los siglos XVI y XVII, cuando se introdujeron el álgebra y el cálculo infinitesimal como nuevas áreas de la materia. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un rápido aumento en el desarrollo de ambos. A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático.Esto dio lugar a un aumento espectacular en el número de áreas matemáticas y sus campos de aplicación. Esto se puede ver, por ejemplo, en la Clasificación de Materias Matemáticas contemporánea, que enumera más de 60 áreas de matemáticas de primer nivel.

Etimología

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma (μάθημα), que significa "lo que se aprende", "lo que uno llega a saber", por lo tanto, también "estudio" y "ciencia". La palabra para "matemáticas" llegó a tener el significado más estrecho y técnico de "estudio matemático" incluso en la época clásica. Su adjetivo es mathēmatikós (μαθηματικός), que significa "relacionado con el aprendizaje" o "estudioso", que también pasó a significar "matemático". En particular, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; latín: ars mathematica) significaba "el arte matemático".

De manera similar, una de las dos principales escuelas de pensamiento del pitagorismo se conocía como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba "aprendices" en lugar de "matemáticos" en el sentido moderno. Los pitagóricos fueron probablemente los primeros en restringir el uso de la palabra solo al estudio de la aritmética y la geometría. En la época de Aristóteles (384–322 a. C.) este significado estaba completamente establecido.

En latín, y en inglés hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente "astrología" (o, a veces, "astronomía") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente a su actual de alrededor de 1500 a 1800. Esto ha dado lugar a varias traducciones erróneas. Por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con los mathematici, es decir, los astrólogos, a veces se traduce erróneamente como una condena de los matemáticos.

La forma plural aparente en inglés se remonta al latín neutro plural mathematica (Cicerón), basado en el plural griego ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) y significa aproximadamente "todas las cosas matemáticas", aunque es plausible que el inglés haya tomado prestado solo el adjetivo matemático (al) y formó el sustantivo matemáticas de nuevo, siguiendo el patrón de la física y la metafísica, que fueron heredados del griego. En inglés, el sustantivo math lleva un verbo en singular. A menudo se abrevia como matemáticas o, en América del Norte, matemáticas.

áreas de las matemáticas

Antes del Renacimiento, las matemáticas se dividían en dos áreas principales: la aritmética, relacionada con la manipulación de números, y la geometría, relacionada con el estudio de las formas. Algunos tipos de pseudociencia, como la numerología y la astrología, no se distinguían entonces claramente de las matemáticas.

Durante el Renacimiento aparecieron dos áreas más. La notación matemática condujo al álgebra, que, en términos generales, consiste en el estudio y la manipulación de fórmulas. El cálculo, que consta de los dos subcampos cálculo infinitesimal y cálculo integral, es el estudio de funciones continuas, que modelan las relaciones típicamente no lineales entre cantidades variables (variables). Esta división en cuatro áreas principales (aritmética, geometría, álgebra, cálculo) perduró hasta finales del siglo XIX. Los matemáticos solían estudiar áreas como la mecánica celeste y la mecánica de sólidos, pero ahora se consideran pertenecientes a la física.El tema de la combinatoria se ha estudiado durante gran parte de la historia registrada, pero no se convirtió en una rama separada de las matemáticas hasta el siglo XVII.

A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas y la consiguiente sistematización del método axiomático dieron lugar a una explosión de nuevas áreas de las matemáticas. La Clasificación de Materias de Matemáticas de 2020 contiene no menos de sesenta y tres áreas de primer nivel.Algunas de estas áreas corresponden a la división más antigua, como ocurre con la teoría de números (el nombre moderno de la aritmética superior) y la geometría. Varias otras áreas de primer nivel tienen "geometría" en sus nombres o se consideran comúnmente parte de la geometría. Álgebra y cálculo no aparecen como áreas de primer nivel sino que se dividen respectivamente en varias áreas de primer nivel. Otras áreas de primer nivel surgieron durante el siglo XX o no habían sido consideradas previamente como matemáticas, como la lógica y los fundamentos matemáticos.

Teoría de los números

La teoría de números comenzó con la manipulación de números, es decir, números naturales y luego se expandió a números enteros y números racionales. Antiguamente, la teoría de números se llamaba aritmética, pero hoy en día este término se usa principalmente para cálculos numéricos. El origen de la teoría de números se remonta a la antigua Babilonia y probablemente a China. Dos destacados teóricos de los primeros números fueron Euclides y Diofanto. El estudio moderno de la teoría de números en su forma abstracta se atribuye en gran parte a Pierre de Fermat y Leonhard Euler. El campo llegó a buen término con las contribuciones de Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss.

Muchos problemas numéricos fáciles de plantear tienen soluciones que requieren métodos sofisticados de todas las matemáticas. Un ejemplo destacado es el último teorema de Fermat. Esta conjetura fue formulada en 1637 por Pierre de Fermat, pero no fue demostrada hasta 1994 por Andrew Wiles, quien utilizó herramientas que incluían la teoría de esquemas de la geometría algebraica, la teoría de categorías y el álgebra homológica. Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach, que afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Enunciado en 1742 por Christian Goldbach, sigue sin probarse hasta el día de hoy a pesar de un esfuerzo considerable.

La teoría de números incluye varias subáreas, incluida la teoría analítica de números, la teoría algebraica de números, la geometría de números (orientada a métodos), las ecuaciones diofánticas y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas).

Geometría

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con recetas empíricas relacionadas con formas, como líneas, ángulos y círculos, que se desarrollaron principalmente para las necesidades de la topografía y la arquitectura, pero desde entonces ha florecido en muchos otros subcampos.

Una innovación fundamental fue la introducción del concepto de prueba por parte de los antiguos griegos, con el requisito de que toda afirmación debe probarse. Por ejemplo, no es suficiente verificar por medición que, digamos, dos longitudes son iguales; su igualdad debe probarse mediante el razonamiento a partir de resultados previamente aceptados (teoremas) y algunos enunciados básicos. Los enunciados básicos no están sujetos a prueba porque son evidentes (postulados), o son parte de la definición del objeto de estudio (axiomas). Este principio, que es fundamental para todas las matemáticas, se elaboró ​​por primera vez para la geometría y fue sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a. C. en su libro Elementos.

La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas, planos y círculos en el plano euclidiano (geometría plana) y el espacio euclidiano (tridimensional).

La geometría euclidiana se desarrolló sin cambio de métodos o alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que ahora se llama coordenadas cartesianas. Este fue un gran cambio de paradigma, ya que en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de línea (ver recta numérica), permitió la representación de puntos usando sus coordenadas (que son números). Esto permite usar el álgebra (y luego el cálculo) para resolver problemas geométricos. Esto dividió la geometría en dos nuevos subcampos: la geometría sintética, que usa métodos puramente geométricos, y la geometría analítica, que usa coordenadas sistémicamente.

La geometría analítica permite el estudio de curvas que no están relacionadas con círculos y líneas. Tales curvas pueden definirse como gráficas de funciones (cuyo estudio condujo a la geometría diferencial). También se pueden definir como ecuaciones implícitas, a menudo ecuaciones polinómicas (que generaron geometría algebraica). La geometría analítica también permite considerar espacios de más de tres dimensiones.

En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron geometrías no euclidianas, que no siguen el postulado de las paralelas. Al cuestionar la verdad de ese postulado, se ha visto que este descubrimiento se une a la paradoja de Russel al revelar la crisis fundacional de las matemáticas. Este aspecto de la crisis se resolvió sistematizando el método axiomático y adoptando que la verdad de los axiomas elegidos no es una verdad. problema matemático A su vez, el método axiomático permite el estudio de varias geometrías obtenidas ya sea cambiando los axiomas o considerando propiedades que son invariantes bajo transformaciones específicas del espacio.

En la actualidad, las subáreas de la geometría incluyen:

• La geometría proyectiva, introducida en el siglo XVI por Girard Desargues, amplía la geometría euclidiana añadiendo puntos en el infinito en los que se cruzan líneas paralelas. Esto simplifica muchos aspectos de la geometría clásica al unificar los tratamientos para líneas paralelas e intersecantes.
• Geometría afín, el estudio de las propiedades relativas al paralelismo e independientes del concepto de longitud.
• Geometría diferencial, el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante funciones diferenciables.
• Teoría múltiple, el estudio de formas que no están necesariamente incrustadas en un espacio más grande.
• Geometría de Riemann, el estudio de las propiedades de distancia en espacios curvos
• Geometría algebraica, el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante polinomios.
• Topología, el estudio de las propiedades que se mantienen bajo deformaciones continuas.
  • Topología algebraica, el uso en topología de métodos algebraicos, principalmente álgebra homológica
• Geometría discreta, el estudio de configuraciones finitas en geometría.
• Geometría convexa, el estudio de conjuntos convexos, que toma su importancia de sus aplicaciones en optimización.
• Geometría compleja, la geometría obtenida reemplazando números reales con números complejos

Álgebra

El álgebra es el arte de manipular ecuaciones y fórmulas. Diofanto (siglo III) y al-Khwarizmi (siglo IX) fueron los dos principales precursores del álgebra. El primero resolvió algunas ecuaciones con números naturales desconocidos deduciendo nuevas relaciones hasta obtener la solución. El segundo introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones (como mover un término de un lado de una ecuación al otro lado). El término álgebra se deriva de la palabra árabe al-jabr que significa "la reunión de partes rotas" que usó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal.

El álgebra se convirtió en un área por derecho propio solo con François Viète (1540-1603), quien introdujo el uso de variables para representar números desconocidos o no especificados. Esto permite a los matemáticos describir las operaciones que deben realizarse sobre los números representados mediante fórmulas matemáticas.

Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de ecuaciones lineales (actualmente álgebra lineal), y ecuaciones polinómicas en una sola incógnita, a las que se les denominaba ecuaciones algebraicas (término que todavía se utiliza, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a utilizar variables para representar cosas distintas de los números (como matrices, enteros modulares y transformaciones geométricas), en las que las generalizaciones de las operaciones aritméticas suelen ser válidas.El concepto de estructura algebraica aborda esto, que consiste en un conjunto cuyos elementos no están especificados, operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y reglas que deben seguir estas operaciones. Debido a este cambio, el alcance del álgebra creció para incluir el estudio de las estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra se denominó álgebra moderna o álgebra abstracta, tal como lo establece la influencia y los trabajos de Emmy Noether. (Este último término aparece principalmente en un contexto educativo, en oposición al álgebra elemental, que se ocupa de la forma más antigua de manipular fórmulas).

Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades útiles y, a menudo, fundamentales, en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio se convirtió en partes autónomas del álgebra e incluye:

• teoría de grupos;
• teoría de campos;
• espacios vectoriales, cuyo estudio es esencialmente el mismo que el álgebra lineal;
• teoría del anillo;
• álgebra conmutativa, que es el estudio de anillos conmutativos, incluye el estudio de polinomios y es una parte fundamental de la geometría algebraica;
• álgebra homológica;
• álgebra de Lie y teoría de grupos de Lie;
• Álgebra booleana, que se usa ampliamente para el estudio de la estructura lógica de las computadoras.

El estudio de tipos de estructuras algebraicas como objetos matemáticos es el propósito del álgebra universal y la teoría de categorías. Esto último se aplica a todas las estructuras matemáticas (no solo a las algebraicas). En su origen se introdujo junto con el álgebra homológica por permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos; esta área particular de aplicación se llama topología algebraica.

Cálculo y análisis

El cálculo, anteriormente llamado cálculo infinitesimal, fue introducido de forma independiente y simultánea por los matemáticos del siglo XVII Newton y Leibniz. Es fundamentalmente el estudio de la relación de variables que dependen unas de otras. Euler amplió el cálculo en el siglo XVIII con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. Actualmente, "cálculo" se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y "análisis" se usa comúnmente para partes avanzadas.

El análisis se subdivide en análisis real, donde las variables representan números reales, y análisis complejo, donde las variables representan números complejos. El análisis incluye muchas subáreas compartidas por otras áreas de las matemáticas que incluyen:

• Cálculo multivariable
• Análisis funcional, donde las variables representan funciones variables;
• Integración, teoría de la medida y teoría del potencial, todas ellas fuertemente relacionadas con la teoría de la probabilidad;
• Ecuaciones diferenciales ordinarias;
• Ecuaciones diferenciales parciales;
• Análisis numérico, dedicado principalmente al cálculo en ordenadores de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que se presentan en multitud de aplicaciones.

Matemáticas discretas

Las matemáticas discretas, en términos generales, son el estudio de objetos matemáticos individuales y contables. Un ejemplo es el conjunto de todos los enteros. Debido a que los objetos de estudio aquí son discretos, los métodos de cálculo y análisis matemático no se aplican directamente. Los algoritmos, especialmente su implementación y complejidad computacional, juegan un papel importante en las matemáticas discretas.

El teorema de los cuatro colores y el empaquetamiento óptimo de esferas fueron dos grandes problemas de las matemáticas discretas resueltos en la segunda mitad del siglo XX. El problema P versus NP, que permanece abierto hasta el día de hoy, también es importante para las matemáticas discretas, ya que su solución podría impactar potencialmente en una gran cantidad de problemas computacionalmente difíciles.

Las matemáticas discretas incluyen:

• Combinatoria, el arte de enumerar objetos matemáticos que satisfacen algunas restricciones dadas. Originalmente, estos objetos eran elementos o subconjuntos de un conjunto dado; esto se ha extendido a varios objetos, lo que establece un fuerte vínculo entre la combinatoria y otras partes de las matemáticas discretas. Por ejemplo, la geometría discreta incluye configuraciones de conteo de formas geométricas
• Teoría de grafos e hipergrafías
• Teoría de la codificación, incluidos los códigos de corrección de errores y una parte de la criptografía
• teoría matroide
• geometría discreta
• Distribuciones de probabilidad discretas
• Teoría de juegos (aunque también se estudian los juegos continuos, los juegos más comunes, como el ajedrez y el póquer, son discretos)
• Optimización discreta, incluida la optimización combinatoria, programación de enteros, programación de restricciones

Lógica matemática y teoría de conjuntos

Los dos temas de lógica matemática y teoría de conjuntos han pertenecido a las matemáticas desde finales del siglo XIX. Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos y la lógica, aunque se usaba para demostraciones matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos.

Antes del estudio de Cantor de los conjuntos infinitos, los matemáticos eran reacios a considerar colecciones realmente infinitas y consideraban que el infinito era el resultado de una enumeración infinita. El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no solo al considerar conjuntos realmente infinitos sino al mostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito, según el argumento diagonal de Cantor. Esto condujo a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor.

En el mismo período, varias áreas de las matemáticas concluyeron que las antiguas definiciones intuitivas de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para garantizar el rigor matemático. Ejemplos de tales definiciones intuitivas son "un conjunto es una colección de objetos", "un número natural es lo que se usa para contar", "un punto es una forma con una longitud cero en todas las direcciones", "una curva es un rastro dejado por un punto en movimiento", etc.

Esto se convirtió en la crisis fundacional de las matemáticas. Finalmente, se resolvió en las matemáticas convencionales al sistematizar el método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada. En términos generales, cada objeto matemático se define por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. Por ejemplo, en la aritmética de Peano, los números naturales se definen por "el cero es un número", "cada número tiene un único sucesor", "cada número excepto el cero tiene un único predecesor" y algunas reglas de razonamiento. Esta abstracción matemática de la realidad está incorporada en la filosofía moderna del formalismo, fundada por David Hilbert alrededor de 1910.

La "naturaleza" de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan a los filósofos, incluso si muchos matemáticos tienen opiniones sobre esta naturaleza y usan su opinión, a veces llamada "intuición", para guiar su estudio y pruebas. El enfoque permite considerar "lógicas" (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), teoremas, demostraciones, etc. como objetos matemáticos y probar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que, en todo sistema formal consistente que contiene los números naturales, hay teoremas que son verdaderos (que son demostrables en un sistema más fuerte), pero no demostrables dentro del sistema.Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos encabezados por Brouwer, quienes promovieron la lógica intuicionista, que explícitamente carece de la ley del tercero excluido.

Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelando algunas teorías lógicas dentro de otras teorías), la teoría de la prueba, la teoría de tipos, la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional. Aunque estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del surgimiento de las computadoras, su uso en el diseño de compiladores, la certificación de programas, los asistentes de prueba y otros aspectos de la informática contribuyeron a su vez a la expansión de estas teorías lógicas.

Estadística y otras ciencias de la decisión

El campo de la estadística es un tipo de aplicación matemática que se emplea para la recolección y procesamiento de muestras de datos, utilizando procedimientos basados ​​en métodos matemáticos, especialmente la teoría de la probabilidad. Los estadísticos generan datos con muestreo aleatorio o experimentos aleatorios. El diseño de una muestra o experimento estadístico determina los métodos analíticos que se utilizarán. El análisis de los datos de los estudios observacionales se realiza mediante modelos estadísticos y la teoría de la inferencia, mediante la selección y estimación de modelos. Luego, los modelos y las predicciones consiguientes deben probarse con nuevos datos.

La teoría estadística estudia problemas de decisión como minimizar el riesgo (pérdida esperada) de una acción estadística, como usar un procedimiento en, por ejemplo, estimación de parámetros, prueba de hipótesis y selección de los mejores. En estas áreas tradicionales de las estadísticas matemáticas, un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo, como la pérdida o el costo esperados, bajo restricciones específicas: por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar una media poblacional con un valor determinado. nivel de confianza Debido a su uso de la optimización, la teoría matemática de la estadística se superpone con otras ciencias de la decisión, como la investigación de operaciones, la teoría del control y la economía matemática.

Matemáticas computacionales

Las matemáticas computacionales son el estudio de problemas matemáticos que suelen ser demasiado grandes para la capacidad numérica humana. El análisis numérico estudia métodos para problemas de análisis utilizando análisis funcional y teoría de aproximación; el análisis numérico incluye ampliamente el estudio de aproximación y discretización con especial énfasis en los errores de redondeo. El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente la teoría algorítmica de matrices y gráficos. Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen el álgebra informática y la computación simbólica.

Historia

Antiguo

La historia de las matemáticas es una serie cada vez mayor de abstracciones. Hablando evolutivamente, la primera abstracción que se descubrió jamás, compartida por muchos animales, fue probablemente la de los números: la comprensión de que, por ejemplo, una colección de dos manzanas y una colección de dos naranjas (digamos) tienen algo en común, a saber que son dos. Como lo demuestran las cuentas encontradas en los huesos, además de reconocer cómo contar objetos físicos, es posible que los pueblos prehistóricos también supieran cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo: días, estaciones o años.

La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000 a. C., cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía.Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto datan del 2000 al 1800 a. Muchos textos antiguos mencionan las ternas pitagóricas y, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas que la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y usaban un sistema numérico sexagesimal que todavía se usa hoy para medir ángulos y tiempo.

En el siglo VI a. C., las matemáticas griegas comenzaron a emerger como una disciplina distinta y algunos griegos antiguos, como los pitagóricos, parecían haberlas considerado un tema por derecho propio. Alrededor del año 300 a. C., Euclides organizó el conocimiento matemático por medio de postulados y primeros principios, que evolucionaron hasta convertirse en el método axiomático que se usa en las matemáticas en la actualidad, que consta de definición, axioma, teorema y prueba. Su libro, Elementos, es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes (c. 287-212 a. C.) de Siracusa.Desarrolló fórmulas para calcular el área superficial y el volumen de los sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, de una manera no muy diferente del cálculo moderno. Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas (Apolonio de Perga, siglo III a. C.), la trigonometría (Hiparco de Nicea, siglo II a. C.) y los comienzos del álgebra (Diófanto, siglo III d. C.).

El sistema de numeración hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día, evolucionaron a lo largo del primer milenio dC en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas. Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición y aproximación modernas de seno y coseno, y una forma temprana de series infinitas.

Medievales y posteriores

Durante la Edad de Oro del Islam, especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas vieron muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra. Otros logros del período islámico incluyen avances en trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración arábiga. Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarismi, Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Durante el período moderno temprano, las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa occidental, con innovaciones que revolucionaron las matemáticas, como la introducción de las variables y la notación simbólica por parte de François Viète (1540-1603), la introducción de las coordenadas por parte de René Descartes (1596–1650) para reducir la geometría al álgebra, y el desarrollo del cálculo por Isaac Newton (1642–1726/27) y Gottfried Leibniz (1646–1716) en el siglo XVII. Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más notable del siglo XVIII, unificó estas innovaciones en un solo corpus con una terminología estandarizada y las completó con el descubrimiento y la demostración de numerosos teoremas. Quizás el matemático más destacado del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss, quien hizo numerosas contribuciones a campos como el álgebra, el análisis, laA principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud, que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente, si es lo suficientemente poderoso para describir la aritmética, contendrá proposiciones verdaderas que no se pueden demostrar.

Desde entonces, las matemáticas se han extendido mucho y ha habido una interacción fructífera entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Los descubrimientos matemáticos continúan haciéndose hasta el día de hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society, "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos de Mathematical Reviews desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora más de 1,9 millones, y más de 75 mil elementos se agregan a la base de datos cada año. La gran mayoría de los trabajos en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus pruebas ".

Notación simbólica y terminología

La notación matemática se usa ampliamente en la ciencia y la ingeniería para representar conceptos y propiedades complejos de manera concisa, inequívoca y precisa. Esta notación consta de símbolos utilizados para representar operaciones, números no especificados, relaciones y cualquier otro objeto matemático, y luego ensamblarlos en expresiones y fórmulas. Más precisamente, los números y otros objetos matemáticos se representan mediante símbolos llamados variables, que generalmente son letras latinas o griegas y, a menudo, incluyen subíndices. Las operaciones y las relaciones generalmente se representan mediante símbolos o glifos específicos, como + (más), × (multiplicación), (integral), = (igual) y < (menor que).Todos estos símbolos se agrupan generalmente según reglas específicas para formar expresiones y fórmulas. Normalmente, las expresiones y fórmulas no aparecen solas, sino que se incluyen en oraciones del lenguaje actual, donde las expresiones cumplen el rol de sintagmas nominales y las fórmulas el rol de cláusulas.

Las matemáticas han desarrollado una rica terminología que cubre una amplia gama de campos que estudian las propiedades de varios objetos abstractos e idealizados y cómo interactúan. Se basa en definiciones rigurosas que proporcionan una base estándar para la comunicación. Un axioma o postulado es un enunciado matemático que se toma como verdadero sin necesidad de demostración. Si una afirmación matemática aún no se ha probado (o refutado), se denomina conjetura. A través de una serie de argumentos rigurosos que emplean el razonamiento deductivo, una declaración que se demuestra que es verdadera se convierte en un teorema. Un teorema especializado que se usa principalmente para probar otro teorema se llama lema. Una instancia comprobada que forma parte de un hallazgo más general se denomina coralario.

Numerosos términos técnicos utilizados en matemáticas son neologismos, como polinomio y homeomorfismo. Otros términos técnicos son palabras del lenguaje común que se usan con un significado preciso que puede diferir ligeramente de su significado común. Por ejemplo, en matemáticas, "o" significa "uno, el otro o ambos", mientras que, en el lenguaje común, es ambiguo o significa "uno o el otro pero no ambos" (en matemáticas, este último se denomina "exclusivo"). o"). Finalmente, muchos términos matemáticos son palabras comunes que se usan con un significado completamente diferente.Esto puede conducir a oraciones que son afirmaciones matemáticas correctas y verdaderas, pero que parecen una tontería para las personas que no tienen la formación necesaria. Por ejemplo, "todo módulo libre es plano" y "un campo siempre es un anillo".

Relación con la ciencia

Las matemáticas se utilizan en la ciencia para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende únicamente de la adecuación del modelo. Las predicciones inexactas, más que ser causadas por conceptos matemáticos inválidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio solo pudo explicarse después del surgimiento de la relatividad general de Einstein, que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático.

Todavía hay un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas tienen mucho en común con las ciencias físicas. Al igual que ellos, es falsable, lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría son erróneos, esto puede probarse proporcionando un contraejemplo. Al igual que en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación.En matemáticas, la experimentación puede consistir en cálculos sobre ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo llegó a sus teoremas, Gauss (uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX) respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (a través de la experimentación sistemática). Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no basarse en evidencia empírica.

Matemáticas puras y aplicadas.

Hasta el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas en Occidente estuvo motivado principalmente por las necesidades de la tecnología y la ciencia, y no había una distinción clara entre matemáticas puras y aplicadas. Por ejemplo, los números naturales y la aritmética se introdujeron por la necesidad de contar, y la geometría fue motivada por la agrimensura, la arquitectura y la astronomía. Posteriormente, Isaac Newton introdujo el cálculo infinitesimal para explicar el movimiento de los planetas con su ley de gravitación. Además, la mayoría de los matemáticos también eran científicos, y muchos científicos también eran matemáticos. Sin embargo, se produjo una notable excepción con la tradición de las matemáticas puras en la antigua Grecia.

En el siglo XIX, matemáticos como Karl Weierstrass y Richard Dedekind centraron cada vez más sus investigaciones en problemas internos, es decir, matemáticas puras. Esto llevó a dividir las matemáticas en matemáticas puras y matemáticas aplicadas, siendo a menudo consideradas estas últimas como de menor valor entre los puristas matemáticos. Sin embargo, las líneas entre los dos son frecuentemente borrosas.

Las secuelas de la Segunda Guerra Mundial llevaron a un aumento en el desarrollo de las matemáticas aplicadas en los EE. UU. y en otros lugares. Durante la segunda mitad del siglo XX, muchas de las teorías desarrolladas para aplicaciones resultaron interesantes desde el punto de vista de las matemáticas puras, y se demostró que muchos resultados de las matemáticas puras tienen aplicaciones fuera de las matemáticas; a su vez, el estudio de estas aplicaciones puede dar nuevos conocimientos sobre la "teoría pura".

Un ejemplo del primer caso es la teoría de distribuciones, introducida por Laurent Schwartz para validar cálculos realizados en mecánica cuántica, que se convirtió inmediatamente en una importante herramienta de análisis matemático (puro). Un ejemplo del segundo caso es la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales, un problema de matemática pura que fue probado por Alfred Tarski, con un algoritmo imposible de implementar debido a una complejidad computacional demasiado alto. Para conseguir un algoritmo que se pueda implementar y pueda resolver sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades, George Collins introdujo la descomposición algebraica cilíndrica que se convirtió en una herramienta fundamental en la geometría algebraica real.

En la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más una cuestión de objetivo de investigación personal de los matemáticos que una división de las matemáticas en áreas amplias. La Clasificación de Materias Matemáticas no menciona "matemáticas puras" ni "matemáticas aplicadas". Sin embargo, estos términos todavía se usan en los nombres de algunos departamentos universitarios, como en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge.

Efectividad irrazonable

La irrazonable efectividad de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner. Es el hecho de que muchas teorías matemáticas, incluso las "más puras", tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de matemáticas y pueden estar relacionadas con fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.

Un ejemplo notable es la descomposición en factores primos de los números naturales que se descubrió más de 2000 años antes de su uso común para las comunicaciones seguras en Internet a través del criptosistema RSA. Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses. Fueron estudiados por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Casi 2.000 años después, Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses.

En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemática pura) llevó a definir y estudiar geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades. En ese momento, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espacio-tiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro.

Un aspecto sorprendente de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Así lo ilustran los descubrimientos del positrón y el barión . En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a conjeturar la existencia de una partícula desconocida, ya buscar estas partículas. En ambos casos, estas partículas fueron descubiertas unos años más tarde mediante experimentos específicos.

Filosofía

La realidad

La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras. El antiguo filósofo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen una realidad que existe fuera del espacio y el tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos existen de alguna manera por sí mismos en la abstracción a menudo se denomina platonismo. Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden ser considerados generalmente como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales.

Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de GH Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista.

Algo se vuelve objetivo (en oposición a "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en la mente de los demás en la misma forma que en la nuestra y que podemos pensar sobre ello y discutirlo juntos. Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es ideal para definir conceptos para los que existe tal consenso. En mi opinión, eso es suficiente para proporcionarnos un sentimiento de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...

Sin embargo, el platonismo y los puntos de vista concurrentes sobre la abstracción no explican la irrazonable efectividad de las matemáticas.

Definiciones propuestas

No existe un consenso general sobre una definición de matemáticas o su estatus epistemológico, es decir, su lugar entre otras actividades humanas. Muchos matemáticos profesionales no se interesan por una definición de matemática o la consideran indefinible. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Algunos simplemente dicen, "matemáticas es lo que hacen los matemáticos". Esto tiene sentido, ya que existe un fuerte consenso entre ellos sobre qué son las matemáticas y qué no lo son. La mayoría de las definiciones propuestas tratan de definir las matemáticas por su objeto de estudio.

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que centrarse únicamente en la cantidad puede no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas. En el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a abordar temas, como los conjuntos infinitos, que no tienen una relación clara con la realidad física, se dieron una variedad de nuevas definiciones. Con la gran cantidad de nuevas áreas de las matemáticas que aparecieron desde principios del siglo XX y continúan apareciendo, definir las matemáticas por este objeto de estudio se convierte en una tarea imposible.

Otro enfoque para definir las matemáticas es utilizar sus métodos. Entonces, un área de estudio puede ser calificada como matemáticas tan pronto como se puedan demostrar teoremas, afirmaciones cuya validez se basa en una demostración, es decir, una deducción puramente lógica. Otros adoptan la perspectiva de que las matemáticas son una investigación de la teoría axiomática de conjuntos, ya que este estudio es ahora una disciplina fundamental para gran parte de las matemáticas modernas.

Rigor

El razonamiento matemático requiere rigor. Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de reglas de inferencia, sin ningún uso de evidencia empírica e intuición. El razonamiento riguroso no es específico de las matemáticas, pero, en matemáticas, el estándar de rigor es mucho más alto que en otros lugares. A pesar de la concisión de las matemáticas, las demostraciones rigurosas pueden requerir cientos de páginas para expresarse. La aparición de pruebas asistidas por computadora ha permitido que la longitud de las pruebas se amplíe aún más, como el teorema de Feit-Thompson de 255 páginas. El resultado de esta tendencia es una filosofía de la prueba cuasi-empirista que no puede considerarse infalible, pero tiene una probabilidad asociada.

El concepto de rigor en las matemáticas se remonta a la antigua Grecia, donde su sociedad fomentaba el razonamiento lógico y deductivo. Sin embargo, este enfoque riguroso tendería a desalentar la exploración de nuevos enfoques, como los números irracionales y los conceptos de infinito. El método de demostrar pruebas rigurosas se mejoró en el siglo XVI mediante el uso de la notación simbólica. En el siglo XVIII, la transición social hizo que los matemáticos se ganaran el sustento a través de la enseñanza, lo que condujo a un pensamiento más cuidadoso sobre los conceptos subyacentes de las matemáticas. Esto produjo enfoques más rigurosos, mientras se pasaba de métodos geométricos a pruebas algebraicas y luego aritméticas.

A fines del siglo XIX, parecía que las definiciones de los conceptos básicos de las matemáticas no eran lo suficientemente precisas para evitar paradojas (geometrías no euclidianas y función de Weierstrass) y contradicciones (paradoja de Russell). Esto se solucionó con la inclusión de axiomas con las reglas de inferencia apodícticas de las teorías matemáticas; la reintroducción del método axiomático promovido por los antiguos griegos. Resulta que "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una prueba es correcta o errónea, y una "prueba rigurosa" es simplemente un pleonasmo. Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una prueba, donde puede ser refutado de manera demostrable por otros matemáticos. Después de que una prueba ha sido aceptada durante muchos años o incluso décadas,

No obstante, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una demostración matemática.

Psicología (estética, creatividad e intuición)

La validez de un teorema matemático se basa únicamente en el rigor de su demostración, que teóricamente podría realizarse automáticamente mediante un programa informático. Esto no quiere decir que no haya lugar para la creatividad en un trabajo matemático. Por el contrario, muchos resultados matemáticos importantes (teoremas) son soluciones de problemas que otros matemáticos no pudieron resolver, y la invención de una forma de resolverlos puede ser una forma fundamental del proceso de resolución. Un ejemplo extremo es el teorema de Apery: Roger Apery proporcionó solo las ideas para una prueba, y la prueba formal la dieron solo varios meses después otros tres matemáticos.

La creatividad y el rigor no son los únicos aspectos psicológicos de la actividad de los matemáticos. Algunos matemáticos pueden ver su actividad como un juego, más específicamente como resolver acertijos. Este aspecto de la actividad matemática se enfatiza en las matemáticas recreativas.

Los matemáticos pueden encontrar un valor estético a las matemáticas. Al igual que la belleza, es difícil de definir, comúnmente se relaciona con la elegancia, que involucra cualidades como la simplicidad, la simetría, la integridad y la generalidad. GH Hardy en A Mathematician's Apology expresó la creencia de que las consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. También identificó otros criterios como la importancia, lo inesperado y lo inevitable, que contribuyen a la estética matemática. Paul Erdős expresó este sentimiento más irónicamente al hablar de "El Libro", una supuesta colección divina de las más bellas pruebas. El libro de 1998 Pruebas de EL LIBRO, inspirado en Erdős, es una colección de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores. Algunos ejemplos de resultados particularmente elegantes incluidos son la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la transformada rápida de Fourier para el análisis armónico.

Algunos sienten que considerar las matemáticas como una ciencia es restar importancia a su arte e historia en las siete artes liberales tradicionales. Una forma en que se desarrolla esta diferencia de puntos de vista es en el debate filosófico sobre si los resultados matemáticos se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran al resolver problemas matemáticos.

En el siglo XX, el matemático LEJ Brouwer incluso inició una perspectiva filosófica conocida como intuicionismo, que identifica principalmente las matemáticas con ciertos procesos creativos en la mente. El intuicionismo es, a su vez, un sabor de una postura conocida como constructivismo, que solo considera válido un objeto matemático si puede construirse directamente, no simplemente garantizado indirectamente por la lógica. Esto lleva a los constructivistas comprometidos a rechazar ciertos resultados, en particular argumentos como las pruebas existenciales basadas en la ley del tercero excluido.

Al final, ni el constructivismo ni el intuicionismo desplazaron a las matemáticas clásicas ni lograron la aceptación generalizada. Sin embargo, estos programas han motivado desarrollos específicos, como la lógica intuicionista y otras intuiciones fundamentales, que se aprecian por derecho propio.

Educación

Las matemáticas tienen una capacidad notable para cruzar fronteras culturales y períodos de tiempo. Como actividad humana, la práctica de las matemáticas tiene un lado social, que incluye educación, carreras, reconocimiento, popularización, etc. En educación, las matemáticas son una parte central del plan de estudios y forman un elemento importante de las disciplinas académicas STEM. Si bien el contenido de los cursos varía, muchos países del mundo enseñan matemáticas a los estudiantes durante períodos de tiempo significativos. Las carreras destacadas para los matemáticos profesionales incluyen profesor o profesor de matemáticas, estadístico, actuario, analista financiero, economista, contador, comerciante de productos básicos o consultor informático.

La evidencia arqueológica muestra que la instrucción en matemáticas se produjo ya en el segundo milenio a. C. en la antigua Babilonia. Se ha desenterrado evidencia comparable para el entrenamiento matemático de los escribas en el antiguo Cercano Oriente y luego para el mundo grecorromano que comenzó alrededor del 300 a. El libro de texto de matemáticas más antiguo que se conoce es el papiro Rhind, que data de alrededor de 1650 a. C. en Egipto. Debido a la escasez de libros, las enseñanzas matemáticas en la India antigua se comunicaban utilizando la tradición oral memorizada desde el período védico (c.  1500 - c.  500 a. C.). En la China imperial, durante la dinastía Tang (618–907 d. C.), se adoptó un plan de estudios de matemáticas para el examen de servicio civil para unirse a la burocracia estatal.

Después de la Edad Media, la educación matemática en Europa estuvo a cargo de escuelas religiosas como parte del Quadrivium. La instrucción formal en pedagogía comenzó con las escuelas jesuitas en los siglos XVI y XVII. La mayor parte del currículo matemático permaneció en un nivel básico y práctico hasta el siglo XIX, cuando comenzó a florecer en Francia y Alemania. La revista más antigua que abordaba la enseñanza de las matemáticas era L'Enseignement Mathématique, que comenzó a publicarse en 1899. Los avances occidentales en ciencia y tecnología llevaron al establecimiento de sistemas de educación centralizados en muchos estados-nación, con las matemáticas como componente central, inicialmente para sus aplicaciones militares.

Durante la escuela, las capacidades matemáticas y las expectativas positivas tienen una fuerte asociación con el interés profesional en el campo. Los factores extrínsecos, como la motivación de la retroalimentación por parte de los maestros, los padres y los grupos de compañeros, pueden influir en el nivel de interés por las matemáticas. Algunos estudiantes que estudian matemáticas pueden desarrollar aprensión o temor acerca de su desempeño en la materia. Esto se conoce como ansiedad matemática o fobia matemática, y se considera el más destacado de los trastornos que afectan el rendimiento académico. La ansiedad matemática puede desarrollarse debido a varios factores, como las actitudes de los padres y maestros, los estereotipos sociales y los rasgos personales. La ayuda para contrarrestar la ansiedad puede provenir de cambios en los enfoques de instrucción, interacciones con padres y maestros y tratamientos personalizados para el individuo.

Premios y problemas de premios

El premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields, establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial) a un máximo de cuatro personas. Se considera el equivalente matemático del Premio Nobel.

Otros prestigiosos premios de matemáticas incluyen:

• El Premio Abel, instituido en 2002 y otorgado por primera vez en 2003
• La Medalla Chern a la trayectoria, presentada en 2009 y otorgada por primera vez en 2010
• El premio AMS Leroy P. Steele, otorgado desde 1970
• El Premio Wolf en Matemáticas, también por su trayectoria, instituido en 1978

Una famosa lista de 23 problemas abiertos, llamada "problemas de Hilbert", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran celebridad entre los matemáticos y, a fecha de 2022, al menos trece de los problemas (dependiendo de cómo se interpreten algunos) han sido resueltos.

En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada "Problemas del premio del milenio". Solo uno de ellos, la hipótesis de Riemann, duplica uno de los problemas de Hilbert. Una solución a cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de 1 millón de dólares. Hasta la fecha, solo se ha resuelto uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré.