Masa efectiva (física del estado sólido)

En física de estado sólido, una partícula masa efectiva (a menudo denotado mAlternativa Alternativa {textstyle m^{*}) es la masa que es Parece que... tener cuando responder a las fuerzas, o la masa que parece tener al interactuar con otras partículas idénticas en una distribución térmica. Uno de los resultados de la teoría de banda de sólidos es que el movimiento de partículas en un potencial periódico, a largas distancias más grandes que el espaciamiento de la celosía, puede ser muy diferente de su movimiento en un vacío. La masa efectiva es una cantidad que se utiliza para simplificar las estructuras de banda modelando el comportamiento de una partícula libre con esa masa. Para algunos propósitos y algunos materiales, la masa efectiva puede considerarse una simple constante de un material. En general, sin embargo, el valor de la masa efectiva depende del propósito para el cual se utiliza, y puede variar dependiendo de varios factores.

Para electrones o huecos de electrones en un sólido, la masa efectiva generalmente se establece como un factor que multiplica la masa en reposo de un electrón, m_e (9.11 × 10⁻³¹ kg). Este factor suele estar en el rango de 0,01 a 10, pero puede ser mayor o menor, por ejemplo, alcanzando 1000 en materiales exóticos de fermiones pesados, o en cualquier lugar de cero a infinito (según la definición) en grafeno. Como simplifica la teoría de bandas más general, la masa electrónica efectiva puede verse como un parámetro básico importante que influye en las propiedades medibles de un sólido, que incluye todo, desde la eficiencia de una celda solar hasta la velocidad de un circuito integrado.

Caso simple: parabólica, relación de dispersión isotrópica

A las energías más altas de la banda de valencia en muchos semiconductores (Ge, Si, GaAs,...) y las energías más bajas de la banda de conducción en algunos semiconductores (GaAs,...), la estructura de banda E(k) se puede aproximar localmente como

E()k)=E0+▪ ▪ 2k22mAlternativa Alternativa {displaystyle E(mathbf {k})=E_{0}+{frac {hbar ^{2}mathbf {k}.

donde E(k) es la energía de un electrón en el vector de onda k en esa banda, E₀ es una constante que da la ventaja de energía de esa banda, y m^* es una constante (la masa efectiva).

Se puede demostrar que los electrones colocados en estas bandas se comportan como electrones libres excepto con una masa diferente, siempre que su energía se mantenga dentro del rango de validez de la aproximación anterior. Como resultado, la masa del electrón en modelos como el modelo de Drude debe reemplazarse con la masa efectiva.

Una propiedad notable es que la masa efectiva puede volverse negativa, cuando la banda se curva hacia abajo alejándose de un máximo. Como resultado de la masa negativa, los electrones responden a las fuerzas eléctricas y magnéticas ganando velocidad en la dirección opuesta a la normal; aunque estos electrones tienen carga negativa, se mueven en trayectorias como si tuvieran carga positiva (y masa positiva). Esto explica la existencia de agujeros de banda de valencia, las cuasipartículas de carga positiva y masa positiva que se pueden encontrar en los semiconductores.

En cualquier caso, si la estructura de la banda tiene la forma parabólica simple descrita anteriormente, entonces el valor de la masa efectiva no es ambiguo. Desafortunadamente, esta forma parabólica no es válida para describir la mayoría de los materiales. En materiales tan complejos no existe una definición única de "masa efectiva" sino múltiples definiciones, cada una adaptada a un propósito particular. El resto del artículo describe estas masas efectivas en detalle.

Caso intermedio: parabólica, relación de dispersión anisotrópica

Elipsoides de energía constante en silicio cerca del minima de seis bandas de conducción. Para cada valle (mínimo de banda), las masas efectivas son m_l = 0,922m_e ("longitudinal"; a lo largo de un eje) y m_t = 0,19m_e ("transverso"; a lo largo de dos ejes).

En algunos semiconductores importantes (en particular, el silicio), las energías más bajas de la banda de conducción no son simétricas, ya que las superficies de energía constante ahora son elipsoides, en lugar de esferas en el caso isotrópico. Cada mínimo de banda de conducción se puede aproximar solo por

E()k)=E0+▪ ▪ 22mxAlternativa Alternativa ()kx− − k0,x)2+▪ ▪ 22mSí.Alternativa Alternativa ()kSí.− − k0,Sí.)2+▪ ▪ 22mzAlternativa Alternativa ()kz− − k0,z)2{displaystyle Eleft(mathbf {k} right)=E_{0}+{frac {hbar ¿Qué? {hbar ^{2}{2m_{y}}left(k_{y}-k_{0,y}right)}{2}+{frac} {hbar ^{2}{2m_{z}}left(k_{z}-k_{0,z}right)} {2}}

donde x, y y z están alineados con los ejes principales de los elipsoides, y m^*
_x, m^*
_y y m^*
_z son las masas inerciales efectivas a lo largo de estos diferentes ejes. Las compensaciones k_0,x, k_{0, y} y k_{0, z} reflejan que el mínimo de la banda de conducción ya no está centrado en el vector de onda cero. (Estas masas efectivas corresponden a los componentes principales del tensor de masa efectiva inercial, que se describe más adelante).

En este caso, el movimiento de los electrones ya no es directamente comparable con un electrón libre; la velocidad de un electrón dependerá de su dirección, y se acelerará en un grado diferente dependiendo de la dirección de la fuerza. Aún así, en cristales como el silicio, las propiedades generales, como la conductividad, parecen ser isotrópicas. Esto se debe a que hay múltiples valles (mínimos de banda de conducción), cada uno con masas efectivas reorganizadas a lo largo de diferentes ejes. Los valles actúan colectivamente juntos para dar una conductividad isotrópica. Es posible promediar los diferentes ejes' masas efectivas juntas de alguna manera, para recuperar la imagen de electrones libres. Sin embargo, el método de promedio resulta depender del propósito:

Caso general

En general, la relación de dispersión no se puede aproximar como parabólica y, en tales casos, la masa efectiva debe definirse con precisión si se va a utilizar. Aquí, una definición común de masa efectiva es el tensor de masa efectiva inercial definido a continuación; sin embargo, en general es una función matricial del vector de onda, e incluso más compleja que la estructura de bandas. Otras masas efectivas son más relevantes para los fenómenos directamente medibles.

Tensor de masa efectiva inercial

Una partícula clásica bajo la influencia de una fuerza acelera de acuerdo con la segunda ley de Newton, a = m⁻¹F, o alternativamente, el impulso cambia según d/dtp = F. Este principio intuitivo aparece de manera idéntica en las aproximaciones semiclásicas derivadas de la estructura de bandas cuando las transiciones entre bandas pueden ignorarse para campos externos suficientemente débiles. La fuerza da una tasa de cambio en el momento del cristal p_crystal:

F=d⁡ ⁡ pcristald⁡ ⁡ t=▪ ▪ d⁡ ⁡ kd⁡ ⁡ t,{displaystyle mathbf {F} {frac {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}}f}=hbar {fnhbar {fnMicroc {f {f} {f} {f}} {f}f}} {f}}}}}} {f}}f}}}}}f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

donde ħ = h/2π es el constante de Planck reducida.

La aceleración de una partícula similar a una onda se convierte en la tasa de cambio en la velocidad del grupo:

a=dd⁡ ⁡ tvg=dd⁡ ⁡ t()Silencio Silencio k⋅ ⋅ ()k))=Silencio Silencio kd⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()k)d⁡ ⁡ t=Silencio Silencio k()d⁡ ⁡ kd⁡ ⁡ t⋅ ⋅ Silencio Silencio k⋅ ⋅ ()k)),{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}

donde ∇_k es el operador del en el espacio recíproco. El último paso se sigue del uso de la regla de la cadena para una derivada total de una cantidad con dependencias indirectas, porque el resultado directo de la fuerza es el cambio en k(t) dado anteriormente, lo que indirectamente resulta en un cambio en E(k)=ħω(k). Combinando estas dos ecuaciones se obtiene

a=Silencio Silencio k()F▪ ▪ ⋅ ⋅ Silencio Silencio kE()k)▪ ▪ )=1▪ ▪ 2()Silencio Silencio k()Silencio Silencio kE()k)))⋅ ⋅ F=Minerte− − 1⋅ ⋅ F{displaystyle mathbf {a} ¿Qué? {F} =M_{text{inert} {-1}cdot mathbf {F}

usando la regla del producto de punto con una fuerza uniforme (Silencio_kF=0). Silencio Silencio k()Silencio Silencio kE()k)){displaystyle nabla _{k}left(nabla _{k},E(mathbf {k})right)} es la matriz hesiana de E()k) en espacio recíproco. Vemos que el equivalente de la masa inercial recíproca Newtoniana para una partícula libre definida por a = m⁻¹F se ha convertido en una cantidad de tensor

Minerte− − 1=1▪ ▪ 2Silencio Silencio k()Silencio Silencio kE()k)).{displaystyle M_{text{inert}{-1}={frac} {1}{hbar ^{2}}nabla _{k}left(nabla _{k},E(mathbf {k})right). }

cuyos elementos son

[Minerte− − 1]ij=1▪ ▪ 2[Silencio Silencio k()Silencio Silencio kE()k))]ij=1▪ ▪ 2∂ ∂ 2E∂ ∂ ki∂ ∂ kj.{displaystyle left[M_{text{inert} {-1}right]_{ij}={frac} {1}{hbar ^{2}}}left[nabla_{k}left(nabla _{k},E(mathbf {k})right)_{ij}=frac {1} {hbar ^{2}}{frac {partial ^{2}E}{partial}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}f}}}}}}} {f}} {f}f}} {f}f} {f} {f}f}f} {f}}}f}f}}}}f} {f} {f} {f}f}f}f}}f}f}}}f} {f}f} {f}f}}f}f}}}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}}}f}f}}f}f}f}}f} K_{i}partial.

Este tensor permite que la aceleración y la fuerza estén en diferentes direcciones, y que la magnitud de la aceleración dependa de la dirección de la fuerza.

• Para las bandas parabólicas, los elementos off-diagonales de M_inerte⁻¹ son cero, y los elementos diagonales son constantes
• Para las bandas isotrópicas los elementos diagonales deben ser todos iguales y los elementos fuera del diagonal deben ser todos iguales.
• Para bandas isotrópicas parabólicas, M_inerte⁻¹ = 1/m^*I, donde m^* es una masa eficaz escalar y I es la identidad.
• En general, los elementos M_inerte⁻¹ son funciones de k.
• El inverso, M_inerte =M_inerte⁻¹)⁻¹, es conocido como efectivo tensor de masa. Tenga en cuenta que no siempre es posible invertir M_inerte⁻¹

Para bandas con dispersión lineal E∝ ∝ k{displaystyle Epropto k} como con fotones o electrones en grafino, la velocidad del grupo se fija, es decir, electrones que viajan con paralelo con k a la dirección de la fuerza F no se puede acelerar y los elementos diagonales de M_inerte⁻¹ son obviamente cero. Sin embargo, los electrones que viajan con un componente perpendicular a la fuerza se pueden acelerar en la dirección de la fuerza, y los elementos fuera de la diagonal de M_inerte⁻¹ no son cero. De hecho, los elementos fuera del diagonal escalan inversamente con k, es decir, se desfilan (become infinite) para pequeños k. Es por eso que a veces se dice que los electrones en el grafeno tienen masa infinita (debido a los ceros en la diagonal de M_inerte⁻¹) y a veces dijo que era sin masa (debido a la divergencia en las fuera de las diagonales).

Masa efectiva del ciclotrón

Clásicamente, una partícula cargada en un campo magnético se mueve en una hélice a lo largo del eje del campo magnético. El período T de su movimiento depende de su masa m y carga e,

T=Silencio2π π meBSilencio{displaystyle T=leftvert {frac {2fnMicroc} ¿Qué?

donde B es la densidad de flujo magnético.

Para las partículas en estructuras de bandas asimétricas, la partícula ya no se mueve exactamente en una hélice, sin embargo, su movimiento transversal al campo magnético todavía se mueve en un bucle cerrado (no necesariamente un círculo). Además, el tiempo para completar uno de estos bucles todavía varía inversamente con el campo magnético, por lo que es posible definir una masa efectiva de ciclotrón a partir del período medido, utilizando la ecuación anterior.

El movimiento semiclásico de la partícula se puede describir mediante un bucle cerrado en el espacio k. A lo largo de este bucle, la partícula mantiene una energía constante, así como un impulso constante a lo largo del eje del campo magnético. Al definir A como el área k-space encerrada por este bucle (esta área depende de la energía E, la dirección del campo magnético y el vector de onda en el eje k_B), entonces se puede demostrar que la masa efectiva del ciclotrón depende de la estructura de la banda a través de la derivada de esta área en energía:

mAlternativa Alternativa ()E,B^ ^ ,kB^ ^ )=▪ ▪ 22π π ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ EA()E,B^ ^ ,kB^ ^ ){displaystyle m^{*}left(E,{hat {B},k_{hat {B}right)={frac {hbar ^{2}{2pi} }cdot {frac {partial } {partial E}Aleft(E,{hat {B}},k_{hat {B}right)}

Normalmente, los experimentos que miden el movimiento del ciclotrón (resonancia del ciclotrón, efecto De Haas-Van Alphen, etc.) se limitan a probar únicamente el movimiento para energías cercanas al nivel de Fermi.

En los gases de electrones bidimensionales, la masa efectiva del ciclotrón se define sólo para una dirección de campo magnético (perpendicular) y el ondulador de onda fuera de plano desciende. La masa efectiva del ciclotrón por lo tanto es sólo una función de energía, y resulta estar exactamente relacionada con la densidad de estados en esa energía a través de la relación g()E)=gvmAlternativa Alternativa π π ▪ ▪ 2{displaystyle scriptstyle g(E);=;{frac {g_{v}m^{*}{pihbar ^{2}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}, donde g_v es la degeneración del valle. Tal relación simple no se aplica en materiales tridimensionales.

Densidad de masas efectivas de estado (semiconductores ligeramente dopados)

En semiconductores con bajos niveles de dopaje, la concentración de electrones en la banda de conducción viene dada en general por

ne=NCexp⁡ ⁡ ()− − EC− − EFkT){displaystyle #### {text{e}=N_{C}text{C}exp left(-{frac} {E_{text{C}-E_{text{F} {kT}right)}

donde E_F es el nivel de Fermi, E_C es la energía mínima de la banda de conducción, y N_C es un coeficiente de concentración que depende de la temperatura. Se puede demostrar que la relación anterior para n_e se aplica a cualquier forma de banda de conducción (incluidas las bandas asimétricas no parabólicas).), siempre que el dopaje sea débil (E_C − E_F ≫ kT); esto es una consecuencia de las estadísticas de Fermi-Dirac que se limitan a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.

El concepto de masa efectiva es útil para modelar la dependencia de temperatura de N_C, lo que permite la relación anterior para ser utilizado en un rango de temperaturas. En un material tridimensional idealizado con una banda parabólica, el coeficiente de concentración está dado por

NC=2()2π π meAlternativa Alternativa kTh2)32{displaystyle quad N_{text{C}=2left({frac {2pi ¿Qué? {3}{2}}

En semiconductores con estructuras de bandas no simples, esta relación se utiliza para definir una masa efectiva, conocida como la densidad de estados de masa efectiva de electrones. El nombre "densidad de masa efectiva de estados" se utiliza ya que la expresión anterior para N_C se deriva a través de la densidad de estados para una banda parabólica.

En la práctica, la masa efectiva extraída de esta manera no es del todo constante en temperatura (N_C no varían exactamente como T^3/2). En el silicio, por ejemplo, esta masa efectiva varía en un pequeño porcentaje entre el cero absoluto y la temperatura ambiente porque la estructura de la banda en sí misma cambia ligeramente de forma. Estas distorsiones de la estructura de la banda son el resultado de cambios en las energías de interacción electrón-fonón, y la expansión térmica de la red juega un papel menor.

Del mismo modo, el número de huecos en la banda de valencia y la densidad de estados masa efectiva de huecos están definidos por:

nh=NVexp⁡ ⁡ ()− − EF− − EVkT),NV=2()2π π mhAlternativa Alternativa kTh2)32{displaystyle #### {text{h}=N_{V}text{V}exp left(-{frac} {E_{text{F}-E_{text{V} {kT}right),quad N_{text{V}=2left({frac {2pi ¿Qué? {3}{2}}

donde E_V es la energía máxima de la banda de valencia. En la práctica, esta masa efectiva tiende a variar mucho entre el cero absoluto y la temperatura ambiente en muchos materiales (p. ej., un factor de dos en el silicio), ya que existen múltiples bandas de valencia con un carácter distinto y significativamente no parabólico, todas con picos cercanos a la misma energía..

Determinación

Experimental

Las masas tradicionalmente efectivas se midieron mediante la resonancia ciclotron, un método en el que la absorción de microondas de un semiconductor inmerso en un campo magnético pasa por un pico agudo cuando la frecuencia de microondas es igual a la frecuencia ciclotron fc=eB2π π mAlternativa Alternativa {displaystyle scriptstyle f_{c};=;{frac {EB}{2pi m^ {}}}. En los últimos años, las masas efectivas se han determinado más comúnmente mediante la medición de estructuras de banda utilizando técnicas tales como la emisión de fotos resuelta por ángulos (ARPES) o, más directamente, el efecto de Haas-van Alphen. Las masas efectivas también se pueden estimar utilizando el coeficiente γ del término lineal en el calor electrónico de baja temperatura en volumen constante cv{displaystyle scriptstyle c_{v}. El calor específico depende de la masa efectiva a través de la densidad de estados en el nivel de Fermi y como tal es una medida de degeneración y curvatura de banda. Estimaciones muy grandes de masa portadora de mediciones específicas de calor han dado lugar al concepto de materiales pesados de helecho. Puesto que la movilidad del porteador depende de la relación de vida de colisión del porteador τ τ {displaystyle tau } a masa efectiva, las masas se pueden determinar en principio a partir de mediciones de transporte, pero este método no es práctico ya que las probabilidades de colisión porteador normalmente no se conocen a priori. El efecto del Hall óptico es una técnica emergente para medir la densidad de carga gratuita, los parámetros de masa y movilidad efectivos en semiconductores. El efecto del Hall óptico mide la analogía del efecto de la sala eléctrica inducida por campo eléctrico cuasi estática a frecuencias ópticas en materiales conductivos y complejos de capa. El efecto del Hall óptico también permite caracterizar la anisotropía (característica de gran tamaño) de los parámetros efectivos de masa y movilidad.

Teórico

Se utiliza una variedad de métodos teóricos que incluyen la teoría funcional de la densidad, la teoría de la perturbación k·p y otros para complementar y respaldar las diversas mediciones experimentales descritas en la sección anterior, incluida la interpretación, el ajuste y la extrapolación de estas mediciones. Algunos de estos métodos teóricos también se pueden usar para ab initio predicciones de masa efectiva en ausencia de datos experimentales, por ejemplo para estudiar materiales que aún no han sido creados en el laboratorio.

Importancia

La masa efectiva se usa en cálculos de transporte, como el transporte de electrones bajo la influencia de campos o gradientes de portadores, pero también se usa para calcular la densidad de portadores y la densidad de estados en semiconductores. Estas masas están relacionadas pero, como se explicó en las secciones anteriores, no son iguales porque las ponderaciones de varias direcciones y vectores de onda son diferentes. Estas diferencias son importantes, por ejemplo, en materiales termoeléctricos, donde se desea una alta conductividad, generalmente asociada con una masa ligera, al mismo tiempo que un alto coeficiente de Seebeck, generalmente asociado con una masa pesada. Se han desarrollado métodos para evaluar las estructuras electrónicas de diferentes materiales en este contexto.

Ciertos compuestos del grupo III-V como el arsenuro de galio (GaAs) y el antimonio indio (InSb) tienen masas más pequeñas que los materiales del grupo tetraedral IV como silicio y germanio. En la imagen más simple de Drude del transporte electrónico, la velocidad máxima del portador de carga alcanzable es inversamente proporcional a la masa efectiva: v→ → =.μ μ .⋅ ⋅ E→ → {fnMicrosoft Sans SerfnMicrosoft Sans Serif} Vert mu right Vert cdot {vec {E}}, donde .μ μ .=eτ τ /.mAlternativa Alternativa .{textstyle left Vert mu right Vert ;=;{etau }/{left Vert m^{*}right Vert con e{textstyle e} ser la carga electrónica. La velocidad máxima de los circuitos integrados depende de la velocidad del transportista, por lo que la masa baja efectiva es la razón fundamental que GaAs y sus derivados se utilizan en lugar de Si en aplicaciones de ancho de banda alto como la telefonía celular.

En abril de 2017, investigadores de la Universidad Estatal de Washington afirmaron haber creado un fluido con masa efectiva negativa dentro de un condensado de Bose-Einstein mediante la ingeniería de la relación de dispersión.