Masa añadida

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En mecánica de fluidos, la masa agregada o masa virtual es la inercia agregada a un sistema porque un cuerpo que acelera o desacelera debe mover (o desviar) cierto volumen de fluido circundante. a medida que avanza a través de él. La masa agregada es un problema común porque el objeto y el fluido circundante no pueden ocupar el mismo espacio físico simultáneamente. Para simplificar, esto se puede modelar como un volumen de fluido que se mueve con el objeto, aunque en realidad "todos" están en movimiento. el fluido se acelerará en diversos grados.

El coeficiente de masa añadida adimensional es la masa añadida dividida por la masa del fluido desplazado, es decir, dividida por la densidad del fluido multiplicada por el volumen del cuerpo. En general, la masa agregada es un tensor de segundo orden, que relaciona el vector de aceleración del fluido con el vector de fuerza resultante sobre el cuerpo.

Fondo

Friedrich Wilhelm Bessel propuso el concepto de masa añadida en 1828 para describir el movimiento de un péndulo en un fluido. El período de dicho péndulo aumentó en relación con su período en el vacío (incluso después de tener en cuenta los efectos de flotabilidad), lo que indica que el fluido circundante aumentó la masa efectiva del sistema.

El concepto de masa añadida es posiblemente el primer ejemplo de renormalización en física. El concepto también puede considerarse como un análogo de la física clásica del concepto de cuasipartículas en la mecánica cuántica. Sin embargo, no debe confundirse con el aumento de masa relativista.

A menudo se afirma erróneamente que la masa añadida está determinada por el momento del fluido. Que este no es el caso, queda claro al considerar el caso del fluido en una caja grande, donde el momento del fluido es exactamente cero en cada momento del tiempo. La masa agregada en realidad está determinada por el cuasi momento: la masa agregada multiplicada por la aceleración del cuerpo es igual a la derivada del tiempo del cuasi momento del fluido.

Fuerza de masa virtual

Las fuerzas inestables debidas a un cambio en la velocidad relativa de un cuerpo sumergido en un fluido se pueden dividir en dos partes: el efecto de masa virtual y la fuerza de Basset.

El origen de la fuerza es que el fluido ganará energía cinética a expensas del trabajo realizado por un cuerpo sumergido en aceleración.

Se puede demostrar que la fuerza de masa virtual, para una partícula esférica sumergida en un fluido invisible e incompresible es

{displaystyle mathbf {F} ={frac {rho _{mathrm {c} }V_{mathrm {p} }}{2}}left({frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}-{frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}right),}

donde los símbolos audaces denotan vectores, ${displaystyle mathbf {u} }$ es la velocidad de flujo de fluidos, ${displaystyle mathbf {v} }$ es la velocidad de partículas esféricas, ${displaystyle rho _{mathrm {c} }}$ es la densidad de masa del fluido (fase continua), ${displaystyle V_{mathrm {p} }}$ es el volumen de la partícula, y D/Dt denota el derivado material.

El origen de la noción de "masa virtual" Se vuelve evidente cuando observamos la ecuación del momento de la partícula.

{displaystyle m_{mathrm {p} }{frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}=sum mathbf {F} +{frac {rho _{mathrm {c} }V_{mathrm {p} }}{2}}left({frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}}-{frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}right),}

Donde ${displaystyle sum mathbf {F} }$ es la suma de todos los demás términos de fuerza en la partícula, tales como gravedad, gradiente de presión, arrastre, elevación, fuerza Basset, etc.

Mover la derivada de la velocidad de la partícula desde el lado derecho de la ecuación hacia la izquierda obtenemos

{displaystyle left(m_{mathrm {p} }+{frac {rho _{mathrm {c} }V_{mathrm {p} }}{2}}right){frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}=sum mathbf {F} +{frac {rho _{mathrm {c} }V_{mathrm {p} }}{2}}{frac {mathrm {D} mathbf {u} }{mathrm {D} t}},}

Así que la partícula se acelera como si tuviera una masa adicional de la mitad del fluido que desplaza, y también hay una contribución de fuerza adicional en el lado derecho debido a la aceleración del fluido.

Aplicaciones

La masa agregada se puede incorporar a la mayoría de las ecuaciones físicas considerando una masa efectiva como la suma de la masa y la masa agregada. Esta suma se conoce comúnmente como "masa virtual".

Una formulación simple de la masa agregada para un cuerpo esférico permite escribir la segunda ley clásica de Newton en la forma

{displaystyle F=m,a}

se convierte en

{displaystyle F=(m+m_{text{added}}),a.}

Uno puede demostrar que la masa agregada para una esfera (de radio) ${displaystyle r}$ ) es ${displaystyle {tfrac {2}{3}}pi r^{3}rho _{text{fluid}}}$ , que es mitad el volumen de la esfera tiempos la densidad del fluido. Para un cuerpo general, la masa agregada se convierte en un tensor (referido como el tensor de masa inducida), con componentes dependiendo de la dirección del movimiento del cuerpo. No todos los elementos de la masa agregada tensor tendrán masa de dimensión, algunos serán masa × longitud y algunos serán masa × longitud².

Todos los cuerpos que se aceleran en un fluido se verán afectados por la masa agregada, pero dado que la masa agregada depende de la densidad del fluido, el efecto a menudo se desprecia en el caso de cuerpos densos que caen en fluidos mucho menos densos. Para situaciones en las que la densidad del fluido es comparable o mayor que la densidad del cuerpo, la masa agregada a menudo puede ser mayor que la masa del cuerpo y descuidarla puede introducir errores significativos en un cálculo.

Por ejemplo, una burbuja de aire esférica que crece en el agua tiene una masa de ${displaystyle {tfrac {4}{3}}pi r^{3}rho _{text{air}}}$ pero una masa agregada ${displaystyle {tfrac {2}{3}}pi r^{3}rho _{text{water}}.}$ Como el agua es aproximadamente 800 veces más densa que el aire (en RTP), la masa agregada en este caso es aproximadamente 400 veces la masa de la burbuja.

Arquitectura naval

Estos principios también se aplican a barcos, submarinos y plataformas marinas. En la industria marina, la masa agregada se conoce como masa agregada hidrodinámica. En el diseño de un barco, se debe tener en cuenta la energía necesaria para acelerar la masa añadida al realizar un análisis de mantenimiento del mar. En el caso de los barcos, la masa añadida puede alcanzar fácilmente un cuarto o un tercio de la masa del barco y, por lo tanto, representa una inercia significativa, además de las fuerzas de fricción y de arrastre de formación de olas.

Para ciertas geometrías que se hunden libremente a través de una columna de agua, la masa hidrodinámica agregada asociada con el cuerpo que se hunde puede ser mucho mayor que la masa del objeto. Esta situación puede ocurrir, por ejemplo, cuando el cuerpo que se hunde tiene una gran superficie plana con su vector normal apuntando en la dirección del movimiento (hacia abajo). Cuando un objeto de este tipo se desacelera bruscamente (por ejemplo, debido a un impacto con el fondo del mar), se libera una cantidad sustancial de energía cinética.

En la industria offshore, las masas hidrodinámicas añadidas de diferentes geometrías son objeto de considerable investigación. Estos estudios generalmente son necesarios como insumo para las evaluaciones de riesgo de caída de objetos submarinos (estudios centrados en cuantificar el riesgo de impactos de objetos caídos en la infraestructura submarina). Como la masa hidrodinámica agregada puede constituir una proporción significativa de la masa total de un objeto que se hunde en el momento del impacto, influye significativamente en la resistencia de diseño considerada para las estructuras de protección submarinas.

La proximidad a un límite (u otro objeto) puede influir en la cantidad de masa hidrodinámica agregada. Esto significa que la masa agregada depende tanto de la geometría del objeto como de su proximidad a un límite. Para los cuerpos flotantes (por ejemplo, barcos/embarcaciones), esto significa que la respuesta del cuerpo flotante (es decir, debido a la acción de las olas) se altera en profundidades de agua finitas (el efecto es prácticamente inexistente en aguas profundas). La profundidad específica (o proximidad a un límite) a la que se ve afectada la masa hidrodinámica agregada depende de la geometría del cuerpo y de la ubicación y forma de un límite (por ejemplo, un muelle, un malecón, un mamparo o el fondo marino).

La masa hidrodinámica agregada asociada con un objeto que se hunde libremente cerca de un límite es similar a la de un cuerpo flotante. En general, la masa agregada hidrodinámica aumenta a medida que disminuye la distancia entre un límite y un cuerpo. Esta característica es importante al planificar instalaciones submarinas o predecir el movimiento de un cuerpo flotante en aguas poco profundas.

Aeronáutica

En los aviones (excepto los globos y dirigibles más ligeros que el aire), la masa agregada generalmente no se tiene en cuenta porque la densidad del aire es muy pequeña.

Estructuras hidráulicas

Las estructuras hidráulicas, como presas o esclusas, a menudo contienen estructuras de acero móviles, como válvulas o compuertas, que se sumergen bajo el agua. Estas estructuras de acero suelen construirse con finas placas de acero montadas sobre vigas. Cuando las estructuras de acero se aceleran o desaceleran, también se mueven cantidades sustanciales de agua. Esta masa añadida debe, p. tener en cuenta al diseñar los sistemas de accionamiento para estas estructuras de acero.

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