Martingala (teoría de la probabilidad)

En la teoría de la probabilidad, una martingala es una secuencia de variables aleatorias (es decir, un proceso estocástico) para las cuales, en un momento particular, la expectativa condicional del siguiente valor en la secuencia es igual a el valor presente, independientemente de todos los valores anteriores.

Historia

Originalmente, martingala se refería a una clase de estrategias de apuestas que era popular en la Francia del siglo XVIII. La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana su apuesta si una moneda sale cara y la pierde si sale cruz. La estrategia hizo que el jugador duplicara su apuesta después de cada pérdida para que la primera ganancia recuperara todas las pérdidas anteriores y ganara una ganancia igual a la apuesta original. A medida que la riqueza del jugador y el tiempo disponible juntos se acercan al infinito, su probabilidad de eventualmente sacar cara se acerca a 1, lo que hace que la estrategia de apuestas martingala parezca algo seguro. Sin embargo, el crecimiento exponencial de las apuestas eventualmente lleva a la bancarrota a sus usuarios debido a los fondos finitos. El movimiento browniano detenido, que es un proceso de martingala, se puede utilizar para modelar la trayectoria de tales juegos.

El concepto de martingala en la teoría de la probabilidad fue introducido por Paul Lévy en 1934, aunque no lo nombró. El término "martingala" fue introducido más tarde por Ville (1939), quien también amplió la definición a las martingalas continuas. Gran parte del desarrollo original de la teoría fue realizado por Joseph Leo Doob, entre otros. Parte de la motivación de ese trabajo fue mostrar la imposibilidad de estrategias de apuestas exitosas en juegos de azar.

Definiciones

Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso estocástico de tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias) X₁, X₂, X₃,... que satisface para cualquier momento n,

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E()Xn+1▪ ▪ X1,...... ,Xn)=Xn.{displaystyle mathbf {E} (X_{n+1}mid X_{1},ldotsX_{n}=X_{n}

Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las observaciones anteriores, es igual a la observación más reciente.

Secuencias martingala con respecto a otra secuencia

Más generalmente, una secuencia Y₁, Y₂, Y ₃... se dice que es una martingala con respecto a otra secuencia X₁, X ₂, X₃... si para todo n

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E()Yn+1▪ ▪ X1,...... ,Xn)=Yn.{displaystyle mathbf {E} (Y_{n+1}mid X_{1},ldotsX_{n}=Y_{n}

Del mismo modo, una martingala de tiempo continuo con respecto al proceso estocástico X_t es un proceso estocástico Y _t tal que para todo t

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E()Yt▪ ▪ {}Xτ τ ,τ τ ≤ ≤ s})=YsО О s≤ ≤ t.{displaystyle mathbf {E} (Y_{t}mid {X_{tau },tau leq s})=Y_{s}quad forall sleq t.}

Esto expresa la propiedad que la expectativa condicional de una observación a la vez t, dadas todas las observaciones hasta el tiempo s{displaystyle s}, es igual a la observación a la vez s (por supuesto, siempre que s≤t). Note que la segunda propiedad implica que Yn{displaystyle Y... es mensurable con respecto a X1...... Xn{displaystyle X_{1}dots X_{n}.

Definición general

En generalidad completa, un proceso estocástico Y:T× × Ω Ω → → S{displaystyle Y:Ttimes Omega to S} tomar valores en un espacio de Banach S{displaystyle S. con norma .. ⋅ ⋅ .. S{displaystyle lVert cdot Vert _{S} es un martingale con respecto a una filtración .. Alternativa Alternativa {displaystyle Sigma _{*} y medida de probabilidad P{displaystyle mathbb {P} si

• ._Alternativa es una filtración del espacio de probabilidad subyacente (Ω, bah,P{displaystyle mathbb {P});
• Y se adapta a la filtración de la_AlternativaPor cada uno t in the index set T, la variable aleatoria Y_t es una_t- función mensurable;
• para cada uno t, Y_t mentiras en el espacio Lp L¹(Ω, CEP_t,P{displaystyle mathbb {P};S), i.e.

<math alttext="{displaystyle mathbf {E} _{mathbb {P} }(lVert Y_{t}rVert _{S})EP().. Yt.. S).+JUEGO JUEGO ;{displaystyle mathbf {E}* [P] }(lVert Y_{t}r Vert.<img alt="{displaystyle mathbf {E} _{mathbb {P} }(lVert Y_{t}rVert _{S})

• para todos s y t con s.t y todos FzioDt_s,

EP()[Yt− − Ys]χ χ F)=0,{displaystyle mathbf {E} _{mthbb {}left([Y_{t}-Y_{s}chi _{F}right)=0,}

Donde χ_F denota la función indicadora del evento F. En Grimmett y Stirzaker Probabilidad y procesos aleatorios, esta última condición se denota

Ys=EP()Yt▪ ▪ .. s),{displaystyle Y... {E}* {P} (Y_{t}mid Sigma _{s}),}

que es una forma general de expectativa condicional.

Es importante señalar que la propiedad de ser martingala implica tanto la filtración como la medida de probabilidad (respecto a la cual se toman las expectativas). Es posible que Y sea una martingala con respecto a un compás pero no a otro; el teorema de Girsanov ofrece una forma de encontrar una medida con respecto a la cual un proceso de Itō es una martingala.

En el espacio de Banach la expectativa condicional también se denota en la notación del operador como E.. sYt{displaystyle mathbf {E} - Sí..

Ejemplos de martingalas

• Un caminar aleatorio imparcial (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de un martingale.
• La fortuna de un jugador (capital) es un martingale si todos los juegos de apuestas que juega el jugador son justos. Para ser más específico: supongamos X_n es la fortuna de un jugador después n tostes de una moneda justa, donde el jugador gana $1 si la moneda aparece cabezas y pierde $1 si viene hacia arriba colas. La fortuna esperada del jugador después del próximo juicio, dada la historia, es igual a su fortuna actual. Esta secuencia es así un martingale.
• Vamos Y_n = X_n² − n Donde X_n es la fortuna del jugador del ejemplo anterior. Entonces la secuencia { Y_n: n = 1, 2, 3, es un martingale. Esto se puede utilizar para demostrar que la ganancia total o pérdida del jugador varía aproximadamente entre más o menos la raíz cuadrada del número de pasos.
• (de Moivre's martingale) Ahora supongamos que la moneda es injusta, es decir, sesgada, con probabilidad p de cabezas y probabilidad q= 1 −p de colas. Vamos

Xn+1=Xn± ± 1{displaystyle X_{n+1}=X_{n}pm 1}

con "+" en caso de "cabezas" y " -" en caso de "talles". Vamos

Yn=()q/p)Xn.{displaystyle Sí.

Entonces... Y_n: n = 1, 2, 3, es un martingale con respecto a { X_n: n = 1, 2, 3,... Para mostrar esto

E[Yn+1▪ ▪ X1,...... ,Xn]=p()q/p)Xn+1+q()q/p)Xn− − 1=p()q/p)()q/p)Xn+q()p/q)()q/p)Xn=q()q/p)Xn+p()q/p)Xn=()q/p)Xn=Yn.{cHFF} {cH00}} {cH00} {cH00}}cH00}}}cH00}}} {cH00}} {cH00}}cH00} {cH00}}cH00} {cH00}cH00} {cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}}}cH00

• La urna de Pólya contiene varios mármoles de color diferente; en cada iteración se selecciona aleatoriamente un mármol de la urna y se reemplaza con varios más de ese mismo color. Para cualquier color dado, la fracción de mármoles en la urna con ese color es un martingale. Por ejemplo, si actualmente el 95% de los mármoles son rojos entonces, aunque la próxima iteración es más probable añadir mármoles rojos que otro color, este sesgo es exactamente equilibrado por el hecho de que añadir más mármoles rojos altera la fracción mucho menos significativamente que añadir el mismo número de mármoles no rojos.
• (Ensayos por ratio de probabilidad en estadísticas) Una variable aleatoria X se piensa que se distribuye según la densidad de probabilidad f o a una densidad de probabilidad diferente g. Una muestra aleatoria X₁,... X_n es tomado. Vamos Y_n ser la " ratio de probabilidad"

Yn=∏ ∏ i=1ng()Xi)f()Xi){displaystyle Y... {f}}}

Si X se distribuye realmente de acuerdo a la densidad f más que según g, entonces {Y_n:n= 1, 2, 3,...X_n:n= 1, 2, 3,...}.

• En una comunidad ecológica (un grupo de especies que están en un nivel trófico particular, compitiendo por recursos similares en un área local), el número de individuos de cualquier especie particular de tamaño fijo es una función del tiempo (descreto), y puede ser visto como una secuencia de variables aleatorias. Esta secuencia es un martingale bajo la teoría neutral unificada de biodiversidad y biogeografía.
• Si N_t: t≥ 0 } es un proceso Poisson con intensidadλ, entonces el proceso de Poisson compensado {N_t−λt: t≥ 0 } es un martingale de tiempo continuo con trayectorias de muestra continuas/izquierda

• Wald Martingale

• A d{displaystyle d}- proceso dimensional M=()M()1),...... ,M()d)){displaystyle M=(M^{(1)},dotsM^{(d)}} en algún espacio Sd{displaystyle S^{d} es un martingale en Sd{displaystyle S^{d} si cada componente Ti()M)=M()i){displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)} es un martingale unidimensional S{displaystyle S..

Submartingale, supermartingale, and relationship to harmonic functions

Hay dos generalizaciones populares de una martingala que también incluyen casos en los que la observación actual X_n no es necesariamente igual a la expectativa condicional futura E[X_n+1 | X₁,...,X_n] sino un límite superior o inferior en la expectativa condicional. Estas definiciones reflejan una relación entre la teoría de la martingala y la teoría del potencial, que es el estudio de las funciones armónicas. Así como una martingala de tiempo continuo satisface E[X_t | {X_τ: τ ≤ s}] − X_s = 0 ∀s ≤ t, una función armónica f satisface la ecuación diferencial parcial Δf = 0 donde Δ es el operador laplaciano. Dado un proceso de movimiento browniano W_t y una función armónica f, el proceso resultante f(W_t) es también una martingala.

• Un tiempo discreto submartingale es una secuencia X1,X2,X3,...... {displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},ldots de variables aleatorias integrables

E⁡ ⁡ [Xn+1▪ ▪ X1,...... ,Xn]≥ ≥ Xn.{displaystyle operatorname {E} [X_{n+1}mid X_{1},ldotsX_{n}geq X_{n}

Del mismo modo, un satisfio submarino continuo

E⁡ ⁡ [Xt▪ ▪ {}Xτ τ :τ τ ≤ ≤ s}]≥ ≥ XsО О s≤ ≤ t.{displaystyle operatorname {E} [X_{t}mid {X_{tau }:tau leq s}gq X_{s}quad forall sleq t.}

En teoría potencial, una función subharmónica f satisfies Δf≥ 0. Cualquier función subharmónica que está ligada arriba por una función armónica para todos los puntos en el límite de una bola está ligada arriba por la función armónica para todos los puntos dentro de la bola. Del mismo modo, si un submartingale y un martingale tienen expectativas equivalentes por un tiempo dado, la historia del submartingale tiende a ser atada por encima de la historia del martingale. Roughly speaking, the prefix "sub-" is consistent because the current observation X_n es menos que (o igual a) la expectativa condicional E[X_{n+ 1}SilencioX₁,...X_n]. En consecuencia, la observación actual proporciona apoyo desde abajo la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a aumentar en el tiempo futuro.

• Analógicamente, un tiempo discreto supermartingale satisfizo

E⁡ ⁡ [Xn+1▪ ▪ X1,...... ,Xn]≤ ≤ Xn.{displaystyle operatorname {E} [X_{n+1}mid X_{1},ldotsX_{n}leq X_{n}

Del mismo modo, un satisfio supermartingale continuo

E⁡ ⁡ [Xt▪ ▪ {}Xτ τ :τ τ ≤ ≤ s}]≤ ≤ XsО О s≤ ≤ t.{displaystyle operatorname {E} [X_{t}mid {X_{tau }:tau leq s}leq X_{s}quad forall sleq t.}

En teoría potencial, una función superharmónica f satisfies Δf≤ 0. Cualquier función superharmónica que está ligada abajo por una función armónica para todos los puntos en el límite de una bola está ligada abajo por la función armónica para todos los puntos dentro de la bola. Del mismo modo, si un supermartingale y un martingale tienen expectativas equivalentes por un tiempo dado, la historia del supermartingale tiende a ser atada abajo por la historia del martingale. Roughly speaking, the prefix "super-" is consistent because the current observation X_n es más grande que (o igual a) la expectativa condicional E[X_{n+ 1}SilencioX₁,...X_n]. En consecuencia, la observación actual proporciona apoyo desde arriba la expectativa condicional futura, y el proceso tiende a disminuir en el tiempo futuro.

Ejemplos de submartingalas y supermartingalas

• Cada martingale es también un submarino y un supermartingale. Por el contrario, cualquier proceso estocástico que sea ambos un submarino y un supermartingale es un martingale.
• Considere de nuevo el jugador que gana $1 cuando una moneda aparece cabezas y pierde $1 cuando la moneda sale colas. Supongamos ahora que la moneda puede ser sesgada, para que aparezcan cabezas con probabilidad p.
  • Si p es igual a 1/2, el jugador en promedio no gana ni pierde dinero, y la fortuna del jugador con el tiempo es un martingale.
  • Si p es menos de 1/2, el jugador pierde dinero en promedio, y la fortuna del jugador con el tiempo es un supermartingale.
  • Si p es mayor de 1/2, el jugador gana dinero en promedio, y la fortuna del jugador con el tiempo es un submarino.
• Una función convexa de un martingale es un submartingale, por la desigualdad de Jensen. Por ejemplo, la plaza de la fortuna del jugador en el juego de la moneda justa es un submartingale (que también sigue del hecho de que X_n²−n es un martingale). Del mismo modo, una función concave de un martingale es un supermartingale.

Martingalas y tiempos de parada

Un tiempo de parada con respecto a una secuencia de variables aleatorias X₁, X₂, X₃,... es una variable aleatoria τ con la propiedad de que para cada t, la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ = t depende solo de los valores de X₁, X₂, X₃,..., X_t. La intuición detrás de la definición es que en cualquier momento t en particular, puede mirar la secuencia hasta el momento y saber si es hora de detenerse. Un ejemplo en la vida real podría ser el momento en que un jugador abandona la mesa de juego, lo que podría ser una función de sus ganancias anteriores (por ejemplo, podría irse solo cuando se arruina), pero no puede elegir ir o quedarse en función del resultado de los juegos que aún no se han jugado.

En algunos contextos, el concepto de detener el tiempo se define exigiendo únicamente que la ocurrencia o no ocurrencia del evento τ = t es probabilísticamente independiente de X_{t + 1}, X_{t + 2},... pero no que esté completamente determinada por la historia del proceso hasta el momento t. Esa es una condición más débil que la que aparece en el párrafo anterior, pero es lo suficientemente fuerte como para servir en algunas de las demostraciones en las que se utilizan tiempos de parada.

Una de las propiedades básicas de los martingales es que, si 0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()Xt)t■0{displaystyle (X_{t})_{t]}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11921aa300badc7a729d4d8d7ac16982b803106" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.486ex; height:2.843ex;"/> es un (sub-/super-) martingale y τ τ {displaystyle tau } es un tiempo de parada, luego el proceso de parada correspondiente 0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()Xtτ τ )t■0{displaystyle (X_{t} {tau })_{t Conf0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214eedda9d1acb9455de6492cf6bd79b76abf183" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.815ex; height:3.009ex;"/> definidas por Xtτ τ :=Xmin{}τ τ ,t}{displaystyle ¿Qué? - Sí. es también un (sub-/super-) martingale.

El concepto de martingala detenida conduce a una serie de teoremas importantes, incluido, por ejemplo, el teorema de detención opcional que establece que, bajo ciertas condiciones, el valor esperado de una martingala en un momento de detención es igual a su valor inicial.