Martingala (sistema de apuestas)

Una martingala es una clase de estrategias de apuestas que se originó y fue popular en la Francia del siglo XVIII. La más simple de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana la apuesta si una moneda sale cara y pierde si sale cruz. La estrategia hizo que el jugador doblara la apuesta después de cada pérdida, de modo que la primera ganancia recuperaría todas las pérdidas anteriores y ganaría una ganancia igual a la apuesta original. Así, la estrategia es una instanciación de la paradoja de San Petersburgo.

Dado que es casi seguro que un jugador acabe dando vueltas, la estrategia de apuestas martingala seguramente generará dinero para el jugador siempre que tenga una riqueza infinita y no haya límite en el dinero ganado en una sola apuesta. Sin embargo, ningún jugador tiene una riqueza infinita, y el crecimiento exponencial de las apuestas puede llevar a la bancarrota a los jugadores desafortunados que opten por utilizar la martingala, provocando una pérdida catastrófica. A pesar del hecho de que el jugador generalmente gana una pequeña recompensa neta, por lo que parece tener una estrategia sólida, el valor esperado del jugador sigue siendo cero porque la pequeña probabilidad de que el jugador sufra una pérdida catastrófica se equilibra exactamente con la ganancia esperada. En un casino, el valor esperado es negativo debido a la ventaja de la casa. Además, como la probabilidad de una serie de pérdidas consecutivas es más alta de lo que sugiere la intuición común, las estrategias de martingala pueden llevar rápidamente a la bancarrota a un jugador.

La estrategia martingala también se ha aplicado a la ruleta, ya que la probabilidad de acertar rojo o negro es cercana al 50 %.

Análisis intuitivo

La razón fundamental por la que fallan todos los sistemas de apuestas de tipo martingala es que no se puede utilizar ninguna cantidad de información sobre los resultados de apuestas pasadas para predecir los resultados de una apuesta futura con una precisión superior a la del azar. En terminología matemática, esto corresponde a la suposición de que los resultados de ganancias y pérdidas de cada apuesta son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, una suposición que es válida en muchas situaciones reales. De esta suposición se deduce que el valor esperado de una serie de apuestas es igual a la suma, sobre todas las apuestas que podrían ocurrir potencialmente en la serie, del valor esperado de una apuesta potencial multiplicada por la probabilidad de que el jugador haga esa apuesta. En la mayoría de los juegos de casino, el valor esperado de cualquier apuesta individual es negativo, por lo que la suma de muchos números negativos también será siempre negativa.

La estrategia martingala falla incluso con un tiempo de parada ilimitado, siempre que haya un límite en las ganancias o en las apuestas (lo que también es cierto en la práctica). Es solo con riqueza ilimitada, apuestas y tiempo que se podría argumentar que la martingala se convierte en una estrategia ganadora.

Análisis matemático

The impossibility of winning over the long run, given a limit of the size of bets or a limit in the size of one 's bankroll or line of credit, is proven by the optional stopping theorem.

Sin embargo, sin estos límites, la estrategia de apuestas martingala seguramente generará dinero para el jugador porque la posibilidad de que al menos una moneda salga cara se acerca a uno a medida que el número de monedas se acerca al infinito.

Análisis matemático de una sola ronda

Deje que una ronda se defina como una secuencia de pérdidas consecutivas seguidas de una victoria o de la quiebra del jugador. Después de ganar, el jugador "reinicia" y se considera que ha comenzado una nueva ronda. Por lo tanto, una secuencia continua de apuestas martingala puede dividirse en una secuencia de rondas independientes. Lo que sigue es un análisis del valor esperado de una ronda.

Sea q la probabilidad de perder (por ejemplo, para la ruleta americana con doble cero, es 20/38 para una apuesta al negro o al rojo). Sea B la cantidad de la apuesta inicial. Sea n el número finito de apuestas que el jugador puede permitirse perder.

La probabilidad de que el jugador pierda todas las n apuestas es qⁿ. Cuando todas las apuestas pierden, la pérdida total es

.. i=1nB⋅ ⋅ 2i− − 1=B()2n− − 1){displaystyle sum _{i=1}{n}Bcdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)}

La probabilidad de que el jugador no pierda todas las n apuestas es 1 − qⁿ. En todos los demás casos, el jugador gana la apuesta inicial (B). Por lo tanto, la ganancia esperada por ronda es

()1− − qn)⋅ ⋅ B− − qn⋅ ⋅ B()2n− − 1)=B()1− − ()2q)n){displaystyle (1-q^{n})cdot B-q^{n}cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n} }

Siempre que q > 1/2, la expresión 1 − (2q)ⁿ < 0 para todos los n > 0. Por lo tanto, para todos los juegos en los que es más probable que un jugador pierda que gane una apuesta dada, se espera que ese jugador pierda dinero, en promedio, en cada ronda. Aumentar el tamaño de la apuesta para cada ronda según el sistema martingala solo sirve para aumentar la pérdida promedio.

Supongamos que un jugador tiene un presupuesto de juego de 63 unidades. El jugador podría apostar 1 unidad en el primer giro. En cada pérdida, la apuesta se duplica. Así, tomando k como el número de pérdidas consecutivas anteriores, el jugador siempre apostará 2^k unidades.

Con una ganancia en cualquier giro dado, el jugador obtendrá 1 unidad neta sobre el monto total apostado hasta ese punto. Una vez que se logra esta ganancia, el jugador reinicia el sistema con una apuesta de 1 unidad.

Con pérdidas en los primeros seis giros, el jugador pierde un total de 63 unidades. Esto agota el bankroll y la martingala no puede continuar.

En este ejemplo, la probabilidad de perder todo el bankroll y no poder continuar con la martingala es igual a la probabilidad de 6 pérdidas consecutivas: (10/19)⁶ = 2,1256 %. La probabilidad de ganar es igual a 1 menos la probabilidad de perder 6 veces: 1 − (10/19)⁶ = 97,8744 %.

La cantidad esperada ganada es (1 × 0,978744) = 0,978744.
La cantidad esperada perdida es (63 × 0,021256)= 1,339118.
Por tanto, el valor esperado total para cada aplicación del sistema de apuestas es (0,978744 − 1,339118) = −0,360374.

En una circunstancia única, esta estrategia puede tener sentido. Supongamos que el jugador posee exactamente 63 unidades pero necesita desesperadamente un total de 64. Suponiendo que q > 1/2 (es un casino real) y solo puede hacer apuestas a cuotas pares, su mejor estrategia es bold play: en cada tirada, debe apostar la menor cantidad posible de manera que si gana alcanza su objetivo de inmediato, y si no tiene suficiente para esto, simplemente debe apostar todo. Eventualmente, o se arruina o alcanza su objetivo. Esta estrategia le da una probabilidad del 97,8744 % de lograr el objetivo de ganar una unidad frente a una probabilidad del 2,1256 % de perder las 63 unidades, y esa es la mejor probabilidad posible en esta circunstancia. Sin embargo, el juego audaz no siempre es la estrategia óptima para tener la mayor oportunidad posible de aumentar un capital inicial a una cantidad mayor deseada. Si el jugador puede apostar cantidades arbitrariamente pequeñas con probabilidades arbitrariamente altas (pero aún con la misma pérdida esperada de 10/19 de la apuesta en cada apuesta) y solo puede realizar una apuesta en cada giro, entonces existen estrategias con más del 98 %. posibilidad de lograr su objetivo, y estos usan un juego muy tímido a menos que el jugador esté cerca de perder todo su capital, en cuyo caso cambia a un juego extremadamente audaz.

Análisis matemático alternativo

El análisis anterior calcula el valor esperado, pero podemos hacernos otra pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que uno pueda jugar un juego de casino usando la estrategia martingala y evitar la racha perdedora lo suficiente como para duplicar una& #39;s fondos.

Al igual que antes, esto depende de la probabilidad de perder 6 giros seguidos en la ruleta, suponiendo que apostamos rojo/negro o par/impar. Muchos apostadores creen que las posibilidades de perder 6 seguidos son remotas, y que con una adherencia paciente a la estrategia aumentarán lentamente sus fondos.

En realidad, las probabilidades de una racha de 6 derrotas seguidas son mucho más altas de lo que mucha gente cree intuitivamente. Los estudios psicológicos han demostrado que dado que las personas saben que las probabilidades de perder 6 veces seguidas en 6 jugadas son bajas, asumen incorrectamente que en una serie más larga de jugadas las probabilidades también son muy bajas. De hecho, mientras que la posibilidad de perder 6 veces seguidas en 6 jugadas es un 1,8 % relativamente bajo en una rueda de un solo cero, la probabilidad de perder 6 veces seguidas (es decir, encontrarse con una racha de 6 derrotas) en algún momento durante una serie de 200 reproducciones es de aproximadamente el 84 %. Incluso si el jugador puede tolerar apostar ~1000 veces su apuesta original, una racha de 10 pérdidas seguidas tiene una probabilidad de ~11% de ocurrir en una serie de 200 jugadas. Tal racha de pérdidas probablemente acabaría con el apostador, ya que 10 pérdidas consecutivas con la estrategia martingala significan una pérdida de 1023 veces la apuesta original.

Estas probabilidades poco intuitivas y arriesgadas elevan el requisito de fondos para "seguro" apuestas de martingala a largo plazo a números increíblemente altos. Para tener menos del 10 % de posibilidades de no sobrevivir a una larga racha de pérdidas durante 5000 jugadas, el apostador debe tener suficiente para duplicar sus apuestas por 15 pérdidas. Esto significa que el apostador debe tener más de 65 500 (2^15-1 por sus 15 pérdidas y 2^15 por su 16ª apuesta ganadora que puso fin a la racha) veces el tamaño de su apuesta original. Por lo tanto, un jugador que haga apuestas de 10 unidades querría tener más de 655 000 unidades en su presupuesto (y aún así tener una probabilidad de ~5,5 % de perderlo todo durante 5000 jugadas).

Cuando se les pide a las personas que inventen datos que representen 200 lanzamientos de monedas, a menudo no agregan rachas de más de 5 porque creen que estas rachas son muy poco probables. Esta creencia intuitiva a veces se denomina heurística de representatividad.

Anti-martingala

En un estilo clásico de apuestas martingala, los jugadores aumentan las apuestas después de cada pérdida con la esperanza de que una eventual ganancia recupere todas las pérdidas anteriores. El enfoque anti-martingala, también conocido como martingala inversa, en cambio aumenta las apuestas después de ganar, mientras que las reduce después de una pérdida. La percepción es que el jugador se beneficiará de una racha ganadora o de una 'mano caliente', mientras reduce las pérdidas mientras 'fría'. o tener una racha perdedora. Como las apuestas simples son independientes entre sí (y de las expectativas del jugador), el concepto de "rachas" es simplemente un ejemplo de la falacia del jugador, y la estrategia anti-martingala no genera dinero. Si, por otro lado, los rendimientos de las acciones en la vida real están correlacionados en serie (por ejemplo, debido a los ciclos económicos y la reacción tardía a las noticias de los participantes más grandes del mercado), las "rachas" de ganancias o pérdidas ocurren más a menudo y son más largas que aquellas bajo un proceso puramente aleatorio, la estrategia anti-martingala teóricamente podría aplicarse y puede usarse en sistemas comerciales (como seguimiento de tendencias o "duplicación").