Mapeo del toro

En matemáticas, específicamente en topología, el toro de aplicación de un homeomorfismo f de un espacio topológico X consigo mismo es una construcción geométrica particular con f. Consideremos el producto cartesiano de X con un intervalo cerrado I y unamos las componentes de contorno mediante el homeomorfismo estático:

${\displaystyle M_{f}={\frac {(I\times X)}{(1,x)\sim (0,f(x)}}}$

El resultado es un haz de fibras cuya base es un círculo y cuya fibra es el espacio original X.

Si X es una variedad, M_f será una variedad de dimensión uno mayor, y se dice que "fibra sobre el círculo".

Como ejemplo simple, deja ${\displaystyle X}$ ser el círculo, y ${\displaystyle f}$ ser la inversión ${\displaystyle e^{ix}\mapsto e^{-ix}$, entonces el torus de mapeo es la botella Klein.

Los toros de aplicación de homeomorfismos de superficies desempeñan un papel fundamental en la teoría de 3-variedades y han sido objeto de un intenso estudio. Si S es una superficie cerrada de género g ≥ 2 y si f es un autohomeomorfismo de S, el toro de aplicación M_f es una 3-variedad cerrada que se fibrila sobre el círculo con la fibra S. Un resultado profundo de Thurston establece que, en este caso, la 3-variedad M_f es hiperbólica si y solo si f es un pseudohomeomorfismo de Anosov de S.