Mapeo de contracción

En matemáticas, a cartografía de la contracción, o contracción o contratista, en un espacio métrico (M,d) es una función f desde M a sí mismo, con la propiedad que hay un número real <math alttext="{displaystyle 0leq k0≤ ≤ k.1{displaystyle 0leq kiere1}<img alt="{displaystyle 0leq k tal que para todos x y Sí. dentro M,

d()f()x),f()Sí.))≤ ≤ kd()x,Sí.).{displaystyle d(f(x),f(y))leq k,d(x,y). }

El valor más pequeño de k se denomina constante de Lipschitz de f. Los mapas contractivos a veces se denominan mapas Lipschitzianos. Si la condición anterior se cumple por el contrario para k ≤ 1, entonces se dice que el mapeo es un mapa no expansivo.

Más generalmente, la idea de un mapeo conjetivo se puede definir para mapas entre espacios métricos. Así, si (M,d) y (N,d ') son dos espacios métricos, entonces f:M→ → N{displaystyle f:Mrightarrow N. es un mapeo contractivo si hay una constante <math alttext="{displaystyle 0leq k0≤ ≤ k.1{displaystyle 0leq kiere1}<img alt="{displaystyle 0leq k tales que

d.()f()x),f()Sí.))≤ ≤ kd()x,Sí.){displaystyle d'(f(x),f(y))leq k,d(x,y)}

para todo x e y en M.

Cada mapeo de contracción es continuo de Lipschitz y, por lo tanto, uniformemente continuo (para una función continua de Lipschitz, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).

Un mapeo de contracción tiene como máximo un punto fijo. Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que cada aplicación de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un punto fijo único, y que para cualquier x en M el iterado secuencia de funciones x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),.. converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para los sistemas de funciones iteradas donde a menudo se usan mapeos de contracción. El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para probar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se usa en una prueba del teorema de la función inversa.

Las asignaciones de contracción juegan un papel importante en los problemas de programación dinámica.

Mapeo firmemente no expansivo

Una asignación no económica con k=1{displaystyle k=1} se puede fortalecer a cartografía firmemente no económica en un espacio Hilbert H{displaystyle {fnMithcal}} si lo que sigue es válido para todos x y Sí. dentro H{displaystyle {fnMithcal}}:

.. f()x)− − f()Sí.).. 2≤ ≤ .. x− − Sí.,f()x)− − f()Sí.).. .{displaystyle Toddf(x)-f(y) eterna^{2}leq ,langle x-y,f(x)-f(y)rangle.}

dónde

d()x,Sí.)=.. x− − Sí... {displaystyle d(x,y)=fnx-yfnción}.

Este es un caso especial α α {displaystyle alpha } operadores no económicos promedio con α α =1/2{displaystyle alpha =1/2}. Un mapeo firmemente no expansivo es siempre no expansivo, a través de la desigualdad Cauchy-Schwarz.

La clase de mapas firmemente no económicos está cerrada bajo combinaciones convexas, pero no composiciones. Esta clase incluye cartografías proximales de funciones adecuadas, convexas y de menor calidad, por lo que también incluye proyecciones ortogonales sobre conjuntos convexos cerrados no vacíos. La clase de operadores firmemente no expansivos es igual al conjunto de resueltores de operadores monotonales al máximo. Sorprendentemente, si bien los mapas no económicos iterantes no tienen ninguna garantía para encontrar un punto fijo (por ejemplo, multiplicación para -1), la no expansión firme es suficiente para garantizar la convergencia global a un punto fijo, siempre que exista un punto fijo. Más precisamente, si Correcciónf:={}x▪ ▪ HSilenciof()x)=x}ل ل ∅ ∅ {displaystyle {text{Fix}f:={xin {mthcal {H} Silencio f(x)=x}neq varnothing }, entonces para cualquier punto inicial x0▪ ▪ H{displaystyle x_{0}in {fnMithcal {H}}, iterating

()О О n▪ ▪ N)xn+1=f()xn){displaystyle (forall nin mathbb {N})quad x_{n+1}=f(x_{n}}

convergencia de rendimientos a un punto fijo xn→ → z▪ ▪ Correcciónf{displaystyle x_{n}to zin {text{Fix}f}. Esta convergencia podría ser débil en un entorno infinita.

Mapa de subcontratación

Un mapa de subcontratación o subcontratista es un mapa f en un espacio métrico (M,  d) tal que

d()f()x),f()Sí.))≤ ≤ d()x,Sí.);{displaystyle d(f(x),f(y))leq d(x,y);}

<math alttext="{displaystyle d(f(f(x)),f(x))d()f()f()x)),f()x)).d()f()x),x)a)x=f()x).{displaystyle d(f(f(x)),f(x))) se realizó(f(x),x)quad {text{unless}quad x=f(x).}<img alt="{displaystyle d(f(f(x)),f(x))

Si la imagen de un subcontratista f es compacta, entonces f tiene un punto fijo.

Espacios localmente convexos

En un espacio localmente convexo (E, P) con topología dada por un conjunto P de seminormas, se puede definir para cualquier p ∈ P una contracción p como un mapa f tal que hay algo de k_p < 1 tal que p(f(x) − f(y)) ≤ k_p p(x − y). Si f es una contracción p para todo p ∈ P y (E, P) es secuencialmente completo, entonces f tiene un punto fijo, dado como límite de cualquier secuencia x_n+1 = f(x_n), y si ( E, P) es Hausdorff, entonces el punto fijo es único.