Mapa exponencial (geometría de Riemann)

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En la geometría de Riemann, un mapa exponencial es un mapa de un subconjunto de un espacio tangente T_pM de una variedad Riemanniana (o variedad pseudo-Riemanniana) M a M misma. La métrica (pseudo) riemanniana determina una conexión afín canónica, y el mapa exponencial de la variedad (pseudo) riemanniana viene dado por el mapa exponencial de esta conexión.

Definición

Sea $M$ una variedad diferenciable y $p$ una punto de $M$ . Una conexión afín en $M$ permite definir la noción de una línea recta a través del punto $p$ .

Sea $v \in T p M$ un vector tangente a la variedad en $p$ . Entonces hay una geodésica única $γ v$ :[0,1] → $M$ satisfaciendo $γ v (0) = p$ con vector tangente inicial $γ' v (0) = v$ . El mapa exponencial correspondiente está definido por $exp p (v) = γ v (1)$ . En general, el mapa exponencial solo está definido localmente, es decir, solo toma una pequeña vecindad del origen en $T p M$ , a una vecindad de $p$ en la variedad. Esto se debe a que se basa en el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que es de naturaleza local. Una conexión afín se llama completa si el mapa exponencial está bien definido en cada punto del paquete tangente.

Propiedades

Intuitivamente hablando, el mapa exponencial toma un vector tangente dado a la variedad, corre a lo largo de la geodésica comenzando en ese punto y va en esa dirección, por una unidad de tiempo. Dado que v corresponde al vector de velocidad de la geodésica, la distancia real (Riemanniana) recorrida dependerá de eso. También podemos reparametrizar las geodésicas para que sean unidades de velocidad, de manera equivalente podemos definir exp_p(v) = β(|v|) donde β es la geodésica de velocidad unitaria (geodésica parametrizada por longitud de arco) que va en la dirección de v. Al variar el vector tangente v obtendremos, al aplicar exp_p, diferentes puntos sobre M que son a cierta distancia del punto base p; esta es quizás una de las formas más concretas de demostrar que el espacio tangente a una variedad es una especie de "linealización" del múltiple.

El teorema de Hopf-Rinow afirma que es posible definir el mapa exponencial en todo el espacio tangente si y solo si la variedad es completa como un espacio métrico (lo que justifica el término habitual geodésicamente completo para una variedad que tiene un mapa exponencial con esta propiedad). En particular, las variedades compactas son geodésicamente completas. Sin embargo, incluso si exp_p se define en todo el espacio tangente, en general no será un difeomorfismo global. Sin embargo, su diferencial en el origen del espacio tangente es el mapa de identidad y, por el teorema de la función inversa, podemos encontrar una vecindad del origen de T_pM en el que el mapa exponencial es una incrustación (es decir, el mapa exponencial es un difeomorfismo local). El radio de la bola más grande sobre el origen en T_pM que se puede mapear difeomórficamente a través de exp_p se llama el radio de inyectividad de M en p. El lugar geométrico de corte del mapa exponencial es, en términos generales, el conjunto de todos los puntos donde el mapa exponencial no tiene un mínimo único.

Una propiedad importante del mapa exponencial es el siguiente lema de Gauss (otro lema de Gauss): dado cualquier vector tangente v en el dominio de definición de exp_p, y otro vector w basado en la punta de v (por lo tanto, w está realmente en el espacio de doble tangente T_v(T_pM)) y ortogonal a v, w permanece ortogonal a v cuando se avanza a través del mapa exponencial. Esto significa, en particular, que la esfera límite de una pequeña bola alrededor del origen en T_pM es ortogonal a las geodésicas en M determinado por esos vectores (es decir, las geodésicas son radiales). Esto motiva la definición de coordenadas geodésicas normales en una variedad de Riemann.

El mapa exponencial también es útil para relacionar la definición abstracta de curvatura con la realización más concreta de la misma concebida originalmente por el propio Riemann: la curvatura seccional se define intuitivamente como la curvatura gaussiana de alguna superficie (es decir, un corte de la variedad por una subvariedad bidimensional) a través del punto p en consideración. A través del mapa exponencial, ahora se puede definir con precisión como la curvatura gaussiana de una superficie a través de p determinada por la imagen bajo exp_p de un Subespacio bidimensional de T_pM.

Relaciones con mapas exponenciales en la teoría de Lie

En el caso de los grupos de Lie con una métrica bi-invariante—una métrica pseudo-Riemanniana invariante bajo la traducción izquierda y derecha—los mapas exponenciales de la estructura pseudo-Riemanniana son los mismos que los mapas exponenciales del grupo de Lie. En general, los grupos de Lie no tienen una métrica bi-invariante, aunque todos los grupos de Lie semisimples (o reductivos) conectados sí la tienen. La existencia de una métrica Riemanniana bi-invariante es más fuerte que la de una métrica pseudo-Riemanniana, e implica que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto; a la inversa, cualquier grupo de Lie compacto (o abeliano) tiene una métrica de Riemann de este tipo.

Tome el ejemplo que da el "honesto" mapa exponencial. Considere los números reales positivos R⁺, un grupo de Lie bajo la multiplicación habitual. Entonces cada espacio tangente es simplemente R. En cada copia de R en el punto y, introducimos el producto interno modificado

{displaystyle langle u,vrangle _{y}={frac {uv}{y^{2}}}}

Sí.²

Considere el punto 1 ¬ R⁺, y x ▪ R un elemento del espacio tangente a 1. La línea recta habitual que emana de 1, a saber Sí.()t) = 1 + xt cubre el mismo camino que una geodésica, por supuesto, excepto que tenemos que reparametrizar para conseguir una curva con velocidad constante ("velocidad constante", recuerde, no va a ser la velocidad constante ordinaria, porque estamos usando esta métrica divertida). Para ello reparametrizamos por longitud de arco (la parte integral de la longitud del vector tangente en la norma $|cdot|_y$ inducido por la métrica modificada:

{displaystyle s(t)=int _{0}^{t}|x|_{y(tau)}dtau =int _{0}^{t}{frac {|x|}{1+tau x}}dtau =|x|int _{0}^{t}{frac {dtau }{1+tau x}}={frac {|x|}{x}}ln |1+tx|}

y después de invertir la función para obtener $t$ como una función de $s$ , sustituimos y obtenemos

{displaystyle y(s)=e^{sx/|x|}}

Ahora usando la definición de velocidad unitaria, tenemos

{displaystyle exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),}

e^x

La distancia de Riemann definida por esto es simplemente

{displaystyle operatorname {dist} (a,b)=left|ln left({frac {b}{a}}right)right|.}

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