Mapa del gato de Arnold

En matemáticas, el mapa del gato de Arnold es un mapa caótico del toro hacia sí mismo, llamado así por Vladimir Arnold, quien demostró sus efectos en la década de 1960 utilizando una imagen de un gato, de ahí el nombre. Es un ejemplo simple y pedagógico de automorfismos torales hiperbólicos.

Pensando en el toro ${\displaystyle \mathbb {T} } {2}$ como espacio de referencia ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\Mathbb {Z}$, el mapa del gato de Arnold es la transformación ${\displaystyle \Gamma: 'mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T}$ dada por la fórmula

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}}$

De manera equivalente, en notación matricial, esto es

${\displaystyle \Gamma \left {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right)={\begin{bmatrix}2 limit1\1\1\end{bmatrix}}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}}{\bmod {1}={\begin{bmatrix}1 {1\0 simultáneamente1\0}{bmatrix}{\begin{bmatrix}1 {0\1}\1}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}{\bmod {1}}$

Es decir, con una unidad igual al ancho de la imagen cuadrada, la imagen se desplaza una unidad hacia arriba, luego dos unidades hacia la derecha, y todo lo que se encuentra fuera de esa unidad cuadrada se desplaza hacia atrás en la misma unidad hasta que se encuentra dentro del cuadrado.

El mapa recibe su nombre del manuscrito de Arnold de 1967 con André Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique, en el que se utilizó el contorno de un gato para ilustrar la acción del mapa sobre el toro. En el libro original, el título era una nota humorística:

La Société Protectrice des Animaux ha dado permiso para reproducir esta imagen, así como otros.

En el ruso nativo de Arnold, el mapa se conoce como "okroshka (sopa fría) de un gato" (‹Ver Tfd›Ruso: окрошка из кошки), en referencia a las propiedades de mezcla del mapa, y que forma un juego de palabras. Arnold escribió más tarde que le parecía "extraño" el nombre "Arnold's Cat" con el que se conoce al mapa en inglés y otros idiomas.

• El ancho es invertible porque la matriz tiene determinante 1 y por lo tanto su inverso tiene entradas de entero,
• Dimension es la preservación de la superficie,
• La luminaria tiene un punto fijo hiperbólico único (los vértices de la plaza). La transformación lineal que define el mapa es hiperbólica: sus eigenvalues son números irracionales, uno mayor y el otro menor de 1 (en valor absoluto), por lo que se asocian respectivamente a un eigenespacio expandido y contratante que son también los manifolds estables e inestables. Los eigenspaces son ortogonales porque la matriz es simétrica. Dado que los eigenvectores tienen componentes racionalmente independientes tanto los eigenspaces cubren densamente el torus. El mapa de gatos de Arnold es un ejemplo particularmente conocido de un automorfismo toral hiperbólico, que es un automorfismo de un toro dado por una matriz unimodular cuadrado sin tener eigenvalues de valor absoluto 1.
• El conjunto de los puntos con una órbita periódica es denso en el torus. En realidad un punto es periódico si y sólo si sus coordenadas son racionales.
• El cúmulo es topológicamente transitivo (es decir, hay un punto cuya órbita es densa).
• Número de puntos con período ${\displaystyle n}$ es exactamente ${\displaystyle ¦ ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$ (donde) ${\displaystyle \lambda ¿Qué?$ y ${\displaystyle \lambda _{2}$ son los eigenvalues de la matriz). Por ejemplo, los primeros pocos términos de esta serie son 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205.... (La misma ecuación sostiene para cualquier automorfismo toral hiperbólico noimodular si los eigenvalues son reemplazados.)
• El ancho es ergodic y mezcla,
• La cúpula es un diffeomorfismo Anosov y en particular es estructuralmente estable.
• El toro de cartografía de Dimensiones es un solvmanifold, y como con otros diffeomorfismos Anosov, este manifold tiene geometría solv.

Es posible definir un análogo discreto del mapa del gato. Una de las características de este mapa es que la imagen parece aleatorizada por la transformación, pero vuelve a su estado original después de una serie de pasos. Como se puede ver en la imagen adyacente, la imagen original del gato se corta y luego se envuelve en la primera iteración de la transformación. Después de algunas iteraciones, la imagen resultante parece bastante aleatoria o desordenada, pero después de más iteraciones la imagen parece tener un orden adicional (imágenes fantasmales del gato, múltiples copias más pequeñas dispuestas en una estructura repetitiva e incluso copias invertidas de la imagen original) y, en última instancia, vuelve a la imagen original.

El mapa de gato discreto describe el flujo del espacio de fases correspondiente a la dinámica discreta de un salto de esferas desde el sitio q_t (0 ≤ q_t < N) al sitio q_t+1 en un anillo circular con circunferencia N, de acuerdo con la ecuación de segundo orden:

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N.$

Si se define la variable de momento p_t = q_t − q_t−1, la dinámica de segundo orden anterior se puede reescribir como una aplicación del cuadrado 0 ≤ q, p < N (el espacio de fase del sistema dinámico discreto) sobre sí mismo:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N.$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N.$

Esta representación del gato de Arnold muestra un comportamiento de mezcla típico de los sistemas caóticos. Sin embargo, dado que la transformación tiene un determinante igual a la unidad, preserva el área y, por lo tanto, es invertible; la transformación inversa es:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N.$

${\displaystyle P_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N.$

Para las variables reales q y p, es común fijar N = 1. En ese caso, se obtiene una aplicación del cuadrado unitario con condiciones de contorno periódicas sobre sí mismo.

Cuando N se establece en un valor entero, las variables de posición y momento se pueden restringir a números enteros y la asignación se convierte en una asignación de una cuadrícula cuadrada toroidal de puntos sobre sí misma. Este tipo de mapa de gato entero se utiliza comúnmente para demostrar el comportamiento de mezcla con la recurrencia de Poincaré utilizando imágenes digitales. Se puede demostrar que la cantidad de iteraciones necesarias para restaurar la imagen nunca supera las 3N.

Para una imagen, la relación entre iteraciones podría expresarse de la siguiente manera:

$################################################################################################################################################################################################################################################################$

importación Osdesde PIL. Imagen importación abierto como load_pic, nuevo como new_picdef principal()sendero, iteraciones, Mantenerlos=Falso, Nombre="arnold_cat-{Nombre}-{index}.png"): " Params camino:str camino a la fotografía iteraciones:int número de iteraciones para calcular nombre:str cadena de formato para utilizar como plantilla para nombres de archivos " Título = Os.sendero.splitext()Os.sendero.división()sendero[1]0] contra = 0 mientras contra c) iteraciones: con load_pic()sendero) como imagen: dim = ancho, altura = imagen.tamaño con new_pic()imagen.modo, dim) como lienzo: para x dentro rango()ancho): para Sí. dentro rango()altura): nx = ()2 * x + Sí.) % ancho ny = ()x + Sí.) % altura lienzo.putpixel(()nx, altura-ny-1), imagen.getpixel(()x, altura-Sí.-1)) si contra ■ 0 y no Mantenerlos: Os.Retirar()sendero) contra += 1 impresión()contra, final="\r") sendero = Nombre.formato()Nombre=Título, índice=contra) lienzo.Guardar()sendero) Regreso lienzosi __name_ == "__main__": sendero = entrada()"Introduzca el camino a una imagen:\n\t") mientras no Os.sendero.existe()sendero): sendero = entrada()"No podría encontrar su imagen elegida, por favor intente de nuevo:\n\t") resultado = principal()sendero, 3) resultado.show()

• Lista de mapas caóticos
• Parcela de repetición

• Weisstein, Eric W. "Arnold's Cat Map". MathWorld.
• Efecto de la aleatoriedad de las condiciones iniciales en el tiempo de recurrencia
• Mapa Cat de Arnold por Enrique Zeleny, Proyecto de demostraciones de Wolfram.
• Mapa Cat de Arnold: Una exploración gráfica interactiva