Mapa conforme

Una rejilla rectangular (top) y su imagen bajo un mapa conformado ${displaystyle f}$ (Abajo). Se ve que ${displaystyle f}$ mapas pares de líneas que intersectan a 90° a pares de curvas que aún intersectan a 90°.

En matemáticas, un mapa conforme es una función que conserva localmente los ángulos, pero no necesariamente las longitudes.

Más formalmente, vamos ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ ser subconjuntos abiertos de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$. Una función ${displaystyle f:Uto V}$ se llama conformal (o ángulo reservado) en un punto ${displaystyle u_{0}in U}$ si conserva ángulos entre curvas dirigidas a través de ${displaystyle u_{0}$, así como la preservación de la orientación. Los mapas conformales conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitamente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura.

La propiedad conforme se puede describir en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas. La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación (ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir mapeos de inversión de orientación cuyos jacobianos se pueden escribir como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal.

Para mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles. En tres dimensiones y más, el teorema de Liouville limita claramente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.

La noción de conformidad se generaliza de forma natural a aplicaciones entre variedades riemannianas o semirriemannianas.

Mapas conformes en dos dimensiones

Si ${displaystyle U}$ es un subconjunto abierto del plano complejo ${displaystyle mathbb {C}$, entonces una función ${displaystyle f:Uto mathbb {C}$ es conformal si y sólo si es holomorfo y su derivado está en todas partes no-cero en ${displaystyle U}$. Si ${displaystyle f}$ es antiholomorfo (conjugado a una función holomorfa), conserva ángulos pero revierte su orientación.

En la literatura hay otra definición de conformal: un mapeo ${displaystyle f}$ que es uno a uno y holomorfo en un conjunto abierto en el avión. El teorema de mapeo abierto fuerza la función inversa (definida en la imagen de ${displaystyle f}$Para ser holomorfo. Por lo tanto, bajo esta definición, un mapa es conforme si y sólo si es biholomorfo. Las dos definiciones para mapas conformales no son equivalentes. Ser uno a uno y holomorfo implica tener un derivado no cero. Sin embargo, la función exponencial es una función holomorfa con un derivado no cero, pero no es uno a uno ya que es periódica.

El teorema de cartografía Riemann, uno de los resultados profundos del análisis complejo, afirma que cualquier no vacío abierto simplemente conecta el subconjunto adecuado de ${displaystyle mathbb {C}$ admite un mapa conformativo bijetivo al disco de unidad abierta en ${displaystyle mathbb {C}$.

Mapas conformes globales en la esfera de Riemann

Un mapa de la esfera de Riemann sobre sí mismo es conforme si y solo si es una transformación de Möbius.

El conjugado complejo de una transformación de Möbius conserva los ángulos, pero invierte la orientación. Por ejemplo, inversiones circulares.

Conformidad con respecto a tres tipos de ángulos

En la geometría plana hay tres tipos de ángulos que se pueden conservar en un mapa conforme. Cada uno está alojado en su propia álgebra real, números complejos ordinarios, números complejos divididos y números duales. Los mapas conformes se describen mediante transformaciones fraccionarias lineales en cada caso.

Mapas conformes en tres o más dimensiones

Geometría de Riemann

En la geometría Riemanniana, dos métricas Riemannianas ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ en un andamio suave ${displaystyle M}$ se llaman equivalente si ${displaystyle g=uh}$ para alguna función positiva ${displaystyle u}$ on ${displaystyle M}$. La función ${displaystyle u}$ se llama factor de conformidad.

Un difeomorfismo entre dos variedades de Riemann se denomina mapa conforme si la métrica extraída es conformemente equivalente a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano aumentada con un punto en el infinito es un mapa conforme.

También se puede definir una estructura conforme en una variedad uniforme, como una clase de métrica riemanniana conformemente equivalente.

Espacio euclidiano

Un teorema clásico de Joseph Liouville muestra que hay muchos menos mapas conformes en dimensiones superiores que en dos dimensiones. Cualquier aplicación conforme de un subconjunto abierto del espacio euclidiano en el mismo espacio euclidiano de dimensión tres o mayor se puede componer de tres tipos de transformaciones: una homotecia, una isometría y una transformación conforme especial.

Aplicaciones

Cartografía

En cartografía, varias proyecciones cartográficas con nombre, incluidas la proyección Mercator y la proyección estereográfica, son conformes. Son especialmente útiles para su uso en la navegación marítima debido a su propiedad única de representar cualquier rumbo de rumbo constante como un segmento recto. Este curso, conocido como rumbo (o, matemáticamente, loxódromo) se prefiere en la navegación marítima porque los barcos pueden navegar en una dirección constante de la brújula.

Física e ingeniería

Las cartografías conformales son invaluables para resolver problemas en ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero exhiben geometrías inconvenientes. Al elegir un mapeo apropiado, el analista puede transformar la geometría inconveniente en uno mucho más conveniente. Por ejemplo, uno puede desear calcular el campo eléctrico, ${displaystyle E(z)}$, derivado de una carga de punto situada cerca de la esquina de dos aviones conductores separados por un ángulo determinado (donde ${displaystyle z}$ es la compleja coordinación de un punto en 2-espacio). Este problema per se es bastante torpe para resolver en forma cerrada. Sin embargo, mediante el uso de una asignación conformacional muy simple, el ángulo inconveniente se mapea a uno de precisamente ${displaystyle pi}$ radians, lo que significa que la esquina de dos aviones se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico impresionado por una carga de punto situada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio, ${displaystyle E(w)}$, y luego mapeado de nuevo al dominio original notando que ${displaystyle w}$ se obtuvo como función (viz., la composición de ${displaystyle E}$ y ${displaystyle w}$) de ${displaystyle z}$, cuandoce ${displaystyle E(w)}$ puede ser visto como ${displaystyle E(w(z)}$, que es una función de ${displaystyle z}$, la base de coordenadas original. Tenga en cuenta que esta aplicación no es una contradicción con el hecho de que los mapas conformales conservan ángulos, lo hacen sólo por puntos en el interior de su dominio, y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de la técnica de cartografía conformacional para resolver el problema del valor límite del cierre líquido en tanques.

Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace ${displaystyle nabla ^{2}f=0}$) sobre un dominio plano (que es bidimensional), y se transforma a través de un mapa conformado a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función que se defina por un potencial puede ser transformada por un mapa conformado y sigue siendo gobernada por un potencial. Ejemplos en la física de ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético, el campo gravitacional, y, en la dinámica del fluido, el flujo potencial, que es una aproximación al flujo del fluido asumiendo densidad constante, viscosidad cero y flujo irrotacional. Un ejemplo de una aplicación dinámica fluida de un mapa conformativo es la transformación Joukowsky que se puede utilizar para examinar el campo del flujo alrededor de un avión Joukowsky.

Los mapas conformes también son valiosos para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales en algunas geometrías específicas. Estas soluciones analíticas proporcionan una comprobación útil de la precisión de las simulaciones numéricas de la ecuación gobernante. Por ejemplo, en el caso de un flujo de superficie libre muy viscoso alrededor de una pared semi-infinita, el dominio se puede representar en un semiplano en el que la solución es unidimensional y fácil de calcular.

Para los sistemas discretos, Noury y Yang presentaron una forma de convertir el lugar geométrico de las raíces de los sistemas discretos en un lugar geométrico continuo a través de un conocido mapeo conforme en geometría (también conocido como mapeo de inversión).

Ecuaciones de Maxwell

Las transformaciones de Lorentz conservan las ecuaciones de Maxwell, que forman un grupo que incluye rotaciones circulares e hiperbólicas. Estos últimos a veces se denominan impulsos de Lorentz para distinguirlos de las rotaciones circulares. Todas estas transformaciones son conformes ya que las rotaciones hiperbólicas conservan el ángulo hiperbólico (llamado rapidez) y las otras rotaciones conservan el ángulo circular. La introducción de las traducciones en el grupo de Poincaré conserva de nuevo los ángulos.

Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910) identificaron un grupo más grande de mapas conformes para relacionar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Su formación en la Universidad de Cambridge les había facilitado el método de cargas de imagen y los métodos asociados de imágenes para esferas e inversión. Como relata Andrew Warwick (2003) Masters of Theory:

Cada solución cuatridimensional podría ser invertida en una hipersfera cuatridimensional de pseudo-radius ${displaystyle K}$ para producir una nueva solución.

Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y basado en ejercicios que utilizan el método de inversión, como el que se encuentra en el libro de texto de James Hopwood Jeans Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo.

Relatividad general

En relatividad general, los mapas conformes son el tipo más simple y, por lo tanto, el más común de transformaciones causales. Físicamente, estos describen diferentes universos en los que los mismos eventos e interacciones todavía son (causalmente) posibles, pero se necesita una nueva fuerza adicional para efectuar esto (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque la métrica tensor es diferente). A menudo se utiliza para tratar de hacer modelos susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura, por ejemplo, para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang.