Mapa bilineal

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Función de dos vectores lineales en cada argumento

En matemáticas, un mapa bilineal es una función que combina elementos de dos espacios vectoriales para producir un elemento de un tercer espacio vectorial, y es lineal en cada uno de sus argumentos. La multiplicación de matrices es un ejemplo.

Definición

Espacios vectoriales

Vamos ${displaystyle V,W}$ y $X$ ser tres espacios vectoriales sobre el mismo campo base $F$ . Un mapa bilineal es una función

{displaystyle B:Vtimes Wto X}

win W

{displaystyle B_{w}}

{displaystyle vmapsto B(v,w)}

V

X,

vin V

B_{v}

{displaystyle wmapsto B(v,w)}

W

X.

Tal mapa $B$ satisface las siguientes propiedades.

Para cualquier $lambda in F$ , ${displaystyle B(lambda v,w)=B(v,lambda w)=lambda B(v,w).}$
El mapa $B$ es aditivo en ambos componentes: si $v_{1},v_{2}in V$ y ${displaystyle w_{1},w_{2}in W,}$ entonces ${displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ y ${displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Si ${displaystyle V=W}$ y tenemos B()v, w) B()w, v) para todos ${displaystyle v,win V,}$ entonces decimos que B es simétrica. Si X es el campo base F, entonces el mapa se llama a forma bilineal, que son bien estudiados (por ejemplo: producto escalar, producto interno y forma cuadrática).

Módulos

La definición funciona sin ningún cambio si en lugar de espacios vectoriales sobre un campo F, usamos módulos sobre un anillo conmutativo R. Se generaliza a funciones n-arias, donde el término apropiado es multilineal.

Para anillos no conmutativos R y S, un R-módulo izquierdo M y un M derecho i>S-módulo N, un mapa bilineal es un mapa B: M × N → T con T y (R, S)-bimódulo, y para el cual cualquier n en N, m ↦ B(m, n) es un homomorfismo de módulo R, y para cualquier m en M, n ↦ B(m , n) es un homomorfismo de módulo S. esto satisface

B()r ⋅ m, n) r ⋅ B()m, n)

B()m, n ⋅ s) B()m, n) ⋅ s

para todo m en M, n en N, r en R y s en S, además de que B es aditivo en cada argumento.

Propiedades

Una consecuencia inmediata de la definición es que B(v, w) = 0<sub X siempre que v = 0_V o w = 0_W. Esto se puede ver escribiendo el vector cero 0_V como 0 ⋅ 0_V (y de manera similar para 0_W) y moviendo el escalar 0 "afuera", frente a B, por linealidad.

El conjunto L(V, W; X) de todos los mapas bilineales es un subespacio lineal del espacio (es decir, espacio vectorial, módulo) de todos los mapas de V × W en X.

Si V, W, X son finitos-dimensionales, entonces lo es L()V, W; X). Para ${displaystyle X=F,}$ es decir, formas bilineales, la dimensión de este espacio es dim V × dim W (mientras el espacio L()V × W; F) de lineal formas es de dimensión dim V + dim W). Para ver esto, elija una base para V y W; entonces cada mapa bilineal puede ser representado por la matriz B()e_i, f_j), y viceversa. Ahora, si X es un espacio de dimensión superior, obviamente tenemos dim L()V, W; X) = dim V × dim W × dim X.

Ejemplos

La multiplicación de matriz es un mapa bilineal M(m, n) × M(n, p) → M(m, p).
Si un espacio vectorial V sobre los números reales $mathbb {R}$ lleva un producto interno, luego el producto interno es un mapa bilineal ${displaystyle Vtimes Vto mathbb {R}.}$ El espacio vectorial de producto tiene una dimensión.
En general, para un espacio vectorial V sobre un terreno F, una forma bilineal en V es el mismo que un mapa bilineal V × V → F.
Si V es un espacio vectorial con espacio dual V^Alternativa, entonces el operador de aplicación, b()f, v) f()v) es un mapa bilinear desde V^Alternativa × V al campo base.
Vamos V y W ser espacios vectoriales sobre el mismo campo base F. Si f es miembro de V^Alternativa y g a member of W^Alternativa, entonces b()v, w) f()v)g()w) define un mapa bilineal V × W → F.
El producto cruzado en $mathbb{R} ^{3}$ es un mapa bilineal ${displaystyle mathbb {R} ^{3}times mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} ^{3}.}$
Vamos ${displaystyle B:Vtimes Wto X}$ ser un mapa bilineal, y ${displaystyle L:Uto W}$ ser un mapa lineal, entonces ()v, u↦ B()v, Lu) es un mapa bilinear en V × U.

Continuidad y continuidad separada

Suppose ${displaystyle X,Y,{text{ and }}Z}$ son espacios vectoriales topológicos y permiten ${displaystyle b:Xtimes Yto Z}$ ser un mapa bilineal. Entonces... b se dice que por separado continuo si las dos condiciones siguientes sostienen:

para todos ${displaystyle xin X,}$ el mapa $Y to Z$ dado por ${displaystyle ymapsto b(x,y)}$ es continuo;
para todos ${displaystyle yin Y,}$ el mapa $X to Z$ dado por ${displaystyle xmapsto b(x,y)}$ es continuo.

Muchos bilineales continuos por separado que no son continuos satisfacen una propiedad adicional: la hipocontinuidad. Todos los mapas bilineales continuos son hipocontinuos.

Condiciones suficientes para la continuidad

Muchos mapas bilineales que ocurren en la práctica son continuos por separado, pero no todos son continuos. Aquí enumeramos las condiciones suficientes para que un bilineal continuo por separado sea continuo.

Si X es un espacio de Baire y Y se conoce entonces cada mapa bilineal continuo por separado ${displaystyle b:Xtimes Yto Z}$ es continuo.
Si ${displaystyle X,Y,{text{ and }}Z}$ son los fuertes duales de espacios Fréchet entonces cada mapa bilineal continuo por separado ${displaystyle b:Xtimes Yto Z}$ es continuo.
Si un mapa bilineal es continuo en (0, 0) entonces es continuo en todas partes.

Mapa de composición

Vamos ${displaystyle X,Y,{text{ and }}Z}$ ser localmente convex Hausdorff espacios y dejar ${displaystyle C:L(X;Y)times L(Y;Z)to L(X;Z)}$ ser el mapa de composición definido por ${displaystyle C(u,v):=vcirc u.}$ En general, el mapa bilineal $C$ no es continuo (no importa lo que topologie los espacios de mapas lineales se dan). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados:

Dé a los tres espacios de mapas lineales una de las siguientes topologías:

dar a los tres la topología de la convergencia atada;
dar a los tres la topología de la convergencia compacta;
dar a los tres la topología de la convergencia puntual.

Si $E$ es un subcontinua subconjunto ${displaystyle L(Y;Z)}$ entonces la restricción ${displaystyle C{big vert }_{L(X;Y)times E}:L(X;Y)times Eto L(X;Z)}$ es continua para las tres topologías.
Si $Y$ es un espacio en barrica para cada secuencia ${displaystyle left(u_{i}right)_{i=1}^{infty }}$ convergiendo a $u$ dentro ${displaystyle L(X;Y)}$ y cada secuencia ${displaystyle left(v_{i}right)_{i=1}^{infty }}$ convergiendo a $v$ dentro ${displaystyle L(Y;Z),}$ la secuencia ${displaystyle left(v_{i}circ u_{i}right)_{i=1}^{infty }}$ convergencias a ${displaystyle vcirc u}$ dentro ${displaystyle L(Y;Z).}$