Mapa antilineal

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Mapa aditivo homogéneo conjugado

En matemáticas, una función $f: V to W$ entre dos espacios vectoriales complejos se dice que antilinear o conjugado-linear si

{displaystyle {begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&qquad {text{ (additivity) }}\f(sx)&={overline {s}}f(x)&&qquad {text{ (conjugate homogeneity) }}\end{alignedat}}}

x,yin V

s,

overline {s}

s.

Los mapas antilineales contrastan con los mapas lineales, que son mapas aditivos que son homogéneos en lugar de homogéneos conjugados. Si los espacios vectoriales son reales entonces la antilinealidad es lo mismo que la linealidad.

Los mapas antilineales ocurren en la mecánica cuántica en el estudio de la inversión del tiempo y en el cálculo espinor, donde se acostumbra reemplazar las barras sobre los vectores base y los componentes de los objetos geométricos por puntos colocados sobre los índices. Los mapas antilineales con valores escalares a menudo surgen cuando se trata de productos internos complejos y espacios de Hilbert.

Definiciones y caracterizaciones

Una función se llama antilinear o conjugado lineal si es aditivo y conjugado homogéneo. An antilinear funcional en un espacio vectorial $V$ es un mapa antilineal de valor escalar.

Una función $f$ se llama aditivo si

{displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)quad {text{ for all vectors }}x,y}

conjugado homogéneo

{displaystyle f(ax)={overline {a}}f(x)quad {text{ for all vectors }}x{text{ and all scalars }}a.}

f

homogénea

{displaystyle f(ax)=af(x)quad {text{ for all vectors }}x{text{ and all scalars }}a.}

Un mapa antilinear $f: V to W$ puede ser descrito equivalente en términos del mapa lineal ${displaystyle {overline {f}}:Vto {overline {W}}}$ desde $V$ al complejo espacio vectorial conjugado ${displaystyle {overline {W}}.}$

Ejemplos

Mapa dual antilineal

Dado un espacio vectorial complejo $V$ de rango 1, podemos construir un mapa dual anti-linear que es un mapa anti-lineal

{displaystyle l:Vto mathbb {C} }

{displaystyle x_{1}+iy_{1}}

{displaystyle x_{1},y_{1}in mathbb {R} }

{displaystyle x_{1}+iy_{1}mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}

{displaystyle a_{1},b_{1}.}

e_{1},ldotse_{n}

{displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}

mathbb{C}

{displaystyle sum _{k}x_{k}+iy_{k}mapsto sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}

{displaystyle a_{k},b_{k}in mathbb {R}.}

Isomorfismo de dual antilineal con dual real

El doble anti-linear^{pg 36} de un espacio vectorial complejo $V$

{displaystyle operatorname {Hom} _{overline {mathbb {C} }}(V,mathbb {C})}

V,

{displaystyle {text{Hom}}_{mathbb {R} }(V,mathbb {R}).}

{displaystyle ell:Vto mathbb {C} }

{displaystyle operatorname {Im} (ell):Vto mathbb {R} }

{displaystyle lambda:Vto mathbb {R} }

{displaystyle ell (v)=-lambda (iv)+ilambda (v)}

Propiedades

La combinación de dos mapas antilineales es un mapa lineal. La clase de mapas semilineales generaliza la clase de mapas antilineales.

Espacio antidual

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial $X$ se llama espacio álgebraico anti-dual de $X.$ Si $X$ es un espacio vectorial topológico, luego el espacio vectorial de todos continuo funcionales antilineales en $X,$ denotado por ${textstyle {overline {X}}^{prime },}$ se llama espacio continuo anti-dual o simplemente el espacio antidual de $X$ si no puede surgir confusión.

Cuando $H$ es un espacio normal entonces la norma canónica en el espacio (continua) anti-dual ${textstyle {overline {X}}^{prime },}$ denotado por ${textstyle |f|_{{overline {X}}^{prime }},}$ se define utilizando esta misma ecuación:

{displaystyle |f|_{{overline {X}}^{prime }}~:=~sup _{|x|leq 1,xin X}|f(x)|quad {text{ for every }}fin {overline {X}}^{prime }.}

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la doble norma en el espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }}$ de $X,$ que se define por

{displaystyle |f|_{X^{prime }}~:=~sup _{|x|leq 1,xin X}|f(x)|quad {text{ for every }}fin X^{prime }.}

Isometría canónica entre el dual y el anti-dual

El complejo conjugado ${overline {f}}$ de un funcional $f$ se define por el envío ${displaystyle xin operatorname {domain} f}$ a ${textstyle {overline {f(x)}}.}$ Satisfecho

{displaystyle |f|_{X^{prime }}~=~left|{overline {f}}right|_{{overline {X}}^{prime }}quad {text{ and }}quad left|{overline {g}}right|_{X^{prime }}~=~|g|_{{overline {X}}^{prime }}}

{displaystyle fin X^{prime }}

{textstyle gin {overline {X}}^{prime }.}

{displaystyle operatorname {Cong} ~:~X^{prime }to {overline {X}}^{prime }quad {text{ where }}quad operatorname {Cong} (f):={overline {f}}}

{displaystyle operatorname {Cong} ^{-1}~:~{overline {X}}^{prime }to X^{prime }}

Si ${displaystyle mathbb {F} =mathbb {R} }$ entonces ${displaystyle X^{prime }={overline {X}}^{prime }}$ y este mapa canónico ${displaystyle operatorname {Cong}:X^{prime }to {overline {X}}^{prime }}$ reduce el mapa de identidad.

Espacios interiores de productos

Si $X$ es un espacio interior de producto entonces tanto la norma canónica en ${displaystyle X^{prime }}$ y ${displaystyle {overline {X}}^{prime }}$ satisface la ley paralelograma, lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir una producto interno canónico en ${displaystyle X^{prime }}$ y también sobre ${displaystyle {overline {X}}^{prime },}$ que este artículo denotará por las notaciones

{displaystyle langle f,grangle _{X^{prime }}:=langle gmid frangle _{X^{prime }}quad {text{ and }}quad langle f,grangle _{{overline {X}}^{prime }}:=langle gmid frangle _{{overline {X}}^{prime }}}

{displaystyle X^{prime }}

{displaystyle {overline {X}}^{prime }}

{textstyle langle f,grangle _{X^{prime }}}

{textstyle langle f,grangle _{{overline {X}}^{prime }}}

{textstyle fmapsto {sqrt {leftlangle f,frightrangle _{X^{prime }}}}}

{displaystyle fin X^{prime }:}

{displaystyle sup _{|x|leq 1,xin X}|f(x)|=|f|_{X^{prime }}~=~{sqrt {langle f,frangle _{X^{prime }}}}~=~{sqrt {langle fmid frangle _{X^{prime }}}}.}

Si $X$ es un espacio interior de producto entonces los productos internos en el espacio dual ${displaystyle X^{prime }}$ y el espacio antidual ${textstyle {overline {X}}^{prime },}$ denotado respectivamente por ${textstyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle _{X^{prime }}}$ y ${textstyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle _{{overline {X}}^{prime }},}$ relacionados por

{displaystyle langle ,{overline {f}},|,{overline {g}},rangle _{{overline {X}}^{prime }}={overline {langle ,f,|,g,rangle _{X^{prime }}}}=langle ,g,|,f,rangle _{X^{prime }}qquad {text{ for all }}f,gin X^{prime }}

{displaystyle langle ,{overline {f}},|,{overline {g}},rangle _{X^{prime }}={overline {langle ,f,|,g,rangle _{{overline {X}}^{prime }}}}=langle ,g,|,f,rangle _{{overline {X}}^{prime }}qquad {text{ for all }}f,gin {overline {X}}^{prime }.}

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