Magma medial

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En álgebra abstracta, un magma medial o un grupoide medial es un magma o grupoide (es decir, un conjunto con una operación binaria) que satisface la identidad

{displaystyle (xcdot y)cdot (ucdot v)=(xcdot u)cdot (ycdot v)}

, o más simplemente

{displaystyle xycdot uv=xucdot yv}

para todos los x, y, u y v, utilizando la convención de que la yuxtaposición denota la misma operación pero tiene mayor precedencia. Esta identidad ha sido denominada de diversas formas medial, abeliana, alternancia, transposición, intercambio., bi-conmutativo, bisimétrico, surconmutativo, entrópico, etc.

Cualquier semigrupo comunicativo es un magma mediático, y un magma mediático tiene un elemento de identidad si y sólo si es un monoide comunicativo. La dirección "sólo si" es el argumento Eckmann-Hilton. Otra clase de semigrupos formando magmas medios son bandas normales. Los magmas medios no necesitan ser asociativos: para cualquier grupo abeliano notrivial con operación $+$ y enteros $m ل n$ , la nueva operación binaria definida por ${displaystyle xcdot y=mx+ny}$ produce un magma medial que en general no es asociativo ni comunicativo.

Usando la definición categórica de producto, para un magma $M$ , se puede definir el magma cuadrado cartesiano $< i>M \times M$ con la operación

() x, Sí. ∙ u, v) = x ∙ u, Sí. ∙ v)

La operación binaria $∙$ de $M$ , considerada como un mapeo de $M \times M$ a $M$ , asigna $(x, y)$ a $x ∙ y$ , $(u, v)$ a $u ∙ v$ y $(x ∙ u, y ∙ v)$ a $(x ∙ u) ∙ (y ∙ v)$ . Por lo tanto, un magma $M$ es medial si y sólo si su operación binaria es un homomorfismo de magma de $M \times M$ a $M$ . Esto se puede expresar fácilmente en términos de un diagrama conmutativo y, por lo tanto, conduce a la noción de un objeto de magma medial en una categoría con un producto cartesiano. (Vea la discusión en objeto de magma automático).

Si $f$ y $g< /span> son endomorfismos de un magma medial, entonces el mapeo f ∙ g definido por multiplicación puntual$

{displaystyle (fcdot g)(x)=f(x)cdot g(x)}

es en sí mismo un endomorfismo. De ello se deduce que el conjunto End( $M$ ) de todos los endomorfismos de un magma medial $M es en sí mismo un magma medial.$

Teorema de Bruck-Murdoch-Toyoda

El teorema de Bruck-Murdoch-Toyoda proporciona la siguiente caracterización de los cuasigrupos mediales. Dado un grupo abeliano $A$ y dos automorfismos de conmutación φ y ψ de $A$ , define una operación $*$ en $A por$

x Alternativa Sí. = φ(x) + ↓ Sí.) + c,

donde $c$ algún elemento fijo de $Un$ . No es difícil demostrar que $A$ forma un cuasigrupo medial bajo esta operación. El teorema de Bruck-Toyoda establece que todo cuasigrupo medial tiene esta forma, es decir, es isomorfo a un cuasigrupo definido a partir de un grupo abeliano de esta manera. En particular, cada cuasigrupo medial es isotópico de un grupo abeliano.

El resultado fue obtenido de forma independiente en 1941 por D.C. Murdoch y K. Toyoda. Luego fue redescubierto por Bruck en 1944.

Generalizaciones

El término medial o (más comúnmente) entrópico también se utiliza para una generalización a múltiples operaciones. Una estructura algebraica es un álgebra entrópica si cada dos operaciones satisfacen una generalización de la identidad medial. Sean f y g operaciones de aridad m y n, respectivamente. Entonces f y g deben satisfacer

{displaystyle f(g(x_{11},ldotsx_{1n}),ldotsg(x_{m1},ldotsx_{mn})=g(f(x_{11},ldotsx_{m1}),ldotsf(x_{1n},ldotsx_m}{). }

Ejemplos no asociativos

Un ejemplo particularmente natural de un magma medial nonassociativo es dado por puntos collineales sobre curvas Elípticas. La operación ${displaystyle xcdot y=-(x+y)}$ para puntos en la curva, correspondiente a dibujar una línea entre x y y y y definir ${displaystyle xcdot y}$ como tercer punto de intersección de la línea con la curva elíptica, es un magma medial (commutante) que es isotópico al funcionamiento de la adición de curva elíptica.

A diferencia de la adición de curva elíptica, ${displaystyle xcdot y}$ es independiente de la elección de un elemento neutral en la curva, y satisface aún más las identidades ${displaystyle xcdot (xcdot y)=y}$ . Esta propiedad se utiliza comúnmente en pruebas puramente geométricas que la adición de curva elíptica es asociativa.

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